СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ.
Задача 8
Условие задачи. На стальной вал установлены: зубчатое колесо диаметром D1 и шкив ременной передачи диаметром D2 (рис.21).
Требуется:
1) построить эпюры крутящих и изгибающих моментов. Принять F1 = 2F2.
2) определить диаметры вала d, используя четвертую теорию прочности (теория удельной потенциальной энергии изменения формы). Принять коэффициент запаса прочности равным 5.
Полученные значения диаметров d округлить до ближайших стандартных значений, которые приведены в табл.7. Диаметры участков вала под подшипники качения принять кратными 5 мм.
Таблица 7
| ряд | |||||||||||||||||||
| ряд |
Данные для решения задачи взять из табл. 8.
Порядок расчета вала на совместное действие крутящего и изгибающего моментов показан на примере.
Пример. Определить требуемые диаметры вала dA, dB, dC, dD (рис. 22,а). Принять 
.
Решение. 1). Скручивающие моменты, возникающие на звездочке и зубчатом колесе, определяем по формулам:
 |
Рис. 21.
Таблица 8
| № строки | Расчетная схема | Р, кВт | w, рад/с | Марка стали | Предел текучести sу, МПа | а, мм | D1, мм | D2, мм |
| I | ст.30 | |||||||
| II | ст.40 | |||||||
| III | ст.45 | |||||||
| IV | ст.50 | |||||||
| V | ст.55 | |||||||
| VI | ст.60 | |||||||
| VII | ст.30ХМ | |||||||
| VIII | ст.40ХМ | |||||||
| IX | ст.12ХН3а | |||||||
| X | ст.20ХН3а | |||||||
| е | д | е | г | г | е | д | е |
Из условия равновесия
откуда
Величина момента, скручивающего вал, может быть определена через требуемую мощность и угловую скорость:
б). Составим расчетную схему, приводя усилия и моменты к оси вала (рис. 22,б).
Крутящий момент 
действует на участке между звездочкой и зубчатым колесом (рис. 22,в). Окружные усилия 
и 
вызывают изгиб вала между опорами в вертикальной плоскости (рис. 22,г). Опорные реакции определим из уравнений статики
Рис. 22.
откуда
Аналогично
Используя метод сечений, определим изгибающие моменты. Строим эпюру изгибающих моментов от сил, действующих в вертикальной плоскости 
(рис. 22,г).
Радиальное усилие на зубчатое колесо примем равным 
. Оно вызывает изгиб вала в горизонтальной плоскости.
Опорные реакции определим из условия статического равновесия, а изгибающие моменты методом сечений. Строим эпюру изгибающих моментов в горизонтальной плоскости 
(рис. 22,д).
Суммируя изгибающие моменты, действующие в вертикальной и в горизонтальной плоскостях, определим изгибающий момент в характерных точках по длине вала (рис. 22,е), как геометрическую сумму составляющих моментов, то есть
В точке "С":
В точке "D":
Радиальное усилие можно было не учитывать вследствие незначительности.
Диаметры вала определим, используя третью теорию прочности (наибольших касательных напряжений):
так как для вала круглого поперечного сечения
то
Таким образом:
в точке "С"
в точке "D"
Окончательно принимаем диаметры из первого ряда табл. 7: в точке "С" dС = 125мм, в точке "D" dD = 140мм.
Остальные диаметры назначаем из конструктивных соображений: dA = dB = 75 мм.
Задача 9
Условие задачи. Для чугунной внецентренно сжатой колонны, поперечное сечение которой показано на рис. 23, требуется:
1) определить допускаемое значение внецентренно приложенной сжимающей силы Fиз расчета на прочность(след линии действия силы на плоскости поперечного сечения обозначен точкой и буквой F).
2) при найденном значении силы F построить эпюру нормальных напряжений в поперечном сечении колонны.
Данные для решения задачи взять из табл. 9.
Порядок решения задачи показан на примере.
Пример. Определить допускаемое значение внецентренно приложенной силы F (рис. 24) и построить эпюру нормальных напряжений в поперечном сечении колонны.
Рис. 23.
Принять: 
, 
. Считать устойчивость колонны обеспеченной.
Таблица 9
| № строки | Расчетная схема | а, см | b, см | Материал |  ,
МПа
|  ,
МПа
|
| I | СЧ12-28 | |||||
| II | СЧ38-60 | |||||
| III | СЧ28-48 | |||||
| IV | СЧ12-28 | |||||
| V | СЧ38-60 | |||||
| VI | СЧ12-28 | |||||
| VII | СЧ38-60 | |||||
| VIII | СЧ28-48 | |||||
| IX | СЧ12-28 | |||||
| X | СЧ28-48 | |||||
| е | г | д | е | е | е |
Рис. 24
Решение. 1). Передача нагрузки на колонну осуществляется таким образом, что нагрузка смещена относительно главных осей поперечного сечения Ох и Оу. В результате чего нагрузка вызывает в сечении:
сжимающую продольную силу N = F
и изгибающие моменты 
.
Положение одной из главных осей Оу известно – это ось симметрии; положение оси Охнайдем, разбивая плоское сечение колонны на два прямоугольных элемента и вычислив статический момент сечения относительно вспомогательной оси 
:
откуда
.
