Задания 91-120: Использовать физический смысл криволинейных интегралов

Задачи

Задания 1-15: Вычислить двойной интеграл по заданной области D:

1. а)

б)

2. а)

б)

3. а)

б)

4. а)

б)

5. а)

б)

6. а)

б)

7. а)

б)

8. а)

б)

9. а)

б)

10. а)

б)

11.а)

б)

12. а)

б)

13. а)

б)

14. а)

б)

15. а)

б)

Задания 16-20: Записать через повторный двумя способами и найти площадь области D:

16.

17.

18.

19.

20.

Задания 21-25: Изменить порядок интегрирования:

21.

22.

23.

24.

25.

Задания 26-30: Построить область, площадь которой выражается заданным повторным интегралом. Изменить порядок интегрирования и найти площадь:

26. Ответ.

27. . Ответ.

28.

29.

30.

Задания 31-40: Вычислить двойной интеграл в полярных координатах:

31. , D – круг

32. , D – часть кольца .

33. , D – определена неравенствами .

34. , D – часть круга радиуса 5 с центром в точке O(0, 0), лежащая в первой четверти. Ответ.

35. , D – кольцо между окружностями
и Ответ. 416 π.

36. , .

 

37.

38..

39. , D – круг .

40.

 

Задания 41-45: С помощью двойного интеграла в полярных координатах найти площадь фигуры, ограниченной линией.

41. Ответ.

42. Ответ.

43.

44.

45.

 

Задания 46-60: С помощью двойного интеграла найти объём тела, ограниченного указанными поверхностями (в задачах, помеченных звёздочкой, рекомендуется перейти к полярным координатам).

46.

47.

48.* . Ответ. 24π

49. *

.

50.

51.

52.

53.

54.

55. *

56. *

57. *

58. *

59. *

60. *

Задание 61-75: Использовать физический смысл двойного интеграла (в задачах, помеченных звёздочкой, примените полярные координаты).

61. * Найти массу пластинки, занимающей область D, ограниченную линиями и имеющую поверхностную плотность Ответ. 4.

62. * Найти массу пластинки, занимающей область D, ограниченную линиями , если поверхностная плотность в каждой точке области равна . Ответ. 6.

63. Найти центр масс однородной области, ограниченной линиями x– 3 y= 0, x+y= 8, x= 3. Ответ.

64. Найти центр масс однородной области, ограниченной линиями , если плотность масс постоянна и равна 1. Ответ.

65.* Найти центр масс однородной фигуры, ограниченной линиями Ответ.

66. Найти массу области D, ограниченной линиями , если поверхностная плотность в каждой точке области равна . Ответ. 2.

67.* Найти массу области D, ограниченной линиями , имеющей поверхностную плотность Ответ. 7.

68.* Найти массу области D, ограниченной линиями , имеющей поверхностную плотность Ответ. 6.

69. * Найти массу области D, ограниченной линиями , если поверхностная плотность . Ответ. 15.

70.* Найти массу плоской области D, ограниченной линиями , если поверхностная плотность равна

Ответ. 10.

71. Найти массу пластинки, имеющей форму прямоугольного треугольника с катетами OB=a и OA=b, если плотность её в любой точке равна расстоянию от точки до катета OA. Ответ.

72. Найти моменты инерции однородного треугольника, ограниченного прямыми , относительно осей координат.

Ответ.

73. Найти момент инерции относительно оси OY однородной фигуры, ограниченной линиями . Ответ.

74.* Найти массу круглой пластинки радиуса R, если плотность её пропорциональна квадрату расстояния от точки до центра и равна 1 на краю пластинки. Ответ.

75. Найти момент инерции однородной фигуры, ограниченной линиями , y=a, x= 0, относительно прямой x = –a. Ответ.

Задание 76-90: Вычислить криволинейный интеграл:

76. а) L – дуга линии x = ln y между точками A (0, 1) и B (1, e).

Ответ. .

б) , L – дуга кривой Ответ. 1,9.

77. а) , L – дуга окружности x=R cos t, y=R sin t, лежащая в I четверти.

Ответ. .

б) , L – отрезок прямой от точки A (2,1,0) до точки B (4,3,1). Ответ.

78. а) , L – дуга кривой

Ответ.

б) L – дуга кривой от точки A (0,1) до

точки B (1, e). Ответ.

79. а) , L – дуга тангенсоиды

Ответ.

б) , L – дуга кривой

Ответ. 1.

80. а) , L – дуга линии между точками O (0,0) и A (1,1/4).

Ответ.

б) , L – дуга кривой

Ответ.

80. а) , L – дуга линии между точками O(0,0,0)

и . Ответ.

б) , L – дуга параболы , расположенная над осью OX и пробегаемая против хода часовой стрелки. Ответ. –4

82. а) L – контур треугольника с вершинами A (1,0), B (01), O (0,0).

Ответ.

б) , L – отрезок прямой от точки A (1,1,1) до точки

B (2,3,4). Ответ. 13.

