Тема урока: «Понятие объёма. Объём прямоугольного параллелепипеда».
Новый материал.
Понятие объема тела
Еще в глубокой древности у людей возникла необходимость в измерении количества различных веществ. Сыпучие вещества и жидкости можно было мерить, наполняя ими сосуды определенной вместимости, т.е. определяя их количество по объему. Понятие объема в стереометрии вводится аналогично понятию площади в планиметрии. В планиметрии мы определяли площадь так: площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Сформулировать аналогично данному понятию понятие объема.Величина части пространства, занимаемого геометрическим телом, называется объемом этого тела.
Единицы измерения объема
В повседневной жизни нам часто приходится определять объемы различных тел. Например, коробки, банки. В житейской практике единицами объема служили меры емкости, используемые для хранения сыпучих и жидких тел.
Среди них английские меры:
· Бушель – 36,4 дм3
· Галлон – 4,5 дм3
· Баррель (сухой) – 115,628 дм3
· Баррель (нефтяной) – 158,988 дм3
· Английский баррель для сыпучих веществ 163,65 дм3.
В Киевской Руси существовала мера зерна – кадь. (Это примерно 230 кг ржи) Жидкости же мерили бочками и ведрами. В XIX в. система мер жидкости имела вид:
· Ведро – 12 дм3
· Бочка – 490 дм3
· Штоф – 1,23 дм3 = 10 чарок
· Чарка – 0,123 дм3=0,1 штофа = 2 шкалика
· Шкалик – 0,06 дм3 = 0,5 чарки.
Для того, чтобы определить какая из двух емкостей вместительнее, можно заполнить одну из них водой, а затем проверить, вся ли вода поместится в другую, и если вся, то заполнит ли она ее полностью. Однако решить эту задачу иначе – вычислить объем каждой емкости. Для этого нам нужны единицы объемов. Когда в планиметрии мы вводили единицы площади, то за единицу площади брали квадрат со стороной 1 см (1 см2). Аналогично, за 1см3 принимаем куб с ребром 1 см. Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей. Число измерения (единичных кубов) и частей единицы, содержащихся в данном теле, принимается за числовое значение объема при выбранной единице измерения. Это число может быть как рациональным (в частности, целым), так и иррациональным.
Свойства объемов
1. Равные тела имеют равные объемы. (Понятие определяется на основе понятия наложения).
2. Объем тела, состоящего из некоторых частей, равен сумме объемов этих частей.
3. Объем куба с ребром а равен а3.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Поиск формул, позволяющих вычислять объемы различных тел, был долог.
В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для нахождения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды.
Определять объемы призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки еще задолго до Архимеда. Но только он имел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам ученый определил с помощью своего метода площади, объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. На могильной плите Архимеда, как завещал ученый, был изображен цилиндр с вписанным шаром, а эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда – о том, что объемы этих тел относятся как 3: 2.Когда Римский оратор и общественный деятель Цицерон, живший в 1 в. до н.э., был в Сицилии, он еще видел этот заросший кустами и терновником памятник с шаром и цилиндром.
Мы будем находить объем прямоугольного параллелепипеда, используя следующую теорему.
Теорема: Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.
Следствия
1. Объем прямоугольного параллелепипеда, равен произведению площади основания на высоту.
2. Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.
Закрепление новых знаний. Решение задач.
Задача 1. Кабинет, в котором проходит наш урок, имеет форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 6,5 м, 8 м и 3,6 м. По принятым санитарным нормам на одного учащегося в учебном кабинете должно приходиться не менее 6 м3 воздуха. Какое наибольшее количество учащихся можно разместить в этом кабинете, не нарушая санитарных правил?
Задача 2. № 650. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8 см, 12 см и 18 см. найдите ребро куба, объем которого равен объему этого параллелепипеда.
Задача 3. № 653. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани и угол в 45°с боковым ребром. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда.
Задача 4
Сколько литров воды вмещает бак, имеющий форму куба с ребром 6 дм?
Задача 5
За сутки человек совершает вдох и выдох примерно 23 000 раз. За один вдох в легкие поступает 500 см3 воздуха. Какой объем воздуха (в литрах) проходит через легкие человека за сутки?
Задача 6
Больному прописали глазные капли, по 2 капли 3 раза в день в оба глаза. Во флаконе 10 мл лекарства. Объем капли 1/9 мл. Хватит ли одного флакона на неделю?
Домашнее задание
а) Написать конспект по данной теме. Решить задачи с 1-6.
б) Выполнить задание: «Когда человеку уютно, приятно, спокойно, он говорит, что ему комфортно. Оказывается, комфортность определяется формой помещения, его линейными размерами. Коэффициент комфортности можно найти по формуле: 
, где К – коэффициент комфортности, V – объём жилища, S – площадь поверхности жилища, включая пол. Чем меньше коэффициент, тем комфортнее жилище. Используя данную формулу, определите наиболее комфортную комнату в вашей квартире».