Вопросы для подготовки к коллоквиуму
По МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для студентов II курса
Дневного отделения математического факультета
III семестр Сенкевич Т.Я.
Базовая часть коллоквиума
I. Понятийный блок.
1. Пространство ℝm, расстояние в пространстве ℝm.
2. Сходящиеся последовательности в ℝm.
3. Открытые и замкнутые множества в ℝm.
4. Компактные подмножества в ℝm.
5. Связные подмножества в ℝm.
6. Предел функции нескольких переменных в точке, на бесконечности.
7. Непрерывность функции нескольких переменных в точке, на множестве.
8. Частные производные функции m переменных.
9. Дифференцируемые функции m переменных.
10. Производная по направлению. Градиент.
11. Производные и дифференциалы высших порядков.
12. Экстремумы функции m переменных.
II. Фактический блок.
1. Лемма об эквивалентности покоординатной и поточечной сходимости, единственность предела, арифметические свойства сходимости последовательностей.
2. Свойства открытых и замкнутых множеств.
3. Арифметические свойства функций, имеющих предел в точке.
4. Локальные свойства непрерывных функций.
5. Глобальные свойства непрерывных функций (без доказательства).
6. Необходимые условия дифференцируемости.
7. Достаточное условие дифференцируемости.
8. Дифференцируемость сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
9. Формула конечных приращений.
10. Теорема о совпадении смешанных производных.
11. Формула Тейлора для функций m переменных (без доказательства).
12. Необходимое условие существования локальных экстремумов для функции m переменных.
13. Достаточное условие существования локальных экстремумов функции m переменных (без доказательства).
14. Теорема о неявной функции для зависимости 
(без доказательства).
15. Метод неопределенных множителей Лагранжа: необходимое условие; достаточное условие (без доказательства).
III. Алгоритмический блок
1. Алгоритм отыскания точек экстремумов функции многих переменных.
2. Алгоритм отыскания точек условного экстремума функций многих переменных.
3. Алгоритм нахождения приближённого значения функции нескольких переменных.
4. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных на множестве.
IV. Операционный блок
1. Вычисление пределов последовательности точек в пространстве ℝm.
2. Вычисление пределов функции m переменных в точке, на бесконечности.
3. Исследование функции на непрерывность.
4. Вычисление частных производных.
5. Вычисление частных производных сложных функций и функций, заданных неявно.
6. Нахождение дифференциалов функций, применение для приближённых вычислений.
7. Нахождение производных и дифференциалов высших порядков.
8. Нахождение уравнений касательной плоскости и нормали к поверхности.
9. Замена переменных в выравниваниях, содержащих производные (в простейших случаях).
Вопросы к 2-ой части коллоквиума
По МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Для студентов 2 курса математического факультета
Дневного отделения
III семестр Сенкевич Т.Я.
1. Критерий Коши и теорема Вейерштрасса для последовательностей точек в пространстве Rm.
2. Компактные множества в пространстве Rm.
3. Теоремы Вейерштрасса о функциях, непрерывных на компакте.
4. Равномерно непрерывные функции m переменных. Теорема Кантора.
5. Связные множества. Теорема Коши о промежуточном значении непрерывной функции m переменных.
6. Геометрический смысл условия дифференцируемости функции двух переменных.
7. Достаточное условие дифференцируемости.
8. Частные производные высших порядков. Теорема о совпадении смешанных производных.
9. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме, в форме Лагранжа и в форме Пеано.
10. Достаточные условия локального экстремума функции т переменных.
11. Теорема о неявной функции для зависимости F(x, y)=0.
12. Теорема о неявной функции для зависимости F(x1,…,xm,y)=0.
13. Теорема о неявной функции: общий случай.
14. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Достаточное условие существования условного экстремума.
ЗАДАЧИ К 2-ОЙ ЧАСТИ КОЛЛОКВИУМА
По МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Для студентов 2 курса математического факультета
Дневного отделения
III семестр Сенкевич Т.Я.
1. Пусть 
Покажите, что функция 
непрерывна в квадрате 
в точке (0,0) имеет частные производные, но не дифференцируема в точке (0,0).
2. Пусть 
Проверьте, что имеет в 
ограниченные частные производные, но не дифференцируема в точке (0,0).
3. Покажите, что 
дифференцируема в точке (0,0), но ее частные производные разрывны в точке (0,0).
4. Пусть 
Покажите, что 
Какое условие теоремы о равенстве смешанных производных здесь нарушено?
5. На плоскости R2 с координатами 
соотношением 
где 
(R2,R), задана кривая. Пусть 
некритическая точка 
лежащая на кривой.
а) Запишите уравнение касательной к этой кривой в точке .
б) Покажите, что если (x0, y0) – точка перегиба, то в этой точке выполняется равенство:
.
6. Покажите, что функция 
имеет бесконечное множество максимумов и ни одного минимума.
7. Является ли достаточным для минимума функция f(x, y) в точке М (x0, y0), чтобы эта функция имела минимум вдоль каждой прямой, проходящей через
точку (x0, y0)? Рассмотрите пример 
.
8. Доказать, что касательные плоскости к поверхности 
образуют с плоскостями координат тетраэдр постоянного объема.
9. Найти значение первого дифференциала функции 
в точке 
на векторе смещения h=(0,5; 0,1).
10. Найти частные производные первого и второго порядка функции z = z(x, y), если
.
11. Найти du, dv, d 2u, d2v , если 
12. Найти dz, du, d2z, d2u , если 
13. Приняв у за новое независимое переменное, а х за функцию от у, преобразовать уравнение: 
.
14. Введя новые переменные, преобразовать уравнение:
.
15. Приняв и и v, за новые переменные, а w за новую функцию от и и v, преобразовать уравнение: 
.
16. Найти производную функции 
в точке М(2, 1, 2) по направлению градиента функции 
в этой точке.
17. Исследовать функцию 
.
18. Найти точки условного экстремума функции:
.
19. Через точку М, лежащую внутри данного угла провести прямую так, чтобы она отсекала от угла треугольник наименьшей площади.