Лекция 5.
Непрерывные распределения.
Напомним, что непрерывной случайной величиной называется такая, множеством значений которой является интервал или вся числовая ось. Для непрерывной случайной величины 
существует такая интегрируемая функция 
, что для 
функция распределения вероятностей имеет вид
(1)
Функция 
, где 
, называется плотностью вероятности случайной величины или плотностью распределения.
Свойства плотности распределения.
1. Если – непрерывная функция в промежутке 
, то 
– дифференцируемая функция и
(2)
как производная от интеграла по верхнему пределу.
2. Плотность вероятности является неотрицательной функцией
,
так как функция является неубывающей функцией 
и следовательно 
.
3. 
.
Это равенство следует из соотношений
.
Эта величина численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью 
и прямыми 
и 
. Отсюда также следует, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет заданное значение, равна нулю: 
.
4. Если – непрерывная функция, то
,
так как 
.
Величина 
называется элементом вероятности и представляет собой вероятность того, что случайная величина примет значения, заключенные в промежутке между 
и 
.
5. 
. Это равенство представляет собой условие нормировки для плотности вероятности и следует из равенства 
, поскольку 
. Геометрически условие нормировки плотности вероятности означает, что площадь области, ограниченной графиком плотности распределения и осью абсцисс, равна единице. Она равна вероятности того, что случайная величина примет значения между 
и 
, т.е. вероятности достоверного события.
Примеры непрерывных распределений.
1. Равномерное распределение на отрезке 
На отрезок числовой прямой наугад бросают точку, причем считают все положения точки равновозможными. Тогда 
. Пусть 
– 
– алгебра измеримых множеств из и 
. Тогда 
.
При каждом 
, т.е. – случайная величина. Функция распределения этой случайной величины имеет вид
Плотность вероятности равномерного распределения равна
Ниже приведены графики функции распределения и плотности вероятности для равномерного распределения случайной величины
Равномерное распределение используется при генерировании на ЭВМ случайных чисел.
Нормальный закон распределения
Плотность вероятности случайной величины, распределенной по нормальному закону, имеет вид
(3)
где 
– параметры распределения: 
, 
.Переменная может принимать любые значения.
Впервые это распределение рассмотрел Гаусс при изучении ошибок астрономических наблюдений. Среди законов распределения это распределение встречается наиболее часто, поэтому оно называется нормальным. Нормальный закон хорошо описывает ошибки различных приборов. Причину широкого распространения нормального закона впервые объяснил Ляпунов. Если случайная величина может рассматриваться как сумма большого числа малых слагаемых, то при достаточно общих условиях закон распределения этой случайной величины близок к нормальному независимо от того, по какому закону распределены отдельные слагаемые. А так как практически случайные величины в большинстве своем являются результатом воздействия большого числа различных причин, то этим объясняется популярность этого закона.
Покажем, что функция может рассматриваться как плотность вероятности. Действительно, она неотрицательна и непрерывна. Проверим, что выполняется условие нормировки для этой функции
. 
= 
. Вычислим полученный интеграл
. Отсюда 
и
. (4)
Этот интеграл называется интегралом Пуассона.
Следовательно,
. (5)
Отсюда получим 
.
График функции симметричен относительно прямой .
, 
.
Найдем экстремумы функции . Для этого вычислим первую производную этой функции и найдем ее корни.
Первая производная обращается в нуль при . Вычисли вторую производную функции и найдем ее значение в точке .
Вторая производная отрицательна в точке . Следовательно, функция имеет максимум в точке . График плотности вероятности для нормального распределения называется кривой Гаусса. Построим график плотности вероятности для значений 
.
Отсюда видно, что график функции не меняет своего вида при изменении параметра 
, а лишь сдвигается вдоль оси влево или вправо. Параметр является параметром сдвига.
Найдем теперь точки перегиба графика функции. Для этого найдем корни второй производной и вычислим значения третьей производной в этих точках. Третья производная равна
.
Вторая производная обращается в нуль в точках 
и 
. Третья производная в этих точках равна соответственно 
и 
. Она отлична от нуля. Значит, найденные точки являются точками перегиба графика функции. Построим графики функции для значений параметров 
.
Параметр равен расстоянию между точкой максимума функции и точкой перегиба. Он является мерой «широты» кривой. Чем больше значение , тем меньше величина максимума функции. При уменьшении кривая вытягивается вверх. При этом площадь фигуры под кривой всегда равна единице.
Стандартной нормальной случайной величиной называется случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами 
. Плотность распределения с тандартной нормальной случайной величины имеет вид
. (6)
Для этой функции существуют подробные таблицы. Плотность вероятности нормального распределения для других значений параметров связана с функцией 
соотношением
(7)
Функция распределения случайной величины, подчиняющейся нормальному закону, имеет вид
(8)
Эта функция для стандартной нормальной случайной величины, имеет вид
Чаще используется функция
,
которая называется функцией Лапласа. Она связана с 
соотношением
, так как
При выводе этого соотношения было использовано значение (5) для интеграла Пуассона и учтена четность подынтегральной функции.
Для функции 
также существуют подробные таблицы.
Эта функция обладает следующими свойствами: она нечетна 
, 
и 
.
Иногда используют функцию 
. Все перечисленные функции 
называются функциями Лапласа. Для этих функций существуют подробные таблицы значений, при использовании которых необходимо учитывать, какая именно функция Лапласа рассматривается.
Функции Лапласа можно выразить через функцию ошибок 
, которая является встроенной функцией многих математических пакетов. Например, 
.
