Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть f(x) – непрерывна на [ a, b ], F(x) – первообразная, т.е. F′(x) = f(x).
Разобьем промежуток [ a, b ] на n произвольных частей.
F(b) – F(a) = F(x1) – F(x0) + F(x2) – F(x1) + F(x3) – F(x2) + … + F(xn) – F(xn-1) =
П р и м е р. Вычислить площадь, ограниченную одной аркой синусоиды и осью абсцисс.
y 
y = sin x
0 
π
Свойства определенного интеграла.
4. Для любых трех чисел a, b, c справедливо равенство
Геометрическая иллюстрация.
1. a < c < b. Sab = Sac + Scb 2. a < b < c. Sab = Sac - Sbc
5. Если f(x) > 0 и a < b, то 
Если f(x) < 0 и a < b, то 
Пусть f(x) > 0, a < b, F(x) – первообразная f(x), F′(x) = f(x) > 0, следовательно, F(x) возрастает, т.е. F(b) > F(a).
Эту теорему следует учитывать при вычислении площадей криволинейных трапеций.
1. f(x) ≥ 0. 
f(x)
a b x
2. 
f(x) ≤ 0.
a b x
3. 
4. 
З а д а ч и.
Вычислить площадь, ограниченную кривыми.
1.
2. y = x2 – 1, x + y – 1 = 0.
y
x2 – 1 = 1 – x, x2 – x – 2 = 0
y = 1 - x
x1 = 1, x2 = -2.
 |
-2 1 x
y = x2 - 1
Интегрирование по частям.
d(uv) = du∙v + u∙dv, u dv = d(uv) – v du 
.
П р и м е р.
Замена переменной под знаком определенного интеграла.
Пусть требуется вычислить 
Введем новую переменную t по формуле
x = φ(t).
Если
1. φ(α) = a, φ(β) = b,
2. φ(t) – непрерывная монотонная функция на интервале [α, β], то
x
b
a φ(β)= b 4
φ(α)= a
α β t 0 2 t
П р и м е р 1.
П р и м е р 2. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом x = a cos t, y = b sin t.
y
a a x
Объем тела с известным поперечным сечением.
Q = Q(x) – известная функция задающая площадь поперечного сечения плоскостью x = Const.
∆Vi = Q(xi) ∆xi. ∆xi =x i+1 – xi
Объем тела вращения.
y y = f(x) Q(x) = π r2 = π (f(x))2
 |
y x = b
r
a xx x
x = b x = f(y)
x r = f(x)
x
x = a
П р и м е р.
Вычислить объем, образованный вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной кривыми y = x2, y = -x + 2, y = 0.
y
 |
x = 2
x
x = 1
Теорема о среднем.
Если функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a, b], то внутри этого промежутка найдется такая точка x = ξ, что
Пусть F(x) – первообразная функции f(x). F′(x) = f(x). Тогда
Геометрическая иллюстрация. y= f(x)
f(ξ)
0 a ξ b
- среднее значение функции f(x) на промежутке [a, b].
Интеграл с переменным верхним пределом.
Пусть f(x) – непрерывна на [ a, b ] и 
Если x изменяется, то меняется и величина интеграла.
Теорема.
Производная интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе.
Пусть f(x) – непрерывна. F(x) – первообразная f(x), т.е. F′(x) = f(x). Тогда
Следовательно, Φ(x) – первообразная f(x).
- формула связи определенного и неопределенного интегралов.
Несобственные интегралы.
Понятие определенного интеграла было введено для конечного интервала [ a, b ] и ограниченной функции f(x). Если же интервал интегрирования бесконечный или подынтегральная функция не ограничена, то понятие определенного интеграла теряет смысл. В ряде задач, однако, есть необходимость распространить понятие интеграла и на эти случаи.
y Интегралы с бесконечными пределами.
Пусть f(x) непрерывна на промежутке
[ a, ∞). Рассмотрим b > a. Найдем
a b x
Тогда
- несобственный интеграл по бесконечному промежутку [ a, ∞) от функции f(x).
Если предел (*) существует, то интеграл называется сходящимся, в противномслучае интеграл называется расходящимся.
Аналогично определяются и другие несобственные интегралы по бесконечному промежутку.
Пусть f(x) непрерывна на интервале (-∞, b]. Тогда (a < b)
y Пусть f(x) непрерывна на (-∞, ∞), тогда
 |
(**)
a 0 b x
Интеграл 
называется
y сходящимся, если сходится каждый
из интегралов в правой части равенства
(**).
a x
П р и м е р ы
