Априорное ранжирование факторов




Контрольная работа

По дисциплине: «Основы научных исследований»

На тему: «Корреляционный анализ экспериментальных данных и Априорное ранжирование факторов»

Вариант № 15

 

 

Выполнил: студент группы ЭДНбзу 15-3
Фамилия: Шаракаев
Имя: Евгений
Отчество: Станиславович
Принял: кан. тех. наук, доцент
Фамилия: Некрасов
Имя: Владимир
Отчество: Иванович

 

Сургут, 2018

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ. 3

1. Метод группировок. 4

2. Метод средних. 7

3. Априорное ранжирование факторов. 12

Заключение. 18

Список литературы.. 19

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Современное производство требует от специалиста умения самостоятельно ставить и решать различные принципиально новые вопросы, чего нельзя сделать без овладения им основами научных исследований (НИ). Научная подготовка студентов в вузах – одна из важнейших сторон их обучения.

Современный специалист должен: владеть методикой НИ, их планированием и организацией, уметь отбирать и анализировать необходимую информацию, формулировать цель и задачи исследования, обосновывать теоретическую базу, планировать и проводить эксперименты, обрабатывать результаты измерений, оценивать погрешность наблюдений, сопоставлять результаты эксперимента с теоретическими предпосылками, формулировать выводы НИ, составлять отчет, доклад или статью по результатам НИ.

Цель контрольной работы – закрепить знания в области методов обработки экспериментальных данных, приобрести навыки расчетов коэффициентов регрессии и корреляции, оценивать статистическую значимость этих коэффициентов, адекватность уравнения, интерпретировать полученные результаты и т.д.

Учебные дисциплины «Основы методологии научных исследований (ОМНИ)» основаны на курсе «Высшая математика» и создают основу для изучения следующих специальных дисциплин.

 

МЕТОД ГРУППИРОВОК

 

Этот метод является наиболее простым. Для применения этого метода необходимо знать хотя бы одну точку прямой, так как определяется только угловой коэффициент. Построение прямой производится очень быстро.

Если задан ряд экспериментальных точек с координатами Х и Y, то угловой коэффициент прямой, принадлежащей этим точкам, можно вычислить по формуле

где Х и Y – координаты m точек, сгруппированных в одной части графика, а Х* и Y* – координаты m точек, сгруппированных в другой части графика.

Если интервалы между значениями Х примерно одинаковы, то имеющиеся данные необходимо разделить на три примерно равные группы и использовать группу точек с координатами Х и Y, находящихся в верхней части графика, и группу точек с координатами Х’ и Y’, находящихся в нижней части графика, исключив среднюю группу точек. В этом случае нарушается общее практическое правило статистического анализа: «Статистический критерий оказывается наиболее эффективным при использовании всех данных».

Имеем 10 пар измерений, n=10:

n                    
Х                      
Y -6 -5 -4 -3 -2 -1         -15

 

Эти исходные данные и результаты статистической обработки сводим в таблицу. В таблице приведены результаты статистической обработки этих данных и другими методами.

Наносим точки на график – рис.1. Делим массив данных на три примерно равные группы: выделяем по три точки в верхней и нижней части графика (первые три и последние три пары значений из таблицы).

1. Определим угловой коэффициент уравнения прямой регрессии:

Прямая должна проходить по опорной точке, расположенной в центре массива и имеющей координаты:

 

 

В уравнение прямой Y = подставим рассчитанные значения , получим -1,5 =

2. Определим свободный член уравнения прямой регрессии

Получим искомое уравнение прямой регрессии:

=

3. Определим расчетные значения Yр, абсолютные отклонения экспериментальных значений от расчетных Δy, а также квадраты этих отклонений Δy2 и сводим их в таблице № 1:

= -0,324; 2 =0,104.

= * 3 = -4,51; = -0,48; 2 = 0,234.

= * 3 = -4,51; = 0,56; 2 = 0,266.

= * 4 = -3,356; ΔY 0,35; ΔY2 = 0,126.

