Упругие и электромагнитные волны

1) Уравнение плоской бегущей волны

y = A cos (t – x/ ),

где y – смещение любой из точек среды с координатой x в момент t; – скорость распространения колебаний в среде.

2) Связь разности фаз Dj колебаний с расстоянием между точками среды, отсчитанным в направлении распространения колебаний:

= (2 / ) x,

где l – длина волны.

3) Фазовая скорость распространения электромагнитных волн в среде

,

где с – скорость электромагнитных волн в вакууме, с = 10⁸ м/c.

4) Связь длины электромагнитной волны с периодом Т и частотой колебаний

или .

5) В плоской электромагнитной волне

E = .

6) Вектор Пойнтинга

П = [ ].

Модуль вектора Пойнтинга равен плотности потока энергии электромагнитной волны.

 

Примеры решения задач

Задача 1

Плоская волна распространяется в упругой среде со скоростью 100 м/с. Наименьшее расстояние между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 1м. Определить период колебаний и частоту.

Дано: = 1м = 100м/с	Решение: Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны, колеблются с разностью фаз, равной 2p. Точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии, колеблются с разностью фаз, равной
Т =?

(1)

Решая это равенство относительно l, получаем

(2)

По условию задачи Dj = p. Подставляя значения величин, входящих в выражение (2), получим:

м.

Скорость распространения волны связана с l и Т отношением

, (3)

где – частота колебаний.

Из выражения (3) получаем .

Произведем вычисления:

= (100 / 2) = 50 Гц, Т = 1/50 с = 0,02 с.

5.2.6. Интерференция света

 

1) Скорость света в среде

,

где с – скорость света в вакууме; n – показатель преломления среды.

2) Оптическая длина пути световой волны

L = nl,

где l – геометрическая длина пути световой волны в среде с показателем преломления n.

 

3) Оптическая разность хода двух световых волн

= L ₁ – L ₂.

4) Связь разности фаз колебаний с оптической разностью хода

,

где l – длина световой волны в вакууме.

5) Условие максимального усиления света при интерференции

= , к = 0, 1, 2…

Условие максимального ослабления света при интерференции

.

6) Оптическая разность хода световых волн, возникающая при отражении монохроматического света от тонкой пленки:

- = ,

где d – толщина пленки; n – показатель преломления пленки; i ₁ – угол падения; i ₂ – угол преломления света в пленке.

Разность хода – l/2 возникает при отражении света от оптически более плотной среды.

7) Радиус светлых колец Ньютона в отраженном свете

r , к = 1, 2, 3…,

где к – номер кольца; R – радиус кривизны; n – показатель преломления среды, находящейся между линзой и стеклянной пластинкой.

Радиус темных колец Ньютона в отраженном свете

r , к = 0, 1, 2…

Примеры решения задач

Задача 1

Расстояние между двумя когерентными источниками равно 0,9 мм. Источники, испускающие монохроматический свет с длиной волны 640 нм, расположены на расстоянии 3,5 м от экрана. Определить число светлых полос, которые наблюдаются на 1 см длины экрана.

Дано: λ = 640 нм = 10-8 м d = 0,9 мм = 10-4 м L = 3,5 м	Решение: В точке О на экране (рис. 2) будет максимальная освещенность: точка О равноудалена от обоих источников SI и SII, поэтому разность хода волн SIО и SIIО равна нулю. В произвольной точке экрана Ок максимум освещенности будет наблюдаться, если оптическая разность хода когерентных волн равна целому числу длин волн:
?

D = S ₂ – S ₁ = к l, (1)

где S ₂, S ₁ – оптические пути интерферирующих волн;l – длина волны падающего света; к – номер светлой полосы (центральная светлая полоса принята за нулевую). Оптическая разность хода волн D = xd/L, где x – расстояние от центральной светлой полосы до к -й светлой полосы.

О_к

 

S₁

S^I О₁ O₁

 

О

d S₂

 

 

S^II O₂

L

Рис. 10

 

 

Учитывая выражение (1), получим:

. (2)

Из выражения (2) определяем искомую величину – число светлых интерференционных полос на 1 см длины:

.

Подставим в это выражение числовые значения и получим:

= 400 м^-1 ,

откуда на 1 см равно 4.

Пример 2

Для устранения отражения света от поверхности линзы на нее наносится тонкая пленка вещества с показателем преломления(n = 1,26), меньшим, чем у стекла (просветление оптики). При какой наименьшей толщине пленки отражение света с длиной волны 0,55 мкм не будет наблюдаться, если угол падения лучей 30^о?

