Общий случай построения линии пересечения двух многогранных поверхностей

При построении линии пересечения двух многогранников применяют два способа и их комбинации.

Строят точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого и ребер второго многогранника с гранями первого.

Через построенные точки в определенной последовательности проводят ломаную линию пересечения данных многогранников. При этом отрезки прямых проводят лишь через те построенные точки, которые лежат в одной и той же грани.

Строят отрезки прямых, по которым грани одной поверхности пересекают грани другой. Эти отрезки являются звеньями ломаной линии пересечения многогранных поверхностей между собой.

Таким образом, построение линии пересечения двух многогранников сводится или к построению линии пересечения двух плоскостей между собой, или к построению точки пересечения прямой и плоскости.

В общем случае все предлагаемые к решению задачи можно разделить на три типа по расположению пересекающихся поверхностей относительно плоскостей проекций.

К первому типу будут относиться такие задачи, в которых каждая из пересекающихся поверхностей находится в проецирующем положении по отношению к одной из плоскостей проекций. В этом случае проекции линий пересечения совпадут полностью или частично с проекциями тех поверхностей, которые являются проецирующими на данную плоскость проекций.

Ко второму типу задач будут относиться такие, в которых одна из пересекающихся поверхностей находится в проецирующем положении по отношению к плоскости проекций, а вторая – в не проецирующем. В этом случае одна проекция линий пересечения будет совпадать полностью или частично с проекцией той поверхности, которая находится в проецирующем положении. Вторую проекцию линии пересечения достраиваем по точкам из условия принадлежности их простейшим для построения (прямым или окружностям) линиям не проецирующей поверхности.

К третьему типу задач будут относиться задачи, в которых обе пересекаемые поверхности занимают не проецирующее положение. В этом случае выбор метода решения зависит от положения самих поверхностей относительно друг от друга. Если пересекаемые поверхности относятся к поверхностям вращения, оси вращения которых параллельны между собой и параллельны одной и той же плоскости проекций, то в качестве посредников выбирают секущие плоскости, находящиеся в положении уровня.

Если пересекаемые поверхности относятся к поверхностям вращения, оси вращения которых пересекаются между собой и параллельны одной и той же плоскости проекций, то в качестве посредников выбирают секущие концентрические сферы.

Прежде, чем приступать к решению задачи, нужно проанализировать задание поверхностей и их взаимное расположение, чтобы выявить количество и характер линий пересечения, а также подобрать соответствующий метод решения.

Анализ задачи:

Прочитать эпюр, назвать пересекающиеся поверхности.
Выявить характер пересечения, количество линий пересечения. Если пересечение полное, то в результате пересечения будет две лини пересечения – линия входа и линия выхода. Если пересечение неполное (врезание), то в результате пересечения получается одна линия пересечения. Если в пересечении одна поверхность касается

другой, то линия пересечения распадается на части, которые будут иметь общие точки.

Выявить характер линии пересечения.

Если пересекаются две многогранные поверхности, то в результате пересечения получаются линии пересечения в виде ломаных линий. Они могут быть как плоскими, так и пространственными.

Если пересекаются поверхности вращения, то в результате пересечения линия пересечения всегда представляет собой пространственную кривую линию (исключением будет являться случай, когда две поверхности вращения описаны или вписаны вокруг третьей).

Если пересекаются поверхность вращения и многогранная поверхность, то в результате пересечения получается пространственная комбинированная линия, состоящая из сочетания простых линий (прямых и кривых). В этом случае следует подробно описать характер каждой составляющей.

Определить положение поверхностей относительно плоскостей проекций и определить тип задачи.
После определения типа задачи выбрать метод решения.

План решения задач I типа:

1. Отмечаем тонкой штриховой линией известные проекции линии пересечения, которые могут совпадать полностью или частично с проекциями поверхностей.

Уточняем видимость поверхностей.

План решения задач II типа:

1. Обводим свободные от взаимного наложения проекции поверхностей основными сплошными толстыми линиями.

2. Отмечаем тонкой штриховой линией известную проекцию линии пересечения.

3. Отмечаем проекции опорных точек линии пересечения:

-очевидных точек

-характерных точек, к ним отнесем точки видимости, в которых линия пересечения из видимой переходит в невидимую, а также экстремальные точки, т.е. точки наиболее или наименее удаленные от плоскостей проекций. Далее следует отметить проекции точек, принадлежащих характерным линиям, например, точки пересечения ребер многогранных поверхностей с гранями или боковой поверхностью второй поверхности пересечения.

4. Находим недостающие проекции указанных точек из условия принадлежности их линиям не проецирующей поверхности.

