Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме.

Сборник задач по математике под ред. А.В.Ефимова

Классическая вероятностная схема – схема урн.

1.57. Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятности следующих событий: А = {число очков равно 6}, В = {число очков кратно трем}, С == {число очков четно}, D = {число очков меньше пяти}, Е == {число очков больше двух}.

1.58. Наудачу выбирается пятизначное число. Какова вероятность следующих событий: А = {число одинаково чи­тается как слева направо, так и справа налево (как, напри­мер, 13531)}, В = {число кратно пяти}, С = {число состоит из нечетных цифр}.

1.59. 1 сентября на первом курсе одного из факультетов запланировано по расписанию три лекции по разным пред­метам. Всего на первом курсе изучается 10 предметов. Сту­дент, не успевший ознакомиться с расписанием, пытается его угадать. Какова вероятность успеха в данном экспери­менте, если считать, что любое расписание из трех предме­тов равновозможно?

1.60. Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: А = {числа очков на обеих костях совпадают}, В = {число очков на первой кости больше, чем на второй}, С == {сумма очков четна}, D = {сум­ма очков больше двух}, Е == {сумма очков не меньше пяти}, F = {хотя бы на одной кости появится цифра 6}, G = {про­изведение выпавших очков равно 6}.

1.61. Зенитная батарея, состоящая из п орудий, произ­водит залп по группе, состоящей из т самолетов. Каждое из орудий выбирает себе цель наудачу независимо от осталь­ных. Найти вероятность того, что все орудия выстрелят по одному самолету.

Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме.

1.64. Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 3 бракованных, наудачу извлекают три изделия для конт­роля. Найти вероятности следующих событйй: А ={в полученной выборке содержится хотя бы одно бракованное изделие}, В = {в полученной выборке все изделия брако­ванные}, С = {в полученной выборке ровно 2 бракованных изделия}.

1.65. Среди кандидатов в студенческий совет факультета 3 первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава наудачу выбирают пять человек на пред­стоящую конференцию. Найти вероятности следующих со­бытий: А = {будут выбраны одни третьекурсники}, В = {все первокурсники попадут на конференцию}, С = {не будет выбрано ни одного второкурсника}, D = {будет вы­бран следующий состав: 1 первокурсник, 2 второкурсника и 2 третьекурсника}.

1.66. Из урны, содержащей т₁ + т₂ шаров, из которых m₁ белых и m₂ черных, наудачу отбирают т шаров (m[min (m₁, m₂)) и откладывают в сторону. Найти вероят­ности следующих событий: А = {все отложенные шары белые}, В = {среди отложенных шаров ровно k белых; k [ т }, С = {вынут хотя бы один белый шар}, D = {вы­нуто не менее k белых шаров; k [ т }.

1.69. Из колоды в 52 карты извлекаются наудачу 4 карты. Найти вероятности следующих событий: А = {в полу­ченной выборке все карты бубновой масти}, В = {в полу­ченной выборке все карты одной масти}, С = {окажется хотя бы один туз}, D = {будет получен следующий состав: валет, дама и два короля}.

1.70. Из урны, содержащей т₁ шаров с номером 1, m₂ шаров с номером 2,..., m_s шаров с номером s, наудачу без возвращения извлекается п шаров. Найти вероятности событий: А = {появятся n₁ шаров с номером 1, n₂ шаров с номером 2,..., n_s шаров с номером s}; В = {не появятся шары с номерами 1 или 2}.

1.72. Группа, состоящая из 8 человек, занимает места с одной стороны прямоугольного стола. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом, если

а) число мест равно 8;

6) число мест равно 12.

1.74. Числа 1, 2, …, 9 записываются в случайном по­рядке. Найти вероятности следующих событий: А = {числа будут записаны в порядке возрастания}, В = {числа 1 и 2 будут стоять рядом и в порядке возрастания}, С = {числа 3, 6 и 9 будут следовать друг за другом в произ­вольном порядке}, D = {на четных местах будут стоять четные числа}, Е = {сумма каждых двух чисел, стоящих на одинаковом расстоянии от концов, будет равна 10}.

1.75. На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Опыт состоит в случайном выборе трех карточек и раскла­дывании их в порядке поступления в ряд слева направо. Найти вероятности следующих событий: А = {появится число 123}, В = {появится число, не содержащее цифры 3}, С = {появится число, состоящее из последовательных цифр}, D = {появится четное число}, Е = {появится число, содер­жащее хотя бы одну из цифр 2 или 3}.

1.76. 10 вариантов контрольной работы, написанные каждый на отдельной карточке, перемешиваются и распре­деляются случайным образом среди восьми студентов, сидя­щих в одном ряду, причем каждый получает по одному ва­рианту, Найти вероятности следующих событий: А = {варианты с номерами 1 и 2 останутся неиспользован­ными}, В = {варианты 1 и 2 достанутся рядом сидящим студентам}, С = {будут распределены последовательные номера вариантов}.