= *5 =-2,196; ΔY 0,19; ΔY2 = 0,038.

= * 6 = -1,036; ΔY 0,03; ΔY2 = 0,001.

= * 7 = 0,12; ΔY -0,12; ΔY2 = 0,015.

= * 8 = 1,28; ΔY -0,28; ΔY2 = 0,080.

= * 8 = 1,28; ΔY 0,71; ΔY2 = 0,512.

= * 10 = 3,60; ΔY ; ΔY2 = 0,364.

 

При методе группировок линия прямой регрессии совпадает с линией обратной регрессии. Уравнение обратной регрессии для той же линии:

=

 

4. Определяем угловой коэффициент уравнения обратной регрессии (по данным для прямой регрессии – наоборот)

 

= = 0,86

 

5. Определяем свободный член уравнения обратной регрессии:

 

= 5,6 – 0,86 * (-1,5) = 6,89.

 

Получили искомое уравнение обратной регрессии:

 

= = 6,89 – 0,86 * Y.

 

Определяем расчетные значения , абсолютные отклонения экспериментальных значений от расчетных ΔX, а также ΔX2 и сводим их в таблице №1.

= = 6,89 – 0,86 *(-6) = 1,72; ΔX = 0,279; ΔX2 = 0,078.

= = 6,89 – 0,86 *(-5) = 2,58; ΔX = 0,41; ΔX2 = 0,174.

= = 6,89 – 0,86 *(-4) = 3,44; ΔX = -0,44; ΔX2 = 0,197.

= 4 = 6,89 – 0,86 *(-3) = 4,30; ΔX = -0,30; ΔX2 = 0,094.

= 5 = 6,89 – 0,86 *(-2) = 5,16; ΔX = -0,16; ΔX2 = 0,028.

= 6 = 6,89 – 0,86 *(-1) = 6,03; ΔX = -0,03; ΔX2 = 0,0009.

= 7 = 6,89 – 0,86 *0 = 6,89; ΔX = 0,106; ΔX2 = 0,011.

= 8 = 6,89 – 0,86 *1 = 7,75; ΔX = 0,24; ΔX2 = 0,059.

= 9 = 6,89 – 0,86 *2 = 8,61; ΔX = -0,617; ΔX2 = 0,380.

= 10 = 6,89 – 0,86 *3= 9,47; ΔX = 0,52; ΔX2 = 0,271.

6.Наносим линию регрессии на рисунок 1 и обозначаем коэффициенты уравнения прямой и обратной регрессии:

Расчетные значения должны находится на линии регрессии.

Поскольку данный метод не является точным, то полностью полагаться только на него - нецелесообразно.

МЕТОД СРЕДНИХ

 

Этот метод применяется для построения эмпирических зависимостей парного простейшего вида. Метод состоит в том, что параметры эмпирической формулы определяются из условия равенства нулю суммы всех отклонений наблюдаемой величины от среднего значения.

Вначале результаты наблюдений выравниваются (спрямляются, в контрольной работе данные уже линеаризированы), а затем для полученных новых переменных Х и У, связанных линейной зависимостью Ур = b0(yх) + b1(yх) Х, находят коэффициенты b0(yх) и b1(yх).

Для этого подставляют в уравнение полученные значения Х и У попарно, полученные равенства (условные уравнения) разбивают на две примерно равные группы. Группировка условных уравнений возможна несколькими способами, лучшим будет тот, который приводит к решению, дающему наименьшую сумму квадратов отклонений. Обычно уравнения группируют в последовательности опытных данных, разбивая их на равные или приблизительно равные части. Вообще равенства разбивают на столько групп, сколько коэффициентов уравнения предстоит определить.

Каждую группу уравнений почленно складывают. Получают систему из двух уравнений, из которых и находят коэффициенты, а затем переходят к натуральным переменным.

Например, имеем 10 пар измерений из предыдущего примера.

n                    
Х                      
Y -6 -5 -4 -3 -2 -1         -15

1. Составляем систему уравнений из двух групп для уравненияпрямой регрессия Y = b0 (ух)+ b1 (ух)X.