5. Далее следует соединить полученные проекции точек в определенной последовательности соответствующими по назначению линиями с условием видимости.

6. Уточняем видимость поверхностей, и при необходимости в местах наложения проекций пересекающихся поверхностей вводим линии видимого и невидимого контура.

План решения задач III типа методом секущих плоскостей-посредников:

Такие посредники могут использоваться при построении линии пересечения поверхностей вращения, оси которых параллельны между собой и параллельны одной и той же плоскости проекций.

Обводим свободные от взаимного наложения проекции поверхностей основными сплошными толстыми линиями. Обозначаем оси поверхностей вращения.
При необходимости вводим плоскости симметрии для определения экстремальных точек (наиболее и наименее удаленных точек от горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций).
Отмечаем проекции очевидных точек линии пересечения.
Ниже верхних очевидных точек линии пересечения проводим плоскость параллельно одной из плоскостей проекций, которая пересечет каждую из поверхностей по окружности. Эти простейшие линии пересечения проецируются на одну плоскость проекций в виде отрезков прямых, а на другую – в виде окружностей. На одной из плоскостей проекций проекции линий пересечения будут иметь общие точки, недостающие проекции полученных общих точек достраиваются по линиям связи на след введенной секущей плоскости.
Далее следует повторять введение секущих плоскостей с определенной частотой, учитывая при этом плоскость, содержащую точки видимости.
Полученные проекции точек на фронтальной и горизонтальной плоскостях проекций соединяем плавной кривой в определенной последовательности и с учетом видимости.
Уточняем видимость поверхностей, при необходимости в местах наложения проекций пересекающихся поверхностей вводим линии видимого и невидимого контура.

План решения задач III типа методом секущих сфер-посредников:

Такие поверхности-посредники могут использоваться при построении линии пересечения поверхностей вращения, оси которых пересекаются и параллельны одной из плоскостей проекций.

Центром вспомогательных концентрических сфер служит точка пересечения осей вращения.

Применение сфер-посредников обосновывается тем, что любая поверхность вращения, ось которой проходит через центр сферы, пересекается с ней по окружности, плоскость которой перпендикулярна оси поверхности. Если ось поверхности вращения параллельна какой-либо плоскости проекций, то на указанную плоскость окружность пересечения проецируется в виде отрезка прямой, перпендикулярного проекции оси вращения.

Проекции сфер-посредников проводятся на той плоскости проекций, относительно которой оси вращения располагаются параллельно.

Для нахождения вспомогательной сферы, минимальной по радиусу, которая бы вписывалась в одну поверхность, одновременно пересекаясь с другой, необходимо

провести перпендикуляры из точки пересечения проекций осей поверхностей вращения до проекций очерковых пересекающихся поверхностей. Тот перпендикуляр, который будет б о льшим, и будет являться радиусом минимальной сферы. Радиусом максимальной сферы будет являться расстояние от точки пересечения проекций осей поверхностей вращения до наиболее удаленной проекции очевидной точки линии пересечения.

Итак, для нахождения точек линии пересечения необходимо:

1. Обвести свободные от взаимного наложения проекции поверхностей основными сплошными толстыми линиями. Обозначить оси поверхностей вращения. Ввести плоскость симметрии, которая проходит через эти оси.

2. Отметить проекции очевидных точек линии пересечения.

3. Найти радиус минимальной и радиус максимальной сфер-посредников и провести их, отметив на чертеже Rmin и Rmax.

4. Построить проекции точек линии пересечения, которые получатся в результате касания и пересечения сферы-min двух поверхностей. Эти точки сориентируют направление линий пересечения.

5. Найти промежуточные точки линий пересечения от промежуточных сфер-посредников, находящихся между сферами Rmin и Rmax.

6. Соединить плавной кривой проекции точек линий пересечения в определенной последовательности.

7. Найти плоскость видимости и определить видимость линий пересечения.

8. Соединить плавной кривой на второй плоскости проекций проекции точек линии пересечения в определенной последовательности и с учетом видимости.

9. Уточнить видимость поверхностей, при необходимости в местах наложения проекций пересекающихся поверхностей вводим линии видимого и невидимого контура.

ЗАДАЧА 6 (лист 4).

Построить развертку заданной боковой поверхности. Варианты задания выбрать из Приложения 1. Пример выполнения на рис. 4.

Методические указания к решению задачи.

На листе чертежной бумаги формата А4 (210х297) начертить изображение поверхности (горизонтальную и фронтальную проекции), сохраняя размеры, приведенные в задании. Задание оформить основной надписью по форме 1.
Выполнить развертку боковой поверхности заданного геометрического тела, сохранив все построения на чертеже.