Лабораторная работа №2
Проектирование фильтров, часть 2
Цель лабораторной работы:
Ознакомиться с различными типами фильтров и их характеристиками.
Теоретическая часть
Эллиптический фильтр (Фильтр Кауэра) — электронный фильтр, характерной особенностью которого является пульсации амплитудно-частотной характеристики как в полосе пропускания, так и полосе подавления. Величина пульсаций в каждой из полос независима друг от друга. Другой отличительной особенностью такого фильтра является очень крутой спад амплитудной характеристики, поэтому с помощью этого фильтра можно достигать более эффективного разделения частот, чем с помощью других линейных фильтров.
Если пульсации в полосе подавления равны нулю, то эллиптический фильтр становится фильтром Чебышёва I рода. Если пульсации равны нулю в полосе пропускания, то фильтр становится фильтром Чебышёва II рода. Если же пульсации отсутствуют на всей амплитудной характеристике, то фильтр становится фильтром Баттерворта.
Амплитудная характеристика эллиптического фильтра низких частот является функцией круговой частоты ω и задаётся следующим выражением:
где Rn — рациональная эллиптическая функция n -го порядка и
— частота среза
— показатель пульсаций
— показатель селективности
Значение показателя пульсаций определяет пульсации в полосе пропускания, пульсации же в полосе подавления зависят как от показателя пульсаций, так и от показателя селективности.
Фильтр Баттерворта — один из типов электронных фильтров. Фильтры этого класса отличаются от других методом проектирования. Фильтр Баттерворта проектируется так, чтобы его амплитудно-частотная характеристика была максимально гладкой на частотах полосы пропускания.
АЧХ фильтра Баттерворта максимально гладкая на частотах полосы пропускания и снижается практически до нуля на частотах полосы подавления. При отображении частотного отклика фильтра Баттерворта на логарифмической АФЧХ, амплитуда снижается к минус бесконечности на частотах полосы подавления. В случае фильтра первого порядка АЧХ затухает со скоростью −6 децибел на октаву (-20 децибел на декаду) (на самом деле все фильтры первого порядка независимо от типа идентичны и имеют одинаковый частотный отклик). Для фильтра Баттерворта второго порядка АЧХ затухает на −12 дБ на октаву, для фильтра третьего порядка — на −18 дБ и так далее. АЧХ фильтра Баттерворта — монотонно убывающая функция частоты. Фильтр Баттерворта — единственный из фильтров, сохраняющий форму АЧХ для более высоких порядков (за исключением более крутого спада характеристики на полосе подавления) тогда как многие другие разновидности фильтров (фильтр Бесселя, фильтр Чебышева, эллиптический фильтр) имеют различные формы АЧХ при различных порядках.
В сравнении с фильтрами Чебышева I и II типов или эллиптическим фильтром, фильтр Баттерворта имеет более пологий спад характеристики и поэтому должен иметь больший порядок (что более трудно в реализации) для того, чтобы обеспечить нужные характеристики на частотах полосы подавления. Однако фильтр Баттерворта имеет более линейную фазо-частотную характеристику на частотах полосы пропускания.
Как и для всех фильтров при рассмотрении частотных характеристик используют фильтр нижних частот, из которого легко можно получить фильтр высоких частот, а, включив несколько таких фильтров последовательно, — полосовой фильтр или режекторный фильтр.
Амплитудно-частотная характеристика 
фильтра Баттерворта 
-го порядка может быть получена из передаточной функции 
:
где
— порядок фильтра
— частота среза (частота, на которой амплитуда равна −3dB)
— коэффициент усиления по постоянной составляющей (усиление на нулевой частоте)
Легко заметить, что для бесконечных значений АЧХ становится прямоугольной функцией, и частоты ниже частоты среза будут пропускаться с коэффициентом усиления , а частоты выше частоты среза будут полностью подавляться. Для конечных значений спад характеристики будет пологим.
С помощью формальной замены 
представим выражение 
в виде 
:
Полюсы передаточной функции расположены на круге радиуса равноудалённо друг от друга в левой полуплоскости. То есть передаточную функцию фильтра Баттерворта можно определить лишь определением полюсов его передаточной функции в левой полуплоскости s-плоскости. 
-й полюс определяется из следующего выражения:
откуда
Передаточную функцию можно записать в виде:
Аналогичные рассуждения применимы и к цифровым фильтрам Баттерворта, с той лишь разницей, что соотношения записываются не для s-плоскости, а для z-плоскости.
Знаменатель этой передаточной функции называется полиномом (многочленом) Баттерворта.
