ПРОИЗВОДНАЯ
В ФИЗИКЕ И ТЕХНИКЕ.
|
Выполнила ученица 10 класса
Шалыгина Анастасия
Руководитель учитель математики
Молчанова Надежда Павловна
г.Ефремов 2019
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………………3
ГЛАВА I
1.1 ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ………………………………………………………...4
1.2 ПОНЯТИЕ «ПРОИЗВОДНАЯ»
ГЛАВА II. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПРИ РЕШЕНИИ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ…………………………………………….6
2.1 ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
2.3 ПРОИЗВОДНАЯ В МЕХАНИКЕ……………………………………………………… 6
2.2 ПРОИЗВОДНАЯ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ……………………………………………. 7
2.3 ПРОИЗВОДНАЯ В РЕШЕНИИ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ……………………………8
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………………………10
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ……………………………………………11
ВВЕДЕНИЕ
«Все сведения о природных телах и их свойствах должны содержать точные указания на число, вес, объем, размеры… Практика рождается только из тесного соединения физики и математики.»
Ф.Бекон
Тема "Производная функции" считается одной из самых сложных в курсе школьной математики. Однако, "сложность" этой темы заключается в непонимании учащимися её нужности. Область применения производной остается непознанной большинством людей, которые не имеют полного представления о производной и обширной области её применения.
В школьном курсе математики производная изучается в 11 классе. Нам предстоит решать задачи, которые имеют не только математический, но и прикладной смысл. Много задач по нахождению производной встречается и на ЕГЭ по математике профильному уровню. И для того, чтобы «дойти до самой сути» этой большой темы, я решила уже в 10 классе серьёзно изучить область применения производной.
Цель проекта: изучение вопроса применения производной для решения задач по физике и технике, углубление и расширение знаний по теме «Производная»
Задачи:
1. Установить связь физических величин с понятием производной.
2. Рассмотреть использования механического смысла производной для решения прикладных задач.
3. Подготовиться к ЕГЭ.
Гипотеза Производная – это инструмент не только исключительно математический, но и позволяющий решать задачи в области физики и техники.
Объект исследования прикладные задачи практического содержания
Предмет исследования методы решения задач с использованием производной
Отчет о работе Презентация по теме: «Применение производной в физике технике».
Моя работа дает возможность разобраться в теме "производная функции", понять, что производная встречается повсюду, познакомиться с физическими задачами, в которых встречается производная.
производная функция
наука
Глава I
Исторические сведения
Производная - одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в 18 веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь для определения скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга Исаак Ньютон(1643-1727) и Готфрид Лейбниц(1646-1716) разработали теорию дифференциального исчисления.
Ньютон ввёл понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смысл. И. Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной
Лейбниц пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к произвольной линии, объяснив этим ее геометрический смысл.
В самом деле, для любой функции y=f (x) в системе координат, на ее области определения можно построить график. Если взять точку на оси абсцисс то, соответственно этой точки можно найти точку на графике функции. В этой точке может быть построена касательная, которая образует с положительным направлением оси абсцисс угол α
Задолго до открытия И.Ньютона и Г.Лейбница греческий ученый Архимед (287 до н.э. - 212 до н. э) не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль, применяя при этом предельные переходы, но и сумел найти максимум функции.
Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика И. Тартальи (1499-1557).
Понятие производной встречается в учениях Г. Галилея (1564-1642), у Р. Декарта (1596-1650), французского математика Ж. Роберваля (1602-1675), английского учёного Д. Грегори (1638-1675), в работах И. Барроу (1630-1677).
Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь (1661-1704), Бернулли (1744-1807), Лагранж (1736-1813), Гаусс (1777-1855), Коши (1789-1857). Необходимо сказать, что ни Ньютон, ни Лагранж не дали четкого определения производной. Впервые определение производной было сформулировано Коши, и именно это определение стало общепринятым и в настоящее время используется почти во всех курсах анализа.
1.2.ПОНЯТИЕ «ПРОИЗВОДНАЯ»
Понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники. Так что же такое производная?
Представим себе прямую дорогу, проходящую по холмистой местности. То есть она идет то вверх, то вниз, но вправо или влево не поворачивает. Если ось Ox направить вдоль дороги горизонтально, а Oy – вертикально, то линия дороги будет очень похожа на график какой-то непрерывной функции:
Ось Ox – это некий уровень нулевой высоты, в жизни мы используем в качестве него уровень моря.
Двигаясь вперед по такой дороге, мы также движемся вверх или вниз. Также можем сказать: при изменении аргумента (продвижение вдоль оси абсцисс) изменяется значение функции (движение вдоль оси ординат). А теперь давайте подумаем, как определить «крутизну» нашей дороги? Что это может быть за величина? Очень просто: на сколько изменится высота при продвижении вперед на определенное расстояние. Ведь на разных участках дороги, продвигаясь вперед (вдоль оси абсцисс) на один километр, мы поднимемся или опустимся на разное количество метров относительно уровня моря (вдоль оси ординат).