1. ( 6.

2. (-5) 7. 0

3 ( 8.

4. 9.

5. 10.

2. Суммируем результаты в каждом столбце, получаем разность значений от этих двух сумм и рассчитываем угловой коэффициент уравнения прямой регрессии b1(yх).

;

;

;

;

3. Складываем результатысумм двух столбцов, получаемуравнениев которое подставляем b1(yх) = 1,136 и рассчитываем b0 (ух).

;

4. Определяем расчетные значения YP, абсолютные отклонения экспериментальных значений от расчетных ΔY, а также квадраты этих отклонений ΔY² и сводим их в таблицу №2:

;

;

; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ;

5. Составляем систему уравнений из двух групп для уравненияобратной регрессия X = b0 (ху) + b1 (ху) У.

1. 6.

2. 7.

3 8.

4. 9.

5. 10.

6. Суммируем результаты в каждом столбце, получаем разность значений от этих двух сумм и рассчитываем угловой коэффициент уравнения обратной регрессии b1(ху)

;

22 ;

;

7. Складываем результатысумм двух столбцов, получаемуравнениев которое подставляем b1(хy) = -0,93 и рассчитываем b0 (хy)

;

8. Определяем расчетные значения Хр, абсолютные отклонения экспериментальных значений от расчетных ΔX, а также квадраты этих отклонений ΔX² и сводим их в таблицу №2:

;

;

; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ;

9. Наносим линию регрессии на рисунок 1 и обозначаем коэффициенты уравнения прямой и обратной регрессии:

Таблица 1

Исходные данные
n                      
x                        
y -6 -5 -4 -3 -2 -1         -15  
Метод группировок: Ур = (-7,99) + 1,16 Х; Хр = 6,89 + 0,86 У.
yp -5,67 -4,51 -4,51 -3,35 -2,19 -1,03 0,12 1,28 1,28 3,60    
Δy -0,32 -0,48 0,51 0,35 0,19 0,03 -0,12 -0,28 0,78 -0,60 0,06  
Δy² 0,104 0,234 0,266 0,126 0,038 0,001 0,015 0,080 0,512 0,364 1,74  
xp 1,72 2,58 3,44 4,30 5,16 6,03 6,89 7,75 8,61 9,47    
Δx 0,27 0,41 -0,44 -0,30 -0,16 -0,031 0,10 0,24 -0,61 0,52 -0,001  
Δx² 0,078 0,174 0,197 0,094 0,028 0,0009 0,011 0,059 0,380 0,271 1,29  
  Метод средних: Ур = (-7,86) + 1,13 X; Xр = 6,92 + 0,88У.
yp -5,58 -4,45 -4,45 -3,31 -2,18 -1,04 0,09 1,22 1,22 3,50    
Δy -0,41 -0,54 0,45 0,31 0,18 0,04 -0,09 -0,28 0,77 -0,50 -0,07  
Δy² 0,169 0,300 0,204 0,099 0,032 0,0019 0,0084 0,0151 0,595 0,250 1,67  
xp 1,64 2,25 3,40 4,28 5,16 6,04 6,92 7,80 8,64 9,56    
Δx 0,36 0,48 -0,40 -0,28 -0,16 -0,04 0,08 0,20 -0,64 0,44 -0,10  
Δx² 0,129 0,230 0,16 0,078 0,025 0,0016 0,0064 0,04 0,462 0,193 1,32  
   

 

                                           

 

 

Априорное ранжирование факторов

 

Метод экспертных оценок применяют и для выделения наиболее существенных, статистически значимых факторов с целью сокращения числа проводимых опытов. Иногда этот метод называют - метод ранговой корреляции, формализация априорной информации и т.д.

