ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ СТЕФАНА – БОЛЬЦМАНА
Выполнил студент гр. ЗСу-116
Алферова Т.Д.
К работе допущен
Работу выполнил
Работу сдал
Владимир 2017
Цель работы: определение постоянной в законе Стефана–Больцмана по излучению нечерного тела.
Приборы и оборудование: установка для разогревания иссле-дуемого образца током, амперметр, вольтметр, фотодиод, образец.
Теоретическая часть
Излучение телами электромагнитных волн осуществляется за счет различных видов энергии. Тепловое излучение – испускание элек-тромагнитных волн за счет внутренней энергии тел.
Тепловое излучение происходит при любой температуре: при низких температурах излучаются практически лишь длинные (инфра-красные) электромагнитные волны, а при высоких – короткие (види-мые и ультрафиолетовые) электромагнитные волны.
Если распределение энергии между телом и излучением остает-ся неизменным для каждой длины волны, состояние системы будет равновесным. Из всех видов излучений равновесным может бытьтолько тепловое излучение. К равновесным состояниям и процессам применимы законы равновесной термодинамики.
Интенсивность теплового излучения характеризуется величиной потока энергии Ф,измеряемой в ваттах.
Поток энергии, испускаемый с единицы поверхности излучающего тела по всем направлениям, называется энергетической светимостью
| R = | Ф | , | (1) | |
| S | ||||
где Ф – поток энергии, S – площадь излучающей поверхности. Обозначим поток энергии, испускаемый единицей поверхности
тела в интервале частот ( ω, ω + d ω ), через dR. При малом интервале d ωпоток dR будет пропорционален d ω:
dR = rω, T d ω. (2)Величина r ω, T называется испускательной способностью тела
(спектральной плотностью энергетической светимости). Испуска-тельная способность – это поток энергии, излучаемый с единицы площади в единичном интервале частот d ω. Она является функцией температуры и частоты.
Энергетическая светимость связана с испускательной способно-стью формулой
| ∞ | |
| R =ò r ω, T d ω. | (3) |
Поглощательной способностью (или коэффициентом поглоще-ния) тела а называется отношение поглощенного потока энергии к падающему в узком интервале частот вблизи данной частоты. Для всех тел а < 1. Если тело полностью поглощает падающее на него из-лучение, а = 1. Такое тело называется абсолютно черным.
Согласно закону Кирхгофа отношение испускательной и погло-щательной способностей не зависит от природы тела, оно является для всех тел одной и той же (универсальной) функцией частоты (дли-ны волны) и температуры:
| f (ω, T)= | r ω, T | . | (4) | |
| a ω, T | ||||
| Для абсолютно черного тела r 0 = f (ω, T), т.е. функция | f (ω, T) |
имеет смысл испускательной способности абсолютно черного тела. Спектр излучения абсолютно черного тела (зависимость функ-
ции f от частоты) имеет характерный максимум, который сдвигается при повышении температуры в высокочастотную часть спектра теп-лового излучения (закон смещения Вина) (рис. 1).
ω, с–1
Рис. 1
В равновесном состоянии энергия излучения будет распределе-на в объеме полости с определенной плотностью u = u (T). Спектраль-
ное распределение этой энергии можно охарактеризовать функцией
u (ω, T):
| ∞ | ∞ | |
| u (T)=ò duω =ò u (ω, T) d ω, | (5) | |
где du ω – доля плотности энергии, приходящаяся на интервал частот dω.
Между равновесной плотностью энергии теплового излучения
и испускательной способностью абсолютно черного тела существует следующая связь:
| f (ω, T)= | c | u (ω, T), | (6) | |
где c – скорость распространения электромагнитной волны в вакууме, т.е. скорость света.
Рэлей в 1900 г. предпринял попытку определить равновесную плотность излучения u (ω, T) с позиций статистической физики, а не
термодинамики, как это делали его предшественники.
Колебания с разными собственными частотами совершаются независимо друг от друга. Каждой частоте соответствует своя колеба-тельная степень свободы. Применив закон классической статистиче-ской физики о равном распределении энергии по всем степеням сво-боды равновесной системы,Рэлей и Джинс приписали каждому коле-банию энергию 
ε 
= kT. В результате было установлено, что плот-
ность энергии, приходящаяся на интервал частот d ω, может быть оп-ределена следующим соотношением:
| u (ω, T)= kT | ω2 | . | (7) | |
| π2 c 3 | ||||
Перейдя от плотности энергии к испускательной способности абсолютно черного тела, получим
| f (ω, T)= | ω2 | kT. | (8) | |
| 4π2 c 2 | ||||
Выражения (7) и (8) называют формулой Релея – Джинса.
Эта формула удовлетворительно согласуется с эксперименталь-ными данными лишь при малых частотах (больших длинах волн) и резко расходится для больших частот (малых длин волн). Интегриро-вание выражения (8) по ω в пределах от 0 до ∞ дает для энергетиче-
ской светимости тела бесконечно большое значение (рис. 2). Этот ре-зультат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, также находится в противоречии с опытом. Расхождение формулы Релея – Джинса с опытом указывало на существование каких-то закономер-ностей, несовместимых с представлениями классической физики.
