Уточнение корня уравнения методом половинного деления

Пояснения к работе

2.1 Краткие теоретические сведения:

Отделение корней

Пусть имеется уравнение вида

f(х) = 0, (1)

 

где f (х) — алгебраическая или трансцендентная функция. Напомним, что функция называется алгебраической, если для получения значения функции по данному значению х нужно выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем. К трансцендентным функциям относятся все неалгебраические функции – показательная , логарифмическая , тригонометрические и обратные тригонометрические .

Решить уравнение (1) — значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти значения корней с требуемой точностью. Решение указанной задачи в общем случае начинают с этапа отделения корней, который заключается в установлении ко­личества корней, а также наиболее тесных промежутков, каждый из которых содержит только один корень.

Грубое отделение корней во многих случаях можно произвести графическим методом. При этом задачу часто удается сильно упростить, заменив уравнение (1) равносильным ему уравнением

f₁(x)=f₂(x) (2)

В этом случае строятся графики функций f₁(х) и f₂(x), а потом на оси ОХ отмечаются по возможности наименьшие отрезки, лока­лизующие абсциссы точек пересечения этих графиков с осью ОХ.

Пример 1. Для графического отделения корней уравнения sin2х- 1n х = 0 преобразуем его к равносильному уравнению sin 2х = lnх и отдельно построим графики функций sin2х и lnx (рис. 1).

Из графика вполне очевидно, что уравнение имеет единствен­ный корень ξ и этот корень находится на отрезке [1; 1,5].

Рис. 1 Графическое отделение корня уравнения sin2х-lnx = 0

 

При решении задачи об отделении корней бывают полезными следующие очевидные

 

положения:

1) если непрерывная на отрезке [ а; b ] функция f (х) принимает на его концах значения разных знаков (т.е. f (а) f (b) < 0), то уравнение F(х) = 0 имеет на этом отрезке, по меньшей мере, один корень;

2) если функция f (х) к тому же еще и монотонна, то корень на отрезке [ а; b ] единственный.

Вычислим для проверки значения функции f (х) = sin2х - lnх на концах отрезка [1; 1,5]:

f (1) = 0,909298; f (1,5) = -0,264344.

Как видно, на отрезке [1; 1,5] действительно имеется корень. Рассмотренный прием позволяет при желании сузить отрезок, полученный графическим способом. Так, в нашем примере имеем

f (1,3) = 0,253138 > 0, так что отрезком, на котором находится корень, можно считать [1,3; 1,5].

В простейших случаях графическое отделение корней можно осуществить вручную, однако в более сложных случаях для исследования вопроса о наличии (и количестве) корней уравнения на заданном отрезке целесообразнее воспользоваться инструментальным пакетом или составить программу для ЭВМ на языке программирования. Рассмотрим коротко суть идеи для применения указанных подходов.

Пусть имеется уравнение f (х) = 0, причем известно, что все интересующие вычислителя корни находятся на отрезке [ А; В ], в котором функция f (х) определена, непрерывна и f (А) f (В) < 0. Требуется отделить корни уравнения, т.е. указать все отрезки [ а; b ] из [ А; В ], содержащие по одному корню.

Будем вычислять значения f (х), начиная с точки х = А, двигаясь вправо с некоторым шагом h (рис. 2).

Как только обнаружится пара соседних значений f (х), имеющих разные знаки, и функция f (х) монотонна на этом отрезке, так соответствующие значения аргумента х (предыдущее и следующее) можно считать концами отрезка, содержащего корень.

 

 

Рис. 2 Иллюстрация к процессу отделения корней

 

Кроме графического способа отделения корней существует аналитический методотделения корней. Опишем порядок действий при нем:

1. Найти

2. Составить таблицу знаков функции f(x), полагая х равным: а) критическим значениям (корням) производной или ближайшим к ним; б) граничным значениям (исходя и области допустимых значений неизвестного)

3. Определить интервалы, на концах которых функция принимает значения противоположных знаков. Внутри этих интервалов содержится по одному и только одному корню.

Пример 2. Отделить корни уравнения аналитическим методом.

Решение: обозначим . Область определения функции f(x) – вся числовая ось. Найдем первую производную: . Найдем критические точки:

Составим таблицу знаков функции f(x), полагая х равным а) критическим значениям производной или ближайшим к ним; б) граничным значениям (из области допустимых значений неизвестного):

х
знак f(x)	+	-	-	+

 

Уравнение имеет два корня, т.к. происходит две смены знака функции. Составим новую таблицу, с более мелким интервалом изоляции корня

х	-1
знак f(x)	+	-	-	-	-	-	+

Корни уравнения находятся в промежутках (-1; 0) и (4; 5)

Уточнение корня уравнения методом половинного деления

 

Второй этап приближенного решения алгебраических и трансцендентных уравнений – уточнение корней.

Пусть уравнение f (х) = 0 имеет на отрезке [ а; b ] единственный корень, причем функция f(х) на этом отрезке непрерывна. Раз­делим отрезок [ а; b ] пополам точкой с = (а + b)/2. Если

f (с)≠0 (что наиболее вероятно), то возможны два случая: либо f (х) меняет знак на отрезке [a; с] (рис. 3, а), либо на отрезке [с; b](рис. 3, б).

Рис. 3 (а) Рис.3 (б)

К решению уравнения f (х) = 0 методом половинного деления

 

Выбирая в каждом случае тот из отрезков, на котором функ­ция меняет знак, и продолжая

процесс половинного деления даль­ше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего

корень уравнения.

Рассмотренный метод, его называют методом половинного де­ления (другое название — метод дихотомии ), можно использовать как метод решения уравнения с заданной точностью.

Действительно, если на каком-то этапе процесса получен отрезок [ а; b ], содержащий корень, то, приняв приближенно х=(а + b)/2, полу­чим ошибку, не превышающую значения

∆х=(b-а)/2 (3)

(заметим, что речь в данном случае идет о погрешности метода). Метод половинного деления требует утомительных ручных вычислений, однако он легко реализуется с помощью программы на ЭВМ.

Пример 3. Методом половинного деления уточнить до меньший корень уравнения

.

Решение: отделим корни этого уравнения аналитически. Функция f(х) определена на всей числовой оси. Приравняем производную нулю и найдем критические точки:

.

Составим таблицу знаков функции:

х		-2	-1
знак f(x)	-	+	-	-	+	+

Из таблицы видим, что левый корень принадлежит интервалу (; -2). Возьмем для пробы . Тогда получим таблицу:

х	-3	-2	-1
знак f(x)	-	+	-	-	+

Следовательно, корни уравнения принадлежат промежуткам (-3; -2); (-2; -1); (0; 1). Уточним меньший корень, лежащий в интервале (-3; -2), метом половинного деления. Для удобства вычислений составим таблицу (знаки «-» и «+» в верхних индексах означают, что )

п
	-3	-2	-2,500	-15,625	18,750	0,125
	-3	-2.500	-2,750	-20,800	22,689	-1,111
	-2,750	-2.500	-2.625	-17, 90	20,670	-0,320
	-2,625	-2,500	-2,563	-16,840	19,701	-0,130
	-2,563	-2,500	-2,532	-16,230	19,233	0,003
	-2,563	-2,532	-2,548	-16,540	19,479	-0,071
	-2,548	-2,532	-2,540	-16,390	19,356	-0,034

 

146

	-2,540	-2,532	-2,536	-16,310	19,293	-0,014
	-2,536	-2,532	-2,534	-16,270	19,263	-0,007
	-2.534	-2,532	-2,533	-16, 250	19,248	-0,002
	-2,533	-2,532

Итак, корень уравнения .