V Закрепление изученного материала.

План урока

I Организационный момент.
Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы и девиза урока.

II Актуализация материала.
Давайте обсудим, что такое касательная к графику функции? Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»?
Идёт обсуждение. Высказывания детей (да и почему, нет и почему). В процессе обсуждения приходим к выводу, что данное утверждение не верно.

Примеры.
1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = x2 одну общую точку M(1; 1), однако не является касательной к параболе. Прямая же y = 2x – 1, проходящая через ту же точку, является касательной к данной параболе
2) Аналогично, прямая x = π не является касательной к графику y = cos x, хотя имеет с ним единственную общую точку K(π; 1). С другой стороны, прямая y = - 1, проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида; (π+2 πk; 1), где k – целое число, в каждой из которых она касается графика.

Рисунок 1

Рисунок 2

Вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной, правила дифференцирования.

III Подготовительная работа к изучению нового материала.
1 ученик: заполнить таблицу производных элементарных функций

2 ученик: вспомни правила дифференцирования

3 ученик: составьте уравнение прямой y = kx + 4, проходящей через точку А(3; -2).
(y = -2x+4)

4 ученик: составьте уравнение прямей y = 3x + b, проходящей через точку С(4; 2).
(y = 3x – 2).

С остальными фронтальная работа.

1. Сформулируйте определение производной.
2. Какие из указанных прямых параллельны? у = 0,5х; у = - 0,5х; у = - 0,5х + 2. Почему?

IV Изучение нового материала.
Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать её угловой
коэффициент и координаты одной точки.

• Начнём с углового коэффициента

Рисунок 3

Рассмотрим график функции y = f(x) дифференцируемой в точке А (x₀, f(x₀)) <рисунок 3>.
Выберем на нём точку M (x₀ + Δх, f(x₀+ Δх)) и проведем секущую AM.
Вопрос: чему равен угловой коэффициент секущей? (∆f/∆x=tgβ)

Будем приближать по дуге точку M к точке A. В этом случае прямая AM будет поворачиваться вокруг точки A, приближаясь (для гладких линий) к некоторому предельному положению - прямой AT. Другими словами < TAM → 0 если длина АМ → 0. Прямую AT, обладающую таким свойством, называют касательной к графику функции y = f(x) в точке А(x ₀, f(x₀)).

Угловой коэффициент секущей AM при AM → 0 стремится к угловому коэффициенту касательной AT Δf/Δx → f '(x₀). Значение производной в точке х₀ примем за угловой коэффициент касательной. Говорят, что касательная есть предельное положение секущей при ∆х → 0.

Существование производной функции в точке x ₀ эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (x ₀, f(x ₀)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f '(x₀). В этом состоит геометрический смысл производной. <слайд 13>

Определение касательной: Касательная к графику дифференцируемой в точке х₀ функции f — это прямая, проходящая через точку (x₀, f(x₀)) и имеющая угловой коэффициент f '(х₀).
Проведем касательные к графику функции y = f(x) в точках х₁, х₂, х₃, и отметим углы, которые они образуют с осью абсцисс. (Это угол, отсчитываемый в положительном направ­лении от положительного направления оси до прямой.)

Рисунок 4

Мы видим, что угол α₁ острый, угол α₃ тупой, а угол α₂ равен нулю, так как прямая l параллельна оси Ох. Тангенс острого угла положителен, тупого — отрицателен. Поэтому f '(х₁)>0, f '(х₂) = 0, f '(х₃) < 0.

• Выведем теперь уравнение касательной к графику функции f в точке А(x₀, f(x₀)).

Общий вид уравнения прямой y = kx + b.

1. Найдём угловой коэффициент k = f '(х₀), получим y = f '(х0)∙x + b, f(x) = f '(х₀)∙x + b
2. Найдём b. b = f(x₀) - f '(х₀)∙x₀.
3. Подставим полученные значения k и b в уравнение прямой: y = f '(х ₀ )∙x + f(x ₀ ) - f '(х ₀ )∙x ₀ или y = f(x ₀ ) + f '(х ₀ )(x - x ₀ )

• Обобщение материала лекции.

- что называется касательной к графику функции в точке?
- в чём заключается геометрический смысл производной?
- сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?

1. Значение функции в точке касания
2. Общую производную функции
3. Значение производной в точке касания
4. Подставить найденные значения в общее уравнение касательной.

V Закрепление изученного материала.

1. Устная работа:
1) В каких точках графика касательная к нему
а) горизонтальна;
б) образует с осью абсцисс острый угол;
в) образует с осью абсцисс тупой угол?
2) При каких значениях аргумента производная функции, заданной графиком
а) равна 0;
б) больше 0;
в) меньше 0?

Рисунок 5

Рисунок 6

3) На рисунке изображён график функции f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f '(x) в точке x₀ <рисунок 7>.

Рисунок 7

2. Письменная работа.
Рассмотрим четыре типа задач. Дети читают условие задачи, предлагают алгоритм решения, один из учеников оформляет его на доске, остальные записывают в тетрадь.
1. Если задана точка касания
Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = x³ – 3x – 1 в точке М с абсциссой –2.
Решение:

1. Вычислим значение функции: f(-2) =(-2)³ – 3(-2) – 1 = -3;
2. найдём производную функции: f '(х) = 3х² – 3;
3. вычислим значение производной: f '(-2) = - 9.;
4. подставим эти значения в уравнение касательной: y = 9(x + 2) – 3 = 9x + 15.

Ответ: y = 9x + 15.

2. По ординате точки касания.

Составить уравнение касательной в точке графика с ординатой y ₀ = 1.
Решение:

1. Найдем абсциссу точки касания: , х ₀ = 1.
2. Найдём производную функции: f '(х) = .
3. Найдем угловой коэффициент касательной f '(х₀): f '(1)= - 1
4. Теперь можно записать уравнение касательной: y = –1(x – 1) + 1 = –x + 2.

Ответ: y = –x + 2.

3. Заданного направления.
Написать уравнения касательной к графику y = x³ – 2x + 7, параллельной прямой у = х.
Решение.
Искомая касательная параллельна прямой y = x. Значит, они имеют один и тот же угловой коэффициент k = 1, y'(х) = 3х2 – 2. Абсцисса х ₀ точек касания удовлетворяет уравнению 3х² – 2 = 1, откуда х ₀ = ±1.
Теперь можно написать уравнения касательных: y = x + 5 и y = x + 9.
Ответ: y = x + 5, y = x + 9.

4. Условия касания графика и прямой.
Задача. При каких b прямая y = 0,5x + b является касательной к графику функции f(х) = ?
Решение.
Вспомним, что угловой коэффициент касательной – это значение производной в точке касания. Угловой коэффициент данной прямой равен k = 0,5. Отсюда получаем уравнение для определения абсциссы x точки касания: f '(х) = = 0,5. Очевидно, его единственный корень –х = 1. Значение данной функции в этой точке у(1) = 1. Итак, координаты точки касания (1; 1). Теперь остается подобрать такое значение параметра b, при котором прямая проходит через эту точку, то есть координаты точки удовлетворяют уравнению прямой: 1 = 0,5 ·1 + b, откуда b = 0,5.