Фильтр Бесселя — в электронике и обработке сигналов один из наиболее распространённых типов линейных фильтров, отличительной особенностью которого является максимально гладкая групповая задержка (линейная фазо-частотная характеристика). Их групповая задержка практически не изменяется по частотам полосы пропускания, вследствие чего форма фильтруемого сигнала на выходе такого фильтра в полосе пропускания сохраняется практически неизменной.
Передаточная функция фильтра Бесселя низких частот определяется следующим выражением:
где 
— обратный многочлен Бесселя, из-за чего фильтр и получил своё название;
— частота среза.
Фильтр Чебышева — один из типов линейных аналоговых или цифровых фильтров, отличительной особенностью которого является более крутой спад амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и существенные пульсации амплитудно-частотной характеристики на частотах полос пропускания (фильтр Чебышева I рода) и подавления (фильтр Чебышева II рода), чем у фильтров других типов. Фильтр получил название в честь известного русского математика XIX века Пафнутия Львовича Чебышева, так как характеристики этого фильтра основываются на многочленах Чебышева.
Фильтры Чебышева обычно используются там, где требуется с помощью фильтра небольшого порядка обеспечить требуемые характеристики АЧХ, в частности, хорошее подавление частот из полосы подавления, и при этом гладкость АЧХ на частотах полос пропускания и подавления не столь важна.
Различают фильтры Чебышева I и II родов.
Фильтр Чебышева I рода
Это более часто встречающаяся модификация фильтров Чебышева. Амплитудно-частотная характеристика такого фильтра n-го порядка задаётся следующим выражением:
где ε — показатель пульсаций, ω0 — частота среза, а Tn(x) — многочлен Чебышева -го порядка.
В полосе пропускания такого фильтра видны пульсации, амплитуда которых определяется показателем пульсации (англ. ripple factor) ε. В полосе пропускания многочлены Чебышева принимают значения от 0 до 1, поэтому коэффициент усиления фильтра принимает значения от максимального 
до минимального 
. На частоте среза ω0 коэффициент усиления имеет значение 
, а на частотах выше неё продолжает уменьшаться с увеличением частоты. (Примечание: обычное определение частоты среза как частоты, когда ЛАЧХ имеет значение −3 дБ в случае фильтра Чебышева не работает).
В случае аналогового электронного фильтра Чебышева его порядок равен числу реактивных компонентов (например, индуктивностей), использованных при его реализации.
Пульсации в полосе пропускания часто задаются в децибелах:
Пульсации в дБ = 
.
Например, пульсации амплитудой в 3 дБ соответствуют 
.
Более крутой спад характеристики может быть получен если допустить пульсации не только в полосе пропускания, но и в полосе подавления, добавив в передаточную функцию фильтра нулей на мнимой оси jω в комплексной плоскости. Это однако приведёт к меньшему эффективному подавлению в полосе подавления. Полученный фильтр является эллиптическим фильтром, также известным как фильтр Кауэра.
Передаточная функция задаётся следующим выражением:
где 
— только те полюса, которые имеют отрицательную действительную часть.
Фильтр Чебышева II рода
Фильтр Чебышева II рода (инверсный фильтр Чебышева) используется реже, чем фильтр Чебышева I рода ввиду менее крутого спада амплитудной характеристики, что приводит к увеличению числа компонентов. У него отсутствуют пульсации в полосе пропускания, однако присутствуют в полосе подавления. Амплитудная характеристика такого фильтра задаётся следующим выражением:
В полосе подавления полиномы Чебышева принимают значения от 0 до 1, из-за чего амплитудная характеристика такого фильтра принимает значения от нуля до
минимальной частотой, при которой достигается этот максимум является частота среза ω0. Параметр ε связан с затуханием в полосе подавления γ в децибелах следующим выражением:
Для затухания на частотах полосы подавления в 5 дБ: 
; для затухания в 10 дБ: 
. Частота fC = ωC / (2π) является частотой среза. Частота затухания в 3 дБ fн связана с fс следующим выражением:
Цифровые фильтры Чебышева
Для того, чтобы от аналогового фильтра перейти к цифровому, необходимо над каждым каскадом фильтра осуществить билинейное преобразование. Весь фильтр получается путём последовательного соединения каскадов.
По графикам видно, что амплитудная характеристики фильтров Чебышева имеет более крутой спад, чем у фильтров Баттерворта, но не такой крутой, как у эллиптического фильтра.
Фильтр Гаусса — электронный фильтр, спроектированный таким образом, чтобы не иметь перерегулирования в переходной функции и максимизировать постоянную времени. Такое поведение тесно связано с тем, что фильтр Гаусса имеет минимально возможную групповую задержку.