ГЛАВА II. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПРИ РЕШЕНИИ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
2.1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Символически определение производной можно записать так:
или 
при 
Алгоритм вычисления производной
Вычисление производной функции y=f(x) производится по следующей схеме:
1) Находим приращение функции на отрезке [x;x+∆x]:
∆y = f (х + 
х) - f (х).
2) Делим приращение функции на приращение аргумента:
3) Находим предел 
, устремляя ∆х к нулю.
Переход к пределу мы будем записывать либо с помощью знака lim, либо с помощью стрелки →
А ещё говорят, что производная есть мгновенная скорость изменения функции, поэтому широко применяется в физике и технике.
2.2.ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Понятие производной возникло как математическое описание скорости движения. Поэтому важнейшим приложением производной является вычисление скорости, а ещё говорят, что производная есть мгновенная скорость изменения функции, поэтому производная широко применяется в физике и технике. Приведём примеры:
1. Пусть материальная точка движется прямолинейно и её координата вычисляется по закону x(t), то скорость её движения равна: V(t)=X’(t) (скорость движения точки равна производной от пути по времени)
2. Ускорение есть производная скорости по времени (или вторая производная от пути по времени).
a(t) = V’(t) или a(t) = X’’(t)
3. Работа. Рассмотрим работу, которую совершает сила F при перемещении по отрезку оси x.
F=A'(x). Сила есть производная работы по перемещению.
4. Заряд. Сила тока является производной заряда по времени I = q’(t), q -заряд, который переносится электрическим током, через поперечное сечение проводника за время t.
5. Масса тонкого стержня. Линейная плотность неоднородного тонкого стержня-это производная массы по длине. Ρ(l)=m'(l). Неоднородность стержня означает, что его линейная плотность не является постоянной.
6. Теплота. Рассмотрим процесс нагревания какого-нибудь вещества и будем вычислять количество теплоты Q(T), которое необходимо, чтобы нагреть 1 кг этого вещества от 0о до Tо (по Цельсию). Тогда, теплоёмкость – это производная теплоты по температуре.
C = Q’(T)
7. Работа как функция времени. Нам известно, что характеристика работы, определяющая её скорость по времени – это мощность. Мощность есть производная работы по времени:
N = A’(t)
8.Скорость химической реакции. Если Q(t) – закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость V(t) химической реакции в момент времени t равна производной Q’(t):
V(t) = Q’(t)
9.Изменения объема. Если V(p) – закон изменения объёма жидкости от внешнего давления p, то производная V’(p) есть мгновенная скорость изменения объёма при внешнем давлении, равном p:
Vмгн = V’(p)
11. При движении точки по окружности с угловой скоростью ω(t) по закону µ(t), имеем:
ω(t)=φ’(t)
2.3 РЕШЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Производная широко применяется при решении различных физических задач. Рассмотрим решение нескольких задач.
1. Тело движется прямолинейно по закону x(t) = 3t2 + 2t + 1, где x(t) измеряется в литрах, время t в секундах. Найти скорость движения тела в момент времени t = 4 с.
Решение.
V(t) = x’(t); V(t) = 6t + 2;
V(4) = 6 · 4 + 2 = 26 (м/с).
Ответ: 26 м/с.
2. Для машины, движущейся со скоростью 30 м/с, тормозной путь определяется по формуле S(t) = 30t – 16t2, где S(t) – путь в метрах, t – время торможения в секундах. В течении какого времени осуществляется торможение до полной остановки машины? Сколько метров будет двигаться машина с начала торможения до полной её остановки?
Решение.
Мгновенная скорость V(t) машины при торможении равна производной s’(t).
V(t) = S’(t) = (30t – 16t2)՛ = 30 – 32t
В конце тормозного пути V(t) = 0, поэтому имеем:
30 – 32t = 0, откуда t= 
с.
Значит торможение осуществлялось в течении с.
Тормозной путь машины составит:
S () = 30 · = 16 ()2 ≈ 14 (м).
Ответ: t = с.; S () ≈ 14 м.
3. Тело, масса которого m кг. Движется прямолинейно по закону x(t) = 3t2 + t (в м.). Доказать, что движение тела происходит под действием постоянной силы
Решение.
Ускорение: а(t) = V’(t) = x’’(t)
V(t) = x’(t) = (3t2 + t)׳ = 6t + 1
a(t) = (6t + 1) = 6.