Найденное значение 
откладываем в сторону отрицательных значений у от вспомогательной оси 
и проводим координатную ось Ох через центр тяжести сечения. Направление координатных осей Ох и Оу выбираем так, чтобы сила F находилась в первой четверти: 
2). Напряжения определим, используя принцип суперпозиции (независимости действия сил), то есть
.
Знак минус перед формулой соответствует сжимающей силе; координаты х и уподставим со своими знаками.
Определим моменты инерции сложного сечения:
:
.
Определим радиусы инерции:
Наибольшие напряжения возникают в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси, уравнение которой запишем из условия 
, то есть:
.
Принимая 
, находим отрезок, отсекаемый нейтральной осью на оси у:
.
Принимая 
, находим отрезок, отсекаемый нейтральной осью на оси х:
.
По найденным значениям отрезков проводим нейтральную ось (рис. 24, б).
Точки "В" (координаты: 
) и "D" (координаты: 
) являются наиболее удаленными от нейтральной оси.
Напряжение в точке "В":
Приравняем найденное значение напряжения 
к допускаемому напряжению на сжатие 
, то есть = 
:
,
откуда
.
Напряжение в точке "D":
Приравниваем найденное значение напряжения 
к допускаемому напряжению на растяжение 
, то есть = 
:
,
откуда
.
Из полученных значений силы Fadmвыбираем меньшее:
3). Определяем окончательные значения напряжений:
По полученным данным строим эпюру нормальных напряжений (рис. 24,б).
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
Задача 10
Условие задачи. Определить допускаемое значение центрально приложенной сжимающей силы, если коэффициент запаса устойчивости 
. Материал стойки – сталь 45
(
).
Данные для решения задачи взять из табл. 10.
Порядок решения задачи показан на примере.
Пример. Определить допускаемое значение центрально приложенной сжимающей силы F (рис. 25), если коэффициент запаса на устойчивость 
. Материал стойки
сталь 45.
Моменты инерции сечения, ограниченного эллипсом, определить по уравнениям: 
; 
, где а и b - радиусы эллипса.
Площадь эллипса: 
.
Поворот опорного сечения в плоскости zy не допускается.
Решение. 1). Потеря устойчивости стойки происходит в плоскости наименьшей жесткости, то есть поперечные сечения поворачиваются относительно оси Оу. Момент инерции поперечного сечения относительно оси Оу равен:
Площадь сечения
Радиус инерции
Таблица 10
| № строки | Расчетная схема | Расчетное сечение | Длина стойки l, м | Схема закрепления концов стержня |
| I II | 
| 2,1 2,2 | 
| |
| III IV | 
| 5,3 5,4 | 
| |
| V VI | 
| 6,5 6,6 | 
| |
| VII VIII | 
| 6,7 6,8 | 
| |
| IX X | 
| 5,0 5,0 | 
| |
| е | е | д | г |
 |
Рис. 25.
Коэффициент, учитывающий условие закрепления стойки в плоскости наименьшей жесткости (рис. 25, б), m = 0,7.
Гибкость стойки
Так как гибкость 
меньше предельной 
(
), то формула Эйлера 
не применима.
Критическое напряжение может быть определено по эмпирической формуле Ясинского, которая имеет вид:
Тогда критическое значение сжимающей силы для стойки, выполненной из стали 45 (а = 449 МПа; b = 1,67 МПа), определим по формуле:
а допускаемое значение силы
Допускаемая нагрузка может быть так же определена по формуле:
Значение коэффициента уменьшения допускаемого напряжения j принимаем в зависимости от гибкости и материала стойки по табл. 11
Таблица 11
| Гибкость стойки | Материал стойки | |||
| Ст.2, Ст.3,Ст.4 | Ст.5 | Чугун | Дерево | |
| 1,00 | 1,00 | 1,00 | 1,00 | |
| 0,99 | 0,98 | 0,97 | 0,99 | |
| 0,96 | 0,95 | 0,91 | 0,97 | |
| 0,94 | 0,92 | 0,81 | 0,93 | |
| 0,92 | 0,89 | 0,69 | 0,87 | |
| 0,89 | 0,86 | 0,57 | 0,80 | |
| 0,86 | 0,82 | 0,44 | 0,71 | |
| 0,81 | 0,76 | 0,34 | 0,60 | |
| 0,75 | 0,70 | 0,26 | 0,48 | |
| 0,69 | 0,62 | 0,20 | 0,38 | |
| 0,60 | 0,51 | 0,16 | 0,31 | |
| 0,52 | 0,43 | - | 0,25 | |
| 0,45 | 0,37 | - | 0,22 | |
| 0,40 | 0,36 | - | 0,18 | |
| 0,36 | 0,29 | - | 0,16 | |
| 0,32 | 0,26 | - | 0,14 | |
| 0,29 | 0,24 | - | 0,12 | |
| 0,26 | 0,21 | - | 0,11 | |
| 0,23 | 0,19 | - | 0,10 | |
| 0,21 | 0,17 | - | 0,09 | |
| 0,19 | 0,16 | - | 0,08 |
В рассматриваемом примере коэффициент j = 0,89, тогда
Если принять, что 
, то