Фильтр Гаусса (Gaussian filter) обычно используется в цифровом виде для обработки двумерных сигналов (изображений) с целью снижения уровня шума. Однако при ресемплинге он дает сильное размытие изображения. Кроме того, этот фильтр используется для получения гауссовской модуляции. Этот вид модуляции применяется в системе сотовой связи GSM.
Фильтр Лежандра — электронный фильтр, для расчёта коэффициентов которого используются многочлены Лежандра. Имеет крутой спад амплитудно-частотной характеристики, не обладает пульсациями характеристики. Является компромиссным решением между фильтром Баттерворта (имеющим монотонную характеристику) и Чебышева (обладающим крутым спадом характеристики).
Фильтр нижних частот (ФНЧ) — один из видов аналоговых или электронных фильтров, эффективно пропускающий частотный спектр сигнала ниже некоторой частоты (частоты среза), и уменьшающий (подавляющий) частоты сигнала выше этой частоты. Степень подавления каждой частоты зависит от вида фильтра.
Фильтр верхних частот (ФВЧ) — электронный или любой другой фильтр, пропускающий высокие частоты входного сигнала, при этом подавляя частоты сигнала меньше, чем частота среза. Степень подавления зависит от конкретного типа фильтра.
Полосовой фильтр — линейная система и может быть представлен в виде последовательности, состоящей из фильтра нижних частот и фильтра верхних частот.
Полосно-пропускающий фильтр — фильтр, который пропускает частоты, находящиеся в некоторой полосе частот.
Полосно-заграждающий фильтр (режекторный фильтр) — электронный фильтр, не пропускающий колебания некоторой определённой полосы частот, и пропускающий колебания с частотами, выходящими за пределы этой полосы.Эта полоса подавления характеризуется шириной BW и расположена приблизительно вокруг центральной частоты ω0 (рад/с), или fо=ω0/2•3,14 (Гц).Для реальной амплитудно-частотной характеристики частоты ωL и ωU представляют собой нижнюю и верхнюю частоты среза. Заграждающий фильтр, предназначенный для подавления одной определённой частоты, называется узкополосным заграждающим фильтром
Фазовый фильтр — электронный или любой другой фильтр, пропускающий все частоты сигнала с равным усилением, однако изменяющий фазу сигнала. Происходит это при изменении задержки пропускания по частотам. Обычно такой фильтр описывается одним параметром — частотой, на которой фазовый сдвиг достигает 90°.
Рабочее задание Filter Design.vi
рис. 15 Рабочий интерфейс ВП Filter Design.vi
Зеленая – характер фильтра
Рыжая – верхняя граница полосы пропускания фильтра.
Синяя – нижняя граница полосы пропускания.
Красные соприкосновения – невыполнение определенных условий.
рис. 16 Рабочий интерфейс ВП Filter Design.vi
Рабочее задание:
1. Пронаблюдать различные типы фильтров, сравнить их характеристики и влияние их параметров. Рассмотреть все типы фильтров во всех режимах работы (фнч, фвч, полосовой…).
2. Найти для каждого фильтра такой порядок, чтобы полоса пропускания соответствовала заданной с минимальным количеством ошибок.
3. Почему при увеличении порядка фильтра Чебышева появляются шумы при значениях LFc 2 Upp FC 3,8, Pb () 0,1, SB Att(ослабление) 100.
4. Выяснить какой из фильтров наиболее критичен к порядку.
Контрольные вопросы:
1. У каких фильтров наиболее плоские области пропускания?
2. Какие фильтры имеют набольшее подавление?
3. У какого фильтра наиболее прямоугольная характеристика
4. У каких фильтров равномерно подавление в полосе заграждение?
5. У каких фильтров постоянное подавление фильтров в полосе пропускания?
6. Почему фильтры низкого порядка не могут обеспечить высокое подавление помехи в полосе пропускания
7. Какое максимальное подавление сигнала достижимо в цифровых фильтров NI?
8. Чем отличаются КИХ-фильтры от БИХ-фильтров?
9. Почему форма выходного сигнала не зависит от формы входного сигнала, если частота среза фильтра ниже частоты сигнала?
10. Как вы объясните отставание выходного сигнала от входного по фазе?
Требования к оформлению отчёта
Отчёт должен содержать:
- титульный лист с наименованием учебного заведения, кафедры, курса, лабораторной работы, фамилией и подписью студента;
- указание цели работы;
- написать задачи;
- описание объектов исследования;
- результаты выполнения работы;
- ответы на контрольные вопросы;
- заключение, в котором приводится краткое перечисление выполненных действий, полученных результатов и сделанные из этих результатов выводы.