Типовые динамические звенья САУ
Список сокращений
САУ – Система Автоматического Управления
ЛАЧХ - Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
ЛФЧХ - Логарифмическая фазовая частотная характеристика
АЧХ - Амплитудно-частотная характеристика
ФЧХ - Фазочастотная характеристика
При рассмотрении и сравнении амплитудных и фазочастотных характеристик для устройств различных видов возникает проблема их компактного представления, так как значения амплитуд и частот (см. рис. 1) существенно различаются друг от друга. Кроме того, и сама величина диапазона частот, в котором характеристики конкретного устройства представляют интерес, может быть весьма значительна, от долей герц до десятков мегагерц.
Рис. 1
Решение этой проблемы лежит в использовании логарифмических масштабов в частотных характеристиках.
Логарифмический коэффициент усиления по мощности измеряют специальными единицами, которые носят название Белл (Б).
1 Белл соответствует усилению мощности в 10 раз.
Чаще используют единицу в десять раз меньшую – децибел (дБ).
.
Такое представление коэффициента усиления используют в теории автоматического управления для измерения амплитуды частотной характеристики в децибелах –
| (2) |
По оси частот в теории автоматического управления так же используют логарифмический масштаб на основе десятичного логарифма частоты.
При этом ось частот будет иметь следующий вид –
Рис. 3
Изменение частоты в десять раз называют декадой. Причем на оси частот, при ее логарифмическом масштабе, принято обозначать значения частоты в рад/с, иногда в герцах, особенно это принято в радиотехнике и в инженерной практике.
Особо отметим, что логарифмическая шкала не имеет нуля и может пересекаться вертикальной осью в любом месте, что особенно важно тем, что дает возможность рассматривать частотные свойства динамических звеньев и конкретных устройств в необходимом диапазоне изменения частот, где характеристика представляет интерес для исследователя.
ЛАЧХ — это зависимость модуля коэффициента усиления устройства, от частоты в логарифмическом масштабе.
Масштаб по оси абсцисс ЛАЧХ
По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе, единица измерения — безразмерная величина:
· декада (дек): 1 декада равна изменению частоты в 10 раз.
· октава(окт): 1 октава равна изменению частоты в 2 раза.
Масштаб по оси ординат ЛАЧХ
По оси ординат откладывается амплитуда выходного сигнала в логарифмических безразмерных величинах:
· децибел (дБ) (десятая часть бела) — это отношение мощностей (10 децибел равно изменению мощности в 10 раз).
1 децибел равен (для амплитуд размерности напряжения) одной двадцатой изменению амплитуды сигналов в 10 раз.
ЛФЧХ — это зависимость фазы выходного сигнала от частоты в полулогарифмическом масштабе
· по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе (в декадах или октавах)
· по оси ординат откладывается выходная фаза в угловых градусах или радианах.
Теперь дадим определение логарифмическим частотным характеристикам.
Логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ) динамического звена называют такое представление амплитудной частотной характеристики (АЧХ), в котором модуль (амплитуда) частотной характеристики выражен в децибелах, а частота – в логарифмическом масштабе.
Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) динамического звена называют такое представление фазочастотной характеристики (ФЧХ), в котором частота выражена в логарифмическом масштабе.
В западной литературе и в программе Matlab ЛАФЧХ называется диаграммой/графиком Боде.
Довольно часто ЛАЧХ И ЛФЧХ строятся на одном графике, чтобы давать полное представление о свойствах объекта, покажем на рис. 4 примерный вид и оформление ЛАЧХ и ЛФЧХ некоторого инерционного объекта.
Рис.4
ЛАФЧХ - это по сути ЛАЧХ + ЛФЧХ построенные в одной системе координат (друг под другом [в конце на примере видно]).
Источником данных является передаточная функция системы. Она является комбинацией типовых звеньев, для простоты построения сложную передаточную функцию разбивают на типовые звенья. Каждое типовое звено задает определенный наклон для ЛАФЧХ например: +20, +40, -20 и т.д.
Основные типовые звенья
| № | Звено | Передаточная функция | ЛАФЧХ | Примечания |
| Пропорциональное (усилительное) | {\displaystyle \ K}K | 
| Дает сдвиг по оси ординат{\displaystyle \ K=100}Дает | |
| идеальное интегрирующее | {\displaystyle \ 1/s}1/s | 
| Наклон: -20 | |
| идеальное дифференцирующее | {\displaystyle \ s}s | 
| +20 | |
| апериодическое (реальное интегрирующее) | {\displaystyle {\frac {1}{Ts+1}}}1/(Ts+1) | 
| -20 с запаздыванием зависящим от Т{\displaystyle \ T=0,01} | |
| колебательное | 1/(T2s2+2ξTs+1){\displaystyle {\frac {1}{T^{2}s^{2}+2\;\xi \ Ts+1}}} | 
| {\displaystyle \ T=0,01} -40 с запаздыванием{\displaystyle \xi \ =0.1} | |
| неустойчивое апериодическое | {\displaystyle {\frac {1}{Ts-1}}}1/(Ts-1) | 
| {\displaystyle \ T=0,01} неминимально-фазовое, с запаздыванием -20 | |
| дифференцирующее звено первого порядка (форсирующее первого порядка) | {\displaystyle \ Ts+1}Ts+1 | 
| {\displaystyle \ T=0,01}+20 с запаздыванием | |
| форсирующее второго порядка | T2s2+2ξTs+1 | 
| {\displaystyle \ T=0,01} +40 с запаздыванием{\displaystyle \xi \ =0.1} | |
| чистого запаздывания | e-sT {\displaystyle \ e^{-sT}} | 
| Влияет только на ЛФЧХ{\displaystyle \ T=0.0001} |
Пример
Для САУ была определена передаточная функция. Следует определить ЛАЧХ САУ.
.
Решение
Представим САУ в виде последовательно включенных динамических звеньев
Разбили передаточную функцию на типовые звенья! (Просто дробь указанную выше разложили на слагаемые)
Получим асимптотические ЛАЧХ для каждого апериодического звена
Строим для каждого звена (кубика) отдельный график! (используя таблицу типовых звеньев указанную выше)
Используя свойства ЛАЧХ взаимообратных звеньев, получим асимптотические ЛПЧХ форсирующих звеньев 
.
Получим асимптотическую ЛАЧХ САУ выполнив графическое суммирование ЛАЧХ звеньев
.
Задачу существенно упрощает то, что асимптотические графики звеньев имеют участки с целочисленным наклоном.
Просто соединяем полученные части, учитывая время их включения!
Построение ЛФЧХ:
Рисуем новую систему координат прямо под построенной ЛАЧХ, спускаем пунктиром точки на ось абсцисс, так же по частям рисуем график, каждое звено дает изменение фазы +90о, -90о,+180о и т.д. Данные для каждого типа звена берем из таблицы указанной выше.
Вот хороший сайт, на котором интерактивно можно посмотреть (по переключать) различные типы звеньев (выводит и ЛАЧХ и ЛФЧХ), а так же структурные преобразования схем (то что было на прошлых семинарах):
https://model.exponenta.ru/lectures/0030.htm