Дано: n = 1,26 λ = 0,55 мкм =5,5∙10-7 м i 1 = 30о	Решение: Рис. 3
?

Оптическая разность хода лучей, отраженных от верхней и нижней поверхностей пленки (рис. 3), равна

D = 2 d , (1)

где d – толщина пленки; n – показатель преломления пленки; i ₁ – угол падения лучей.

В выражении (1) учтено, что отражение лучей на верхней и нижней поверхностях пленки происходит от оптически более плотной среды и поэтому потери полуволны в обоих случаях компенсируют друг друга.

Условие интерференционного минимума

. (2)

Из (1) и (2) находим

. (3)

Полагая к = 0, 1, 2, 3...., получим ряд возможных значений толщины пленки. Минимальная толщина пленки будет при к = 0.

Подставим в расчетную формулу (3) числовые значения входящих величин: n = 1,26; l = 0,55 мкм = 5,5 ^{-7 м;} i₁ = 30^о; к = 0.

Произведем вычисления:

мкм.

 

5.2.7. Дифракция света

1) Радиус к -й зоны Френеля:

- для сферической волны

r ,

где a – расстояние между диафрагмой с круглым отверстием и точечным источником света; b – расстояние между диафрагмой и экраном, на котором ведется наблюдение дифракционной картины; к – номер зоны Френеля; l – длина волны.

- для плоской волны

r .

2) Дифракция света на одной щели при нормальном падении света (дифракция Фраунгофера).

Угол j отклонения лучей, соответствующих минимуму интенсивности света, определяется из условия

a sin , к = 0, 1, 2 …,

где a – ширина щели; к – порядковый номер минимума; l – длина волны.

Угол j отклонения лучей, соответствующий максимуму интенсивности света, определяется из условия

a sin , к = 0, 1, 2 …,

где j – приближенное значение угла дифракции.

3) Дифракция света на дифракционной решетке при нормальном падении лучей.

Условие главных максимумов интенсивности

d sin , к = 0, 1, 2 …,

где d – период (постоянная решетки); к – номер главного дифракционного максимума в случае монохроматического света или порядок спектра в случае белого света; j – угол отклонения лучей, соответствующий максимуму интенсивности.

4) Разрешающая способность дифракционной решетки

R = = к N,

где Dl – наименьшая разность длин волн двух соседних спектральных линий (l и l + Dl), при которой эти линии могут быть видны раздельно в спектре, полученном посредством данной решетки; N – число щелей решетки.

5) Формула Вульфа-Брэггов:

2 d sin ,

где q – угол скольжения (угол между направлением параллельного пучка рентгеновского излучения, падающего на кристалл, и атомной плоскостью в кристалле); d – расстояние между атомными плоскостями кристалла.

 

Примеры решения задач

Пример 1

На дифракционную решетку длиной 10 мм, имеющую 400 штрихов на 1 мм, падает нормально свет от разрядной трубки. Помещенная вблизи решетки линза проецирует дифракционную картину (рис. 4) на плоский экран Э, удаленный от линзы на расстояние 1м. Определить: 1) ширину спектра первого порядка, если границы видимого спектра составляют 780 нм (красный край спектра) и 400 нм (фиолетовый край спектра); 2) число спектральных линий красного цвета, которые теоретически можно наблюдать с помощью данной дифракционной решетки; 3) в спектре какого порядка эта решетка может разрешить две линии с длиной волны, равной 500 нм и 500,1 нм?

Дано: l 0 = 10 мм = 10-2 м n = 400 мм-1= 105 м-1 L = 1 м кр = 780 нм = 10-7 м ф = 400 нм = 10-7 м 1 = 500 нм = 10-7 м 2 = 500,1 нм = 10-7 м	Решение: Угол j отклонения лучей, соответствующий максимуму фиолетового цвета при дифракции света на решетке, определяется из условия d sin 1 = к (к = 1), (1) следовательно, sin = (2)
l 1 =? к кр =? к =?

Аналогично для дифракционного максимума красного цвета получим:

sin = . (3)

Из рис. 4 следует, что расстояние от центра дифракционной картины до фиолетовой спектральной линии равно

l ₁ = L tg (4)

соответственно для красной спектральной линии

l ₂ = L tg . (5)

l₀

 

 

линза

 

L

Э

 

l₁

l₂

Рис. 4

 

Ширина спектра первого порядка будет Δ l = l ₂ – l ₁ или с учетом формул (4) и (5)

Δ l = L (tg –tg ). (6)

В случае малых углов , что имеет место для спектра первого порядка

tg sin .