1.78. В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Оче­редной покупатель выбил чек на 4 пирожных. Считая, что любой заказываемый набор пирожных равновероятен, вы­числить вероятность того, что покупатель заказал

а) пирожные одного вида,

б) пирожные разных видов,

в) по два пирожных различных видов.

1.79. Из общего количества костей домино, содержащих числа 0, 1, 2,..., п, наудачу извлекаются две кости. Одну из них смотрят: это не дубль. Какова вероятность P_n того, что вторую из этих костей можно приставить к первой? Найти числовые значения вероятности для п = 6 (обычный набор домино) и п = 9 (расширенный набор).

1.80. Бросается 10 одинаковых игральных костей. Вы­числить вероятности следующих событий: А = {ни на од­ной кости не выпадет 6 очков}, В = {хотя бы на одной кости выпадет 6 очков}, С = {ровно на 3 костях выпадет 6 очков}. 1.81. Телефонная книга раскрывается наудачу и выбирается случайный номер телефона. Считая, что телефонные номера состоят из 7 цифр, причем все комбинации цифр равновероятны, найти вероятности следующих событий:

А = {четыре последние цифры телефонного номера одинаковы}, В = {все цифры различны}, С == {номер начинается с цифры 5}, D = {номер содержит три цифры 5, две цифры 1 и две цифры 2}.

1.82. Шесть пассажиров поднимаются на лифте семи­этажного дома. Считая, что движение лифта начинается с цокольного этажа, найти вероятности следующих собы­тий: А = {на первых трех этажах не выйдет ни один из пассажиров}, В = {все пассажиры выйдут на первых шести этажах}, С = {на пятом, шестом и седьмом этажах выйдут по два пассажира}, D = {все пассажиры выйдут на одном этаже}.

1.84. Множество Е состоит из п элементов, среди кото­рых n₁ элементов е₁, п₂ элементов е₂,..., п_s элементов е_s (n₁ + n₂ +... + n_s = п). Опыт состоит в поэлементном вы­боре без возвращения всех п элементов множества Е и вы-кладывании их в последовательную цепочку.

а)** Показать, что число всех исходов данного экспери­мента (число различных упорядоченных последовательно­стей длины п) определяется формулой (4).

б) Какова вероятность того, что элементы е₁ займут первые n₁ мест?

1.85. Бросается 6 игральных костей. Найти вероятности следующих событий: А = {выпадут 3 единицы, две тройки и одна шестерка}, В = {выпадут различные цифры}, С = {выпадут три одинаковые цифры}.

1.86. 52 карты раздаются четырем игрокам (каждому по 13 карт). Найти вероятности следующих событий: А = {каждый игрок получит туза}, В = {один из игроков получит все 13 карт одной масти}, С = {все тузы попадут к одному из игроков}, D = {двое определенных игроков не получат ни одного туза}.

1.87. Из разрезной азбуки выкладывается слово «мате­матика». Затем все буквы этого слова тщательно перемеши­ваются и снова выкладываются в случайном порядке. Ка­кова вероятность того, что снова получится слово «мате­матика»?

1.96. В лотерее выпущено п билетов, из которых т вы­игрышные. Куплено k билетов. Какова вероятность следую­щих событий: А = {из k билетов хотя бы один выигрыш­ный}, В = {из k билетов ровно один выигрышный}, С = {из k билетов ровно k₁ выигрышных}?

1.99. Регистр калькулятора содержит 8 разрядов. Счи­тая, что появление любого числа на регистре равновероят­но, определить вероятности следующих событий: А = {во всех разрядах стоят нули}, В = {во всех разрядах стоят одни и те же цифры}, С = {регистр содержит две одинако­вые цифры}, D = {регистр содержит две пары одинаковых цифр}, Е = {регистр содержит три одинаковые цифры}, F = {регистр содержит только три различные цифры}.

1.100. 7 яблок, 3 апельсина и 5 лимонов раскладываются случайным образом в три пакета, но так, чтобы в каждом было одинаковое количество фруктов. Найти вероятности следующих событий: А = {в каждом из пакетов по одному апельсину}, В = {случайно выбранный пакет не содержит апельсинов}.

1.101. Каждая из п палок случайным образом ломается на две части — длинную и короткую. Затем 2п полученных обломков наудачу объединяются в п пар, каждая из кото­рых образует новую палку. Найти вероятности следующих событий: А = {все обломки объединятся в первоначальном порядке}, В = {все длинные части объединятся с корот­кими}.

1.103. Путем жеребьевки разыгрывается шесть подпис­ных изданий среди десяти участников.

а) Сколько различных распределений подписок возмож­но, если каждое очередное наименование разыгрывается между всеми участниками? Найти вероятность того, что первые шесть человек получат каждый по одной под­писке.

б) Ответить на те же вопросы, если каждый участник, получивший подписку, выбывает из игры.