Переходы между основными системами счисления

Содержание

1. Позиционные системы счисления.............................................................. 3

2. Переходы между основными системами счисления................................. 5

3. Основные 16‑ичные константы................................................................. 5

4. Реализация целочисленных операций...................................................... 7

5. Представление отрицательных чисел....................................................... 8

6. Целочисленные типы данных в языке Си................................................. 9

7. Вещественные типы данных в языке Си................................................. 10

8. Кодирование символов............................................................................ 12

9. Схемы алгоритмов................................................................................... 14

Позиционные системы счисления

Позиционные системы счисления (СС) – это системы счисления, в которых количественный эквивалент каждой цифры зависит от ее положения (позиции) в записи числа. Например:

1) шестидесятиричная (Древний Вавилон) – первая позиционная система счисления. До сих пор при измерении времени используется основание равное 60 (1 мин = 60 с, 1 ч = 60 мин);

2) двенадцатеричная система счисления (широкое распространение получила в XIX в. Число12 – «дюжина»: в сутках две дюжины часов. Счет не по пальцам. а по суставам пальцев. На каждом пальце руки, кроме большого, по 3 сустава – всего 12;

3) в настоящее время наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.

Система счисления – способ записи (изображения) чисел. Символы, при помощи которых записывается число, называются цифрами. Алфавитом системы счисления называется совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел. Например: Алфавиты некоторых позиционных систем счисления. Десятичная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Двоичная система: {0, 1}

Восьмеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Шестнадцатеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}

Количество цифр в алфавите равно основанию системы счисления. Основанием позиционной системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.

Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых задает количественное значение или «вес» каждого разряда. Например: Базисы некоторых позиционных систем счисления.

Десятичная система: 10⁰, 10¹, 10², 10³, 10⁴,…, 10ⁿ,…

Двоичная система: 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴,…, 2ⁿ,…

Восьмеричная система: 8⁰, 8¹, 8², 8³, 8⁴,…, 8ⁿ,…

Свернутой формой записи числа называется запись в виде

A=a_n-1a_n-2…a₁a₀.a_-1…a_-m

Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.

Пример. Десятичное число 4718,63, двоичное число 1001,1, восьмеричное число 7764,1, шестнадцатеричное число 3АF16

Позиция цифры в числе называется разрядом: разряд возрастает справа налево, от младших к старшим, начиная с нуля. В позиционной системе счисления любое вещественное число в развернутой форме может быть представлено в следующем десятичном виде:

А = ± (a_n-1q^n-1+a_n-2q^n-2+ … +a₀q⁰+a_-1q^-1+a_-2q^-2+ … +a_-mq^-m)

Здесь А – само число, q – основание системы счисления, a_i – цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления, n – число целых разрядов числа, m – число дробных разрядов числа. Развернутая форма записи числа – сумма произведений коэффициентов на степени основания системы счисления.

Пример. Десятичное число А₁₀ = 4718,63 в развернутой форме запишется так:

А₁₀ = 4·10³ + 7·10² + 1·10¹ + 8·10⁰ + 6·10^-1 + 3·10^-2

Двоичное число А₂ = 1001,1 = 1·2³ + 0·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ + 1·2^-1

Восьмеричное число А₈ = 7764,1 = 7·8³ + 7·8² + 6·8¹ + 4·8⁰ + 1·8^-1

Шестнадцатеричное число А₁₆ = 3АF16 = 3·16² + 10·16¹ + 15·16⁰

Переходы между основными системами счисления

Основные СС имеют основания 2, 8,10, 16. Системы с основаниями 2, 8 и 16 являются родственными, так как их основания являются степенями двойки. Переходы между ними реализуются легко.

2 ® 8. Двоичное число разбивается справа налево на триады (тройки цифр) и каждая триада заменяется на 8‑ичную цифру.

2 ® 16. Двоичное число разбивается справа налево на тетрады (четверки цифр) и каждая тетрада заменяется на 16‑ичную цифру.

8 ® 16 и 16 ® 8. Преобразование идет через двоичную СС.

Любое основание ® 10. Осуществляется по определению позиционной системы счисления.

10 ® 16. Имеется два способа преобразования.

1. Метод деления «уголком» строит результирующее 16‑ичное число от младших цифр к старшим. Для этого запоминаются целые остатки от деления исходного числа на 16, пока частное не станет равным 0. Записывая эти остатки в обратном порядке, получим ответ.

2. Метод «вычерпывания» состоит из нескольких итераций. На каждой итерации исходное число х оценивается снизу максимальной степенью m нового основания p = 16: х ≥ 16^m. Затем определяем число r вхождений степени 16^m в число х. Наконец, 16‑ичную цифру r записываем в результирующее число в разряд с номером m. Число x заменяем на меньшее число х – r · 16^m. Если новое число х = 0, то алгоритм заканчивается, и остальные разряды результата заполняем нулями. В противном случае, переходим к следующей итерации.

3. Основные 16‑ичные константы

Большинство числовых констант, которые встречаются в компьютерной технике, являются круглыми шестнадцатеричными числами. Эти числа обычно записывают в десятично-буквенном виде, имеющем формат ab, где а – десятичное число, b – буква.

Таблица 1. Шестнадцатеричные константы

Следующая таблица содержит популярные степени числа 2, а также их русские и английские названия.

Таблица 2. Степени числа 2

Последние строки кратных единиц были дополнены ГОСТом в 1991. Вычисления с числами, представленными в десятично-буквенном виде, можно осуществлять без перехода в десятичную СС. Например, 32 Т / 256 К = 2⁴⁵ / 2¹⁸ = 2²⁷ = 128 М.

Таблицы 1 и 2 позволяют переводить 16‑ичные числа в десятично-буквенную запись без применения вычислительных средств. Например,
0х7D8A30 = 7·0x100000 + 13·0x10000 + 8·0x1000 + 10·0x100 + 3·16 = 7 M + 13·64 K + 8·4 K + 10·(K/4) + 48 = 7 M + 866,5 K + 48.

Отметим, что для десятично-буквенных чисел не выполняется дистрибутивный закон, то есть 1 М + 100 К не равен 1,1 М.