Поэтому, подставив выражения (2) и (3) в формулу (6), получим:

(7)

Зная число штрихов n на 1 мм решетки, найдем период решетки:

d = . (8)

Подставляя (8) в формулу (7), получим:

. (9)

Произведем вычисления

м = 15,2 см.

Для определений числа спектральных линий красного цвета найдем максимальное значение к_mах, исходя из того, что максимальный угол отклонения лучей не может превышать 90° (sin 90° = 1). Из формулы (1) напишем:

к = ,

следовательно, к_max . С учетом (8) получим:

.

Так как число к_mах должно быть обязательно целым, то к_mах = 3. Влево и вправо от центра картины будет наблюдаться одинаковое число спектральных линий, равное 2 к_mах. Таким образом, общее число спектральных линий равно 2 к_mах = 6.

Так как разрешающая способность дифракционной решетки

R = = кN,(10)

то минимальная разница длин волн двух спектральных линий, разрешаемых решеткой,

. (11)

Две спектральные линии разрешены, если

. (12)

Полагая l = l₁, получаем

. (13)

Из выражения (13) следует, что спектральные линии разрешены в спектрах с порядком

. (14)

Число щелей решетки определяется выражением , или с учетом формулы (8)

N = n. (15)

Подставляя (15) в (14), получим:

. (16)

Произведем вычисления

.

Так как к – целое число, то к 2.

 

5.2.8. Поляризация света

 

1) Закон Брюстера

tg = n ₂₁,

где i ₁ – угол падения, при котором отразившийся от диэлектрика луч полностью поляризован; n ₂₁ = n ₂ /n ₁ – относительный показатель преломления второй среды относительно первой.

2) Закон Малюса

I = I_n cos ² ,

где I_n – интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор; I – интенсивность этого света после анализатора; a – угол между направлением колебаний светового вектора волны, падающей на анализатор и плоскостью пропускания анализатора (плоскостью поляризации).

3) Угол поворота плоскости поляризации монохроматического света при прохождении через оптически активное вещество:

- в твердых телах

где a – постоянная вращения; d – длина пути, пройденного светом в оптически активном веществе;

 

- в растворах

где a₀ – удельное вращение; – массовая концентрация оптически активного вещества в растворе.

 

Примеры решения задач

Пример 1

Во сколько раз уменьшится интенсивность естественного света при про­хождении через две призмы Николя, угол между плоскостями поляризации которых равен 60^o. Потери света в каждой призме составляют 10 % (рис. 5).

 

A I ₁

I ₀ I ₂

 

N ₁ ^B N ₂

Рис. 5

 

Дано: = 60о к = 0,1	Решение: В результате двойного лучепреломления естественный луч света, попадая на первую призму Николя (поляризатор), раздваивается на обыкновенный “о” и необыкновенный “е” лучи. Оба луча поляризованы вовзаимноперпендикулярных плоскостях.
=?

Обыкновенный луч, подчиняясь закону преломления, преломляется и, подойдя к слою канадского бальзама в призме (граница АВ), испытывает полное отражение и поглощается зачерненной боковой гранью призмы. Необыкновенный луч проходит через призму. Таким образом, на выходе поляризатора получается плоскополяризованный свет, интенсивность которого с учетом потерь на отражение и поглощение света поляризатором равна

,(1)

где I ₀ – интенсивность естественного света, падающего на поляризатор; к – коэффициент, учитывающий потери на отражение и поглощение.

Плоскополяризованный луч света, падая на вторую призму Николя (анализатор), также расщепляется на обыкновенный и необыкновенный лучи. Обыкновенный луч полностью поглощается призмой. Необыкно­венный луч проходит через призму. После прохождения анализатора ин­тен­сивность света уменьшается как за счет отражения и поглощения света анализатором, так и из-за несовпадения плоскости поляризации света с плос­костью пропускания анализатора. В соответствии с законом Малюса и с учетом потерь на отражение и преломление света интенсивность равна

, (2)

где a – угол между плоскостями поляризации поляризатора и анализатора. Подставляя выражение (1) в (2), имеем

. (3)

Относительное уменьшение интенсивности света при прохождении света через 2 призмы Николя равно

. (4)

Подставив в расчетную формулу (4) значение к = 0,1; α = 60^о, получим: = 9,88.