83.* а) , L – окружность Ответ.

б) , L – дуга винтовой линии от точки ее пересечения с плоскостью до точки пересечения с плоскостью . Ответ. 0

84. а) , где AB – дуга полукубической параболы между точками

и . Ответ.

б) , OA – четверть окружности , , , пробегаемая в направлении возрастания параметра t. Ответ.

85. а) L – первый виток винтовой линии , , . Ответ.

б) , L – контур треугольника с вершинами A (1,2), B (3,1), C (2,5). Ответ. 17,5.

86. а) , L – дуга линии . Ответ.

б) , L – дуга линии .

Ответ.

87. а) , L – отрезок прямой между точками A (1,1,1)и B (3,0,3) Ответ. 27.

б) L – дуга линии пересечения гиперболоида с плоскостью y=x от точки (1,1,0)до точки .

Ответ.

88. а) , L – окружность .

Ответ.

б) , L – отрезок прямой между точками A (0,1,1)

и B (1,0,2). Ответ.

89. а) L – дуга линии

Ответ.

б) , L – дуга кривой .

Ответ. .

90. а) , L – дуга кривой .

Ответ.

б) , L – дуга линии

. Ответ. 1,9.

Задания 91-120: Использовать физический смысл криволинейных интегралов

91. Найти координаты центра масс дуги кривой , , , если в каждой точке линейная плотность равна Ответ.

92. Найти массу материальной дуги кривой с линейной плотностью Ответ. 24.

93. Найти массу материальной дуги кривой , если линейная плотность равна Ответ.

94. Найти массу первой арки циклоиды , если плотность массы в каждой точке кривой равна квадрату ординаты.

Ответ.

95. Найти массу дуги линии с линейной плотностью ρ(x,y,z) = xyz. Ответ.

96. Найти массу четверти окружности , расположенной в первом квадранте, если плотность её в каждой точке пропорцио­нальна кубу ординаты этой точки (коэффициент пропорциональности равен β).

Ответ.

97. Найти массу материальной дуги линии , если линейная плотность в каждой точке равна

Ответ.

98. Найти массу первого витка винтовой линии , , , если плотность в каждой точке линии равна модулю радиус-вектора этой точки.

Ответ.

99. Найти массу четверти эллипса , лежащей в первом квадранте, если плотность в каждой точке равна произведению коор­динат этой точки.

Ответ.

100. Найти массу четверти окружности , расположенной в первом квадранте, если плотность массы в каждой точке пропорциональна абсциссе этой точки (коэффициент пропорциональности a). Ответ.

101. Найти массу материальной дуги линии , , , , если линейная плотность её равна Ответ.

102. Найти массу участка цепной линии между точками x ₁=0 и x ₂ =a, если плотность в каждой её точке обратно пропорциональна ординате точки и равна δ в точке (0, a). Ответ. δa.

103. Найти массу дуги конической винтовой линии , , от точки O (0,0,0) до A (a,0, a), если плотность в каждой точке кривой выражается формулой Ответ.

104. Найти координаты центра масс дуги винтовой линии , если линейная плотность в каждой точке пропорциональна произведению координат этой точки.

Ответ.

105. Найти массу лемнискаты , если линейная плотность в каждой её точке равна модулю ординаты точки. Ответ.

106. Найти работу силы при перемещении точки вдоль дуги синусоиды . Ответ.

107. Найти работу, производимую силой при перемещении точки вдоль дуги астроиды от точки A (a, 0) до точки Ответ.

108. Найти работу поля при передвижении точки вдоль дуги линии Ответ. 1,1.

109. Найти работу силы при перемещении материаль­ной точки вдоль дуги эллипса x= cos t, y= 2sin t, расположенной в первой четверти. Ответ.

110. Найти работу, производимую силой при перемещении точки вдоль ломанной ABC, A (1,1), B (3,1), C (3,5).

Ответ. 190.

111. Показать, что работа, производимая силой , не зависит от вида пути с началом в точке O (0,0) и концом в точке A (1,1). Найти эту работу. Ответ. 1.

112. Показать, что работа, производимая силой , не зависит от пути перемещения точки, и найти эту работу, если точка перемещается из положения O (0,0) в положение A (2,2). Ответ. 8.

113. Показать, что работа поля не зависит от вида пути перемещения точки. Найти работу при перемещении точки из положения (0,0) в положение (1,1). Ответ. 2.

114. Показать, что работа силы не зависит от формы пути, а зависит только от начальной и конечной точек перемещения. Найти работу этой силы при перемещении точки из положения O (0,0) в положение M (1,1). Ответ. 1.

115. Показать, что работа при перемещении точки в поле не зависит от формы пути. Найти работу при перемещении точки из положения (0,0)в положение (π, π). Ответ. .

116. Проекции силы `F на оси координат задаются формулами и . Показать, что работа силы при перемещении точки зависит только от начального и конечного положений точки и не зависит от формы пути. Найти работу при перемещении точки из положения (1,0) в положение (0,3). Ответ. 0.