При данном законе движения тело движется с постоянным ускорением а(t) = 6 (м/с2). Масса тела m постоянна, значит по второму закону Ньютона действующая на него сила
F = ma = 6m (н.) также постоянна, что и требовалось доказать.
4. Тело, массой 5 кг движется прямолинейно по закону S = t – 3t+2, где t измеряется в секундах, S – в метрах. Найти кинетическую энергию 10с. после начала движения.
Решение.
Кинетическую энергию найдём по формуле:
E = 
V(t) = S(t) = (t2- 3t+2)՛ = 2t – 3 (м/с)
V(10) = 2 × 10 – 3 = 17 м/с
E = 
= 
= 722,5 (Дж)
Ответ: 722,5 Дж
5. Поворот тела вокруг оси совершается по закону: µ(t) = 2t2-3t+1 радиан. Найти угловую скорость ω(t) в произвольный момент времени t при t = 2 с.
Решение.
ω(t) = φ՛(t) = (2t2- 3t+1)= 4t- 3 (радиан/с.)
ω(2) = 4·2 – 3 = 5 (радиан/с.)
Ответ: ω(t)=4t-3 радиан/с., 5 радиан/с.
6. Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента t=0. задаётся формулой q = 3t2+t+2. Найти силу тока в момент времени t=3.
Решение.
I = q’(t);
I = (3t2+t+2)’= 6t+1
I(3) = 6 ×3 + 1 = 19
Ответ: 19.
7. Измерения величины заряда на обкладках конденсатора показали, что заряд q меняется со временем по закону q(t) = 3,05 +6,11t – Время в секундах, заряд в микрокулонах. Найти закон изменения силы тока.
Решение.
I = q1(t);
I = (3,05 + 6,11t – 
) = 6,11 + 
Ответ: I = 6,11 +
8. Пусть Q(T) – количество теплоты, которое необходимо для нагревания 1 кг.воды от 0о до To (по Цельсию). Известно, что в диапазоне O≤T≤95 формула Q(T) = 0,396T + 2,081 ×10 -3T2-5,024×10-7×T3 даёт хорошее приближение по истинному значению Q(T). Найти, как зависит теплоёмкость воды от температуры.
Решение.
С = Q1(T)
C = (0,396T+2,081·10-3T2-5,024 ㆍ10-7ㆍT3)1= 0,396 + 2ㆍ2,081 ㆍ10-3ㆍT – 3 ㆍ5,024 ㆍ10-7ㆍT2= 0,396 +4,162 ㆍ10-3T – 15,072 ㆍ10-7T2
Ответ: 0,396 + 4,162 ㆍ10-3T – 15,072 ㆍ10-7T2
9. Зенитный снаряд выброшен вертикально вверх с начальной скоростью Vо. На какой высоте h он будет в момент t(вс.)? Определить скорость и ускорение движения снаряда. Через сколько секунд достигнет наивысшей точки и на каком расстоянии от поверхности земли он будет находиться?
Решение.
1. Так как S(t) = Vot – qt2/2, то V(t) = S1(t) и
V(t) = Vo − g(t) – скорость движения снаряда
a(t) = -g – ускорение движенияㆍ
2. Снаряд достигнет наивысшей точки, если
V(t) =0 т.е. Vo−g(t)= 0, откуда
gt=Vo, t= 
, следовательно, через секунд после начала движение снаряд достигнет наивысшей точки.
3. Найдём на каком расстоянии от поверхности он будет находиться
S() = VoㆍV0ㆍ - 
ㆍ 
= 
- 
=
Ответ: через 
секунд. наибольшее удаление от поверхности земли 
м
10. В какие моменты времени ток в цепи равен нулю, если количество электричества, протекающего через проводник задаётся формулой
q = t –√t + 1?
Решение.
I = q׳(t).
I = (t- √t + 1)׳ =1 - 
= 
I = 0; = 0, откуда следует, что t=0,25.
Ответ: в момент времени t= 0,25 ток в цепи равен 0.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Производная успешно применяется при решении различных прикладных задач в науке, технике и жизни
Как видно из выше перечисленного применение производной функции весьма многообразно и не только при изучении математики, но и других дисциплин.
Мы убедились в важности изучения темы "Производная", ее роли в исследовании процессов науки и техники, в возможности конструирования по реальным событиям математические модели, и решать важные задачи.
И хочу закончить словами Михаила Васильевича Ломоносова: «Слеп физик без математики»
Список используемых источников
1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2013.
2. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. – М.: Издательский центр «Академия», 2016
3. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А, Элементы высшей математики. - М.: Академия, 2014.
4. Рыбников К.А. История математики, «Издательство Московского университета», М, 1960.
Использование ресурсов сети Интернет, электронных библиотек:
https://ru.wikipedia.org/wiki
https://dic.academic.ru/
https://rudocs. exdat.com/