Функция распределения 
выражается через
Построим графики функций для значений параметров .
Вероятность попадания СВ, распределенной по нормальному закону с параметрами в промежуток 
вычисляется по формуле
, так как
.
Отметим, что 
Эту вероятность можно записать также в виде
или
Вероятность попадания нормальной случайной величины с параметрами в промежуток, симметричный относительно параметра определяется формулой
,
так как
.
Вероятность для СВ, распределенной по нормальному закону, попасть в промежуток 
равна
,
Вероятность для СВ, распределенной по нормальному закону, попасть в промежуток 
равна
.
Распределение Релея.
По закону Релея распределены амплитуды волн, огибающая случайных шумов.
Плотность вероятности распределения Релея имеет вид
Интегрируя это выражение, найдем функцию распределения
Построим графики плотности вероятности и функции распределения для значений 
(сплошной линией) и 
(пунктирной линией
Плотность вероятности Функция распределения
Плотность вероятности имеет максимум в точке 
.
4. Показательное распределение
Плотность вероятности 
и функция распределения 
для показательного распределения имеют вид
Построим графики плотности вероятности и функции распределения для значений 
(сплошной линией) и 
(пунктирной линией)
Плотность вероятности Функция распределения
Среди непрерывных распределений только показательное распределение обладает свойством отсутствия последействия.
Действительно, пусть элемент, время 
безотказной работы которого распределено по показательному закону, проработал время 
. Тогда для вероятности времени безотказной работы 
.
Действительно, 
Распределение остатка времени безотказной работы не зависит от того, сколько времени прибор проработал. Предварительное использование элемента не влияет на оставшееся время его работы, т.е. у элемента нет старения. Показательное распределение используется в качестве модели времени безотказной работы сложной системы, элементы которой восстанавливаются в процессе работы..
По показательному закону распределена длительность работы многих приборов. Вероятность отказа прибора за время 
равна 
вероятность безотказной работы прибора за время 
называется функцией надежности 
.
5. Закон Вейбулла.
Обобщением показательного распределения и распределения Релея является распределение Вейбулла, для которого плотность вероятности и функция распределения имеют следующее представление.
где 
, 
Плотность вероятности Функция распределения
При 
закон Вейбулла становится показательным распределением, а при 
– распределением Релея. На рис приведены графики плотности вероятности и функции распределения в случае для (сплошной линией), для (пунктирной линией с длинными штрихами), для 
(пунктирной линией с короткими штрихами).
Распределение Коши.
Пусть построена окружность единичного радиуса с центром в начале координат. На окружности наугад выбирают точку, например, 
. В этой точке проводят касательную к окружности и вычисляют длину отрезка касательной до пересечения с осью . Найдем функцию распределения длин отрезков таких касательных. Построим точки 
, 
, 
на окружности, для которых длины отрезков касательных будут равны . Тогда событие 
произойдет тогда, когда точка будет выбрана на одной из дуг 
или 
. Вероятность
.
Следовательно, функция распределения
.
Плотность вероятности такого распределения равна
Распределение с такой функцией называется распределением Коши. Распределением Коши называется также распределение с плотностью и функцией распределения
. 
, 
На рис. представлены графики плотности вероятности и функции распределения для случайной величины, распределенной по закону Коши.
Гамма-распределение
Для описания случайной величины, ограниченной с одной стороны, используется гамма-распределение, плотность вероятности которого равна
где 
параметры. 
- Гамма-функция.
Функция распределения имеет вид
Построим графики плотности вероятности для значений параметров 
, 
, 
и для значений параметров 
, 
При фиксированном 
и 
плотность вероятности гамма-распределения представляет собой убывающую функцию, а при 
одновершинную кривую с максимумом в точке 
.
При больших значениях 
гамма-распределение можно аппроксимировать нормальным распределением
,
где - функция распределения нормированного нормального закона.
При 
из гамма-распределения получается показательное распределение, плотность которого равна
Гамма-распределение позволяет описывать самые различные случайные величины со значениями от 0 до . Особенно часто оно используется в теории надежности в качестве модели времени безотказной работы различных приборов и сложных систем.
Частным случаем гамма–распределения при 
является распределение Эрланга, которое встречается в задачах резервирования теории надежности. Пусть имеется несколько резервных элементов, которые по мере возникновения отказов последовательно подключаются на место основного и выполняют его функции. Совокупность основного и резервного элементов называется резервной группой. Плотность распределения времени безотказной работы 
элементов задается формулой
Распределение Эрланга имеет сумма независимых случайных величин, каждая из которых имеет показательное распределение с параметром 
.
8. Распределение 
.
Частным случаем гамма–распределения с параметрами 
является распределение с степенями свободы..
Это распределение описывает случайную величину 
, где 
– независимые случайные величины, одинаково распределенные по нормальному закону с параметрами 
.
На рис. приведены графики плотности распределения для значений параметра 
.
9. Распределение Стьюдента (
распределение).
Распределением Стьюдента (или распределением ) с степенями свободы называется распределение случайной величины
, где 
– независимые случайные величины, одинаково распределенные по нормальному закону с параметрами .
Плотность вероятности такого распределения имеет вид
. 
.
При 
график плотности вероятности распределения Стьюдента приближается к графику нормального распределения.
На рис. представлены графики плотности распределения Стьюдента в случае 
. Эти графики симметричны относительно оси ординат.
При распределение Стьюдента совпадает с распределением Коши
, для которого функция распределения имеет вид
.