Факторы ранжируют по литературным источникам и опрашиваемым экспертам. Наиболее важному фактору присваивается наивысший ранг - "к", следующему по важности - ранг "к-1" и далее до "1", соответствующего наименее значимому фактору. Если эксперт не может предпочесть один фактор другому, то каждому из них приписывается один и тот же " связанный " ранг, равный среднему арифметическому этих рангов. Число существенных факторов и сумма рангов у одного эксперта могут отличаться от подобных показателей другого эксперта, поэтому результаты корректируют, а затем сводят в таблицу, по результатам которой строят диаграмму рангов факторов.

Степень согласованности мнений экспертов относительно рангов факторов оценивается коэффициентом конкордации (согласованности, согласия) - W.

 
 

 


где: - сумма квадратов отклонений рангов факторов от их среднего арифметического;

m - количество опрашиваемых специалистов (экспертов);

k - количество факторов;

- учет "связанных" рангов;

tj - число факторов, имеющих одинаковый ранг в группе ранжирования конкретного эксперта.

Коэффициент конкордации может изменяться от 0 до 1. При полной согласованности мнений специалистов W = 1.

Значимость коэффициентов конкордации оценивают с помощью статистических критериев, например, с использованием критерия Пирсона - c2 (ХИ-квадрат) - при числе степеней свободы f = k - 1. Критерий Пирсона можно применять для проверки согласия с любым законом распределения.

 
 

 


Если расчетное значение критерия больше табличного, то коэффициент конкордации статистически значим. В этом случае по построенной диаграмме рангов можно выделить группу факторов, наиболее влияющих на исследуемый процесс. Если суммы рангов факторов убывают равномерно, без резкого перепада, то выделить наиболее важную группу факторов сложно.

1. Рассмотрим условный пример. Семь экспертов оценивают влияние десяти факторов на исследуемый процесс.

Вариант № 15

Таблица 3

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10
                     
            5,5   5,5    
                     
    7,5       7,5 2,5   2,5  
                     
                     
                       
                                 

 

Таблица 4

Скорректированная таблица рангов факторов

 

Факторы Эксперты åаi ()2
                     
x1                 -6,5 42,25
x2       7,5       59,5    
x3                 25,5 650,25
x4                 18,5 342,25
x5                 14,5 210,25
x6   5,5   7,5         6,5 42,25
x7       2,5       11,5 -2,7  
x8   5,5           29,5 -9  
x9       2,5       16,5 -22  
x10                 -21,5 479,61
å               385,0 0,0 А=3501,86
Tj               åTj= 90,0 = 38,5  

 

2. Проверяем правильность заполнения таблицы по вертикали. Сумма рангов в каждом столбце должна быть одинаковой.

Для получения суммы последовательного ряда чисел от 1 до 10: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 применим прием быстрого счета: суммы двух противоположно расположенных чисел выборки дают одинаковый результат.

Например, 1+9= 10; 2+8= 10: 3+7= 10; 4+6= 10. Итого: 4х10+10+5 = 55.

При необходимости результаты корректируют, так чтобы в каждом столбце получить требуемый результат 55. Определяем общую сумму баллов: 55х7= 385.

3. Вычисляем по горизонталям сумму баллов по каждому фактору.

Например, åа1 = 29; åа2 = 52 и т.д.

Определяем общую сумму баллов по вертикали 8-го столбца:

32+59,5+64+57+53+45+11,5+29,5+16,5+17= 385.

Результаты расчетов по горизонтали и вертикали должны совпадать.

4. Определяем среднее арифметическое фактора выборки: = 385/10 = 38,5.

5. Предпоследний и последний столбцы заполнены результатами вычислений абсолютных отклонений сумм рангов факторов от их среднего арифметического = 38,5, а также квадратами этих отклонений.

Например, для первого фактора абсолютное отклонение

åа1 - = -6,5, тогда квадрат отклонения равен 42,25.

åа2 - = 21, тогда квадрат отклонения равен 441.

åа3 - = 25,5, тогда квадрат отклонения равен 650,25.

åа4 - = 18,5, тогда квадрат отклонения равен 342,25.

åа5 - = 14,5, тогда квадрат отклонения равен 210,25.