117. Поле образованно силой . Определить работу этого поля при перемещении массы m по контуру, образованному полуосями координат и первой четвертью эллипса , . Ответ.

118. В каждой точке M эллипса , приложена сила `F, равная по величине расстоянию от точки M до центра эллипса и направленная к центру эллипса. Найти работу силы `F при перемещении точки вдоль дуги эллипса, лежащей в первом координатном угле. Ответ.

119. В каждой точке плоскости на материальную точку действует сила `F. Найти работу силы `F при перемещении точки из начала координат в точку (1,1) по двухзвенной ломаной, звенья которой параллельны осям координат (рассмотреть два случая). Ответ. 1,5 и 1.

120. В каждой точке плоскости на материальную точку действует сила, имеющая постоянную величину F и направление положительной оси абсцисс. Найти работу этой силы при перемещении точки вдоль дуги окружности лежащей в I квадранте. Ответ. FR.

 

Задания 121-130: Доказать, что заданное выражение является дифференциалом некоторой функции; найти эту функцию:

121.

122.

123.

124.

125.

126.

127.

128.

129.

130.

 

Задания 131-135: Найти функцию U (x, y), полным дифференциалом которой является данное подынтегральное выражение и вычислить интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла.

131.

132.

133.

134.

135.

 

 

Дополнительные задачи

1. Доказать формулу Дирихле .Пользуясь этой формулой, доказать равенство .

2. Какой из интегралов больше:

а)

б) ?

 

3. Найти среднее значение функции z= 12-2 x -3 y в области, ограниченной прямыми 12-2 x -3 y =0, x =0, y =0. Отв. 4.

4. Оценить интеграл , где D – круг .
Отв.

5. Вычислить или установить его расходимость. Отв. 2.

6. Вычислить , если .
Отв. F(A,B)-F(A,b)-F(a,B)+F(a,b).

7. Вычислить . Отв. .

8. Найти объем тела, ограниченного цилиндрами и плоскостями z = 0, x+y = 2 e, . Отв. .

9. На тонкой пластине, имеющей форму параболического сегмента, ограниченного параболой и осью OX, распределён электрический заряд с поверхностной плотностью σ=2x+y. Найти полный заряд пластинки. Отв.

10. Плоское кольцо ограниченно двумя концентрическими окружностями, радиусы которых равны r и R, r<R. Зная, что плотность материала обратно пропорциональна расстоянию от центра окружностей, найти массу кольца. Плотность на внутренней окружности кольца равна единице. Отв. 2 πr(R-r).

11. В квадратной пластинке со стороной 3 плотность пропорциональна расстоянию от одной из её вершин. Найти среднее значение плотности пластинки, если в точке, удалённой от указанной вершины на , плотность равна 5. Отв.

12. Найти момент инерции однородного круга радиуса R относительно точки, лежащей на окружности. Отв. .

13. При какой замене переменных x и y на u и v параллелограмм, ограниченный прямыми x+y= 1, x+y= 2, 2x-y= 1, 2x-y= 3 на плоскости XOY перейдёт в прямоугольник на плоскости UOV со сторонами, параллельными координатным осям? Сделать чертёж.

14. Вычислить , сделав замену, подобранную в задаче 13 (область D – указанный в задаче параллелограмм). Отв. .

15. Подобрать замену переменных x и y на u и v, при которой область D на плоскости XOY, ограниченная линиями xy=1, xy=2, x-y=1, x-y+1=0, (x>0, y>0), перейдёт в прямоугольник на плоскости UOV, стороны которого параллельны координатным осям. Сделать чертёж.

16. С помощью тройного интеграла найти объём тела, ограниченного поверхностями . Отв.

17. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями . Отв.

18. В трёхкратном интеграле поменять порядок интегрирования в последовательности: а) y,x,z; б) z,x,y.

19. При каком значении параметра a объём тела, ограниченного поверхностями равен заданному числу V? Отв. .

20. Вычислить , где L – часть спирали Архимеда ρ=2φ, заключённая внутри круга радиуса R с центром в полюсе. Отв.

21. Найти длину дуги пространственной кривой между точками (0,0,0) и (3,3,2). Отв. 5.

22. Вычислить , где L – замкнутый контур квадрата с вершинами (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1). Отв. 0.

23. Вычислить Отв. 0.

24. Доказать, что величина интеграла , где L – замкнутый контур, выражает площадь области, ограниченной этим контуром.

25. Найти функцию U(x,y,z) по её полному дифференциалу
Отв. .

26. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки её приложения от оси OZ, перпендикулярна к этой оси и направлена к ней. Найти работу силы при движении точки массы m под действием этой силы по окружности x= cos t, y= 1, z = sin t от точки A (1,1,0) до точки B (0,1,1).

Отв. 0,5 k ln2, k – коэффициент пропорциональности.