Решение.
Пример.
Найти угол 
между векторами 
, 
.
Решение.
Векторное произведение геометрических векторов
Векторным произведением двух векторов 
и 
, называется вектор 
= × , удовлетворяющий трем условиям:
1. | 
| = 
∙ 
∙sinφ, где φ – угол между векторами и в промежутке [0;1800];
2. 
, ;
3. если смотреть с конца вектора на плоскость, в которой лежат векторы и , то кратчайший поворот от вектора до будет виден совершающимся против часовой стрелки (правило правого винта).
Применяется векторное произведение для вычисления площадей многоугольников. С помощью векторного произведения можно установить признак параллельности векторов, а именно, два вектора тогда и только тогда взаимно параллельны, когда их векторное произведение равно нулевому вектору. Отметим, что в этом случае удобнее пользоваться признаком: два вектора взаимно параллельны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны. Оно имеет и другие применения, но в основном в физико-технических задачах.
Из первого пункта определения векторного произведения следуют формулы:
│ 
│ = S – площадь параллелограмма ABCD;
│ 
│ = S – площадь треугольника ABC.
Векторное произведение обладает свойствами:
1) = – ( ); 2) ( + 
) = ( ) + ( );
3) m n = (m n) ( ), где m,n 
R.
Применяется векторное произведение для вычисления площадей многоугольников. С помощью векторного произведения можно установить признак параллельности векторов, а именно, два вектора тогда и только тогда взаимно параллельны, когда их векторное произведение равно нулевому вектору. Отметим, что в этом случае удобнее пользоваться признаком: два вектора взаимно параллельны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны. Оно имеет и другие применения, но в основном в физико-технических задачах.
Из первого пункта определения векторного произведения следуют формулы:
│ │ = S – площадь параллелограмма ABCD;
│ │ = S – площадь треугольника ABC.
Векторное произведение обладает свойствами:
1) = – ( ); 2) ( + ) = ( ) + ( );
3) m n = (m n) ( ), где m, n R.
Пользуясь свойствами векторного произведения и его определением, можно получить формулу:
= 
,
где = 
.
Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(1,1,2), В(0;2;4),С(-1;3;0).
Решение. =(0-1; 2-1; 4-2)= (-1; 1; 2), = (-1-1; 3-1; 0-2)= =(-2;2;-2).
│ │= │ 
Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами
.
Решение. Будем считать, что третья координата вершин треугольника равна нулю. Тогда:
=(
; 
;0), = (
; 
; 0).
│ │=
│ 
│.
Получили формулу площади параллелограмма со смежными сторонами 
и 
. Формула площади треугольника АВС имеет вид:
│ │.
Смешанное произведение
Определение. Смешанным произведением трех векторов 
называется число 
.
Применяя свойства векторного и скалярного произведения, можно получить формулу:
= 
,
где 
.
Так как
= 
,
где величина равна площади параллелограмма, построенного на векторах – сторонах 
, а величина 
равна высоте параллелепипеда, построенного на векторах – сторонах , то объем параллелепипеда вычисляется по формуле V = 
.
Пример. Вычислить объем пирамиды АBСD по ее вершинам А(1;1;0), В(0;2;4), С(-1;3;2), D(4;0;2).
Решение. Сначала находим векторы 
.
=(0-1;2-1;4-0)=(-1;1;4), =(-1-1;3-1;2-0)=(-2;2;2),
=(4-1;0-1;2-0)=(3;-1;2).
Затем находим смешанное произведение векторов.
Потом находим объем параллелепипеда, построенного на векторах – сторонах .
V = 
Так как объем пирамиды равен шестой части объема параллелепипеда, то ее объем равен 2.
Линейное преобразование векторного пространства
И его свойства
Определение. Преобразование векторного пространства называется линейным, если оно задается квадратной матрицей преобразования. Оно записывается в виде уравнения АХ = Х 
, при этом Х называется образом вектора Х.
Пример.
Найти образ вектора Х = 
в линейном преобразовании, заданном матрицей А = 
.
Решение.
= 
= 
.
В этом примере вектор Х преобразовался в вектор, который имеет другую длину и другое направление.
Определение. Если выполняется равенство АХ = 
Х, где Х 
О, 
, то Х называется собственным вектором, а называется собственным числом матрицы А.
Для нахождения собственных векторов матрицы А надо перейти от матричного уравнения АХ = Х к однородной системе уравнений, из которой сначала найти , а затем собственные векторы.
Пример. Найти собственные векторы матрицы
.
Решение.
= 
, 
,
Получили однородную систему уравнений.Нас интересует только не нулевое решение, а оно существует только тогда, когда определитель системы равен нулю. Решая уравнение
= 0,
которое называется характеристическим уравнением матрицы, находим собственные числа. А по собственным числам находим собственные векторы. Если преобразование задается матрицей
,
тохарактеристическое уравнение имеет вид
= 0.
Его корни: 
Если 
, то система равносильна уравнению 3 х - 3 х 
= 0 и тогда: х = х = t, t 
Если 
, то система равносильна уравнению 3 х + 3 х = 0 и тогда: х = - х = t,t 
Ответ: t 
, t 
– собственные векторы, t .