åа6 - = 6,5, тогда квадрат отклонения равен 42,25.

åа7 - = -27, тогда квадрат отклонения равен 792.

åа8 - = -9, тогда квадрат отклонения равен 81.

åа9 - = -22, тогда квадрат отклонения равен 484.

åа10 - = -21,5, тогда квадрат отклонения равен 479,61.

Сумма квадратов отклонений по всем десяти факторам составила А= 3501,86.

6. Оцениваем «связанные» ранги.

1) Третий пятый и шестой эксперты связали три фактора(tj=3): "связанный" ранг (4+5+6)/3=5; (7+8+9)/3=8 а так же (8+9+10)/3=9.Учет «связанных» рангов åTj= 33 - 3 = 24

2) Второй эксперт связал два фактора (tj=2): "связанный" ранг (6+8)/3 = 4,3. Учет «связанных» рангов åTj= 23 - 2 = 6.

3) Четвертый эксперт "связал" ранги дважды по два: второй и шестой факторы (8+7)/2 = 7,5; а также седьмой и девятый факторы (4+3)/2= 3,5. tj =2+2;

åTj= (23 -2)+(23 -2) = 12

Результаты учета "связанных" рангов приведены в нижней строке.

7. Рассчитываем значение коэффициента конкордации для приведенного примера:

;

 

 

Расчетное значение критерия Пирсона:

; = 55,29

 

χ2 = 55,49 › χ2 9;0,05 = 16,9.

 

Критическое значение χ2кр определяем по рис. Приложения. При числе степеней свободы f = 10 - 1 = 9,0 и уровне значимости 0,05 (5%) на левой шкале критическое χ2кр = 16,9 - оно меньше расчетного значения критерия, коэффициент конкордации W статистически значим, его величина 0,87 указывает на хорошую степень согласованности мнений экспертов.

8. Строим диаграмму рангов факторов по первому и восьмому столбцам таблицы. Эта диаграмма приведена на рис.2. По горизонтали в средней части столбика отмечаем номера факторов: Х3; Х2; Х4 и т.д. до Х7 от фактора с максимальной суммой баллов к минимальной. По вертикали откладываем значения åаi. Учитывая то, что максимальная сумма баллов равна 64; по вертикальной шкале отмечаем значения от 0 до 70.

9. Анализируем результаты априорного ранжирования по диаграмме рангов.

Надо выделить две границы между суммами баллов и разделить массив на три группы.

Разница балов X6 и X1 = 13 баллов – это первая граница значимости.

Разница балов X8 и X10 =12,5 баллов – это вторая граница значимости.

Таким образом, хорошо видно, что первые пять факторов (X3 X2 X4 X5 X6) являются доминирующими, их необходимо включить в исследования.

Менее значимый фактор X1 X8. Его влияние желательно исследовать при наличии свободного времени.

Остальные факторы можно не включать в исследование, так как их влияние на исследуемый процесс наименее существенно – сумма баллов каждого из этих факторов ниже = 38,5.

Чтобы узнать количество необходимых опытов «N», необходимо число уровней факторов «р» возвести в степень числа факторов «к»:

N = pk = 210 = 1024.

Проведя отсеивание несущественных факторов, мы получили N = pk = 24 = 16.

Таким образом, осуществив формализацию априорной информации, нам удалось сократить число опытов до 1024/16 = 64 раз.

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Из диаграммы следует, что наибольшее влияние на параметр оказывают факторы X3 X2 X4 X5. Остальные оказывают менее существенное влияние. Используя изложенную методику априорного ранжирования факторов, можно выявить не оказывающие существенного влияния на исследуемый параметр факторы и исключить их из исследования.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Некрасов В.И., Шпитко Г.Н., Иванов И.А. Одно – и многофакторные эксперименты. Планирование и обработка результатов. Уч. Пособие с грифом УМО. – Курган-Сургут: Изд-во Курганского гос. Ун-та, 2012. – 233с.

2. Основы научных исследований: Учеб. для техн. вузов/ 1989. – 232с.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-04-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: