Случайные величины и системы случайных величин

Задачи по теории вероятностей

Случайные величины и системы случайных величин

Пример 1. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается число очков, выпавших на обеих верхних гранях. Найти закон распределения суммы выпавших очков на двух игральных кубиках

Пример 2. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течении часа станок не потребует внимания рабочего, для первого станка равна 0,9, для второго – 0,8, третьего – 0,75 и для четвертого – 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию числа станков, которые не потребуют внимания рабочего в течении часа.

Пример 3. Вероятность изготовления нестандартного изделия 0,1. Для проверки качества изготавливаемых изделий ОТК берет из партии не более 4 деталей. При обнаружении нестандартного изделия вся партия задерживается. Написать закон распределения числа изделий, проверяемых ОТК в каждой партии. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Пример 4. В ящике 20 деталей, из которых 7 деталей бракованных. Из ящика извлекается 9 деталей. Определить закон распределения числа бракованных деталей в выборке. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Пример 5. В среднем в городе происходит две аварии в день. Считая, что число аварий распределено по закону Пуссона:

а) определить вероятность того, что за день не будет ни одной авварии;

б) определить вероятность того, что за день будет не менее двух аварий.

Пример 6. Электронный узел работает в течении случайного времени Т, распределенного по показательному закону с параметром µ. Найти вероятность того, что за время τ: а) лампу не придется заменять; б) лампу придется заменять ровно три раза; в) лампу придется заменять не мене трех раз.

Пример 7. Случайная величина Х подчинена закону Симпсона (закону равнобедренного треугольника) на участке от - а до + а. а)Написать выражение для плотности распределения.

б) Построить график функции распределения. в) Определить числовые характеристики случайной величины Х.

Пример 8. Случайная величина Х с вероятностью имеет плотность распределения , а с вероятностью -- плотность распределения . Написать выражение для плотности распределения и функции распределения величины Х. Найти ее математическое ожидание и дисперсию.

Пример 9. Заработная плата работников компании распределена по нормальному закону со средним значением 6000р. Известно, что 15% работников имеют больше 7000р. Определить процент работников, имеющих заработную плату больше 7500р.

Пример 10. Дана функция . При каких значениях С эта функция – плотность распределения случайной величины.

Пример11. Во многих случаях распределение дохода имеет логарифмический нормальный закон, в котором плотность распределения определяется по формуле

. Найти математическое ожидание и дисперсию дохода.

Пример 12. Доходы некоторой категории семей распределены по нормальному закону со средним значением а = 15000р и дисперсией 10000. Рассматривается часть этой категории семей, у которой доходы больше14000р. Найти закон распределения дохода у этой части и его среднее значение. (Определение характеристик усеченного распределения).

Пример 13. Закон распределения случайного вектора(Х,У) определяется таблцей

а) Определить безусловные и условные законы распределения Х и У.

б) Определить математическое ожидание и дисперсию этих величин, а так же коэффициент корреляции между ними.

Пример 14. Закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей

1) Найти условный закон распределения величины У при Х = 1. Являются ли независимыми величины Х и У.

2) Определить вероятность того, что a) (Х<3, Y<4); b) (0<X<2, 1<Y<7).

Пример15. Два стрелка независимо один от другого производят по одному выстрелу, каждый по своей мишени. Случайная величина Х – число попаданий первого стрелка; У – второго стрелка. Вероятность попадания для первого стрелка . Построить функцию распределения F(X,Y) случайных величин (Х,У).

Пример16. Задана функция распределения системы случайных величин (Х,У)

Найти вероятность того, что случайные величины Х и У примут значения соответственно X <2, Y<4.

Пример 17. Дана функция распределения системы случайных величин

.

1) Определить плотность распределения системы f(x,y).

2) Являются ли случайные величины зависимы?

3) Определить математическое ожидание и дисперсию случайных величин Х и У.

Пример18. Дана плотность распределения системы случайных величин (Х,У)

вне этого квадрата f(x,y) = 0.

1) Определить функцию распределения F(x,y).

2) Вычислить вероятность того, что .

3) Определить математическое ожидание и дисперсию случайных величин Х и У, а так же коэффициент корреляции между ними.

Пример 19. Плотность распределения системы случайных величин (Х,У) имеет вид

при ), а в остальных случаях f(x,y)=0.

Найти чему равны .

Пример20. Система случайных величин (Х,У) распределена по круговому нормальному закону с дисперсией σ²:

Заменить приближенно этот закон распределения законом постоянной плотности в круге; радиус круга подобрать так, чтобы сохранились неизменными дисперсии величин Х и У.

Пример 21. Нормальный закон распределения имеет математическое ожидание m_x = 4 дисперсией σ² = 9. Определить вероятность попадания случайной величины в интервал

-2 < X < 5