Вид функции f (ω, T), соответствующий опытным данным, уда-
лось найти в 1900 г. М. Планку. Для этого М. Планк выдвинул так на-зываемую квантовую гипотезу. В соответствии с этой гипотезой элек-тромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энер-гии, которые получили название квантов энергии. Величина кванта пропорциональна частоте излучения
ε = ћ ω. (9) Коэффициент пропорциональности получил название постоян-
ной Планка. Значение ћ, определенное из экспериментов, равно
ћ = 1,054 ·10 -34 Дж · с.
Впоследствии эти порции энергии электромагнитного поля бы-ли интерпретированы как частицы – фотоны.
Испускательная способность абсолютно черного тела в соответ-ствии с квантовой гипотезой Планка имеет следующий вид:
| f (ω, T)= | ω3 | . | (10) | |||
| 4π2 с 2 | exp (ω kT) − 1 | |||||
ω, с–1
Рис. 2
Энергетическую светимость R абсолютно черного тела можно найти из выражения (10) интегрированием по частоте
| ∞ | ∞ | ω3 | |||||||||
| R =ò | f (ω, T) d ω=ò | d ω. | (11) | ||||||||
| с | e | (ω kT) | − 1 | ||||||||
| 4π |
Вычислив интеграл, получим
R =σ T 4. (12)Это соотношение составляет содержание закона Стефана – Больцмана, где σ = 5,67 ·10-8 Вт/(м2·К4) – постоянная Стефана –
Больцмана.
Экспериментальная установка
Схема установки для определения постоянной Стефана – Больцмана приведена на рис. 3. Пластину Пл включают во вторичную обмотку трансформатора Тр, который питается от автотрансформато-ра АТ.
Для измерения больших токов, идущих через пластину Пл, ис-пользуется трансформатор тока ТТ, через первичную обмотку кото-рого проходит измеряемый ток, а к выводам вторичной обмотки под-ключен амперметр. С помощью вольтметра измеряют падение напря-жения U на пластинке.
На схеме (рис. 3) введены обозначения: Пл – раскаленная пла-стинка, температура которой определяется, СФ – светофильтр, по-глощающий излучение с длиной волны меньше 0,6 мкм с целью уменьшения влияния солнечного света и осветительных приборов в лаборатории на фотодиод. Излучение от раскаленной пластинки по-падает на фотодиод. Возникающий в цепи фототок регистрируется микроамперметром (рис. 4).
Рис. 3 Рис. 4
Измерительная схема проградуирована. Каждому значению фо-тотока поставлена в соответствие температура центральной части
раскаленной пластинки. Градуировочный график зависимости темпе-ратуры Т от силы тока I ф, протекающего через фотодиод, находится на лабораторном столе.
Методика измерений
Зная ток I, проходящий по пластинке, и падение напряжения U, можно подсчитать энергию, подводимую к пластинке в единицу вре-мени:
| P = I U. | (13) |
Но не вся эта энергия излучается с поверхностей пластины за то же время. Часть ее P1 за счет теплопроводности отводится на сравни-тельно массивные контакты-зажимы, в которых закреплена разогре-ваемая током пластина. Часть идет на нагревание воздуха за счет теп-лообмена и конвекции. Пренебрегая нагреванием воздуха, закон со-хранения энергии можно записать в виде
| I U = 2 R S + P1, | (14) |
где R – энергетическая светимость, S – площадь пластины. Температура пластины неодинакова на различных участках. В
центре она максимальна и минимальна на концах. Это и определяет отвод энергии в форме тепла от центра пластины к краям. Согласно теории теплопроводности за промежуток времени dt к одному зажиму отводится энергия
| T − T 1 | ′ | |||
| dQ =χ | S dt, | (15) | ||
| x | ||||
| S ′= HD, | x = L 2, |
где χ – коэффициент теплопроводности пластины (для никеля
χ = 69,5 Вт/(м·К), нихрома χ = 16 Вт/(м·К)), S ′ − площадь поперечного сечения пластины, x − длина участка пластины, на котором изменяется температура от Т до Т1; H, D, L – линейные размеры пластины (рис. 5).
Рис. 5
Приближенно можно считать, что Т 1 = Т 0, где Т 0 − температура окружающей среды. Тогда за одну секунду в обе стороны будет отве-дена энергия
P 1 = 2 dQ = 2χ T − T 0 S ′ = 4χ T − T 0 HD .
dt x L
Согласно формуле (14)
| IU −4χ | T − T | HD | |||||
| P − P 1 | . | ||||||
| R = | = | L | |||||
| 2 S | 2 HL | ||||||
По закону Стефана – Больцмана для нечерного тела R = A σ T 4,
где А – степень черноты (в расчетах принять А = 0,85). Окончательно расчетная формула для определения
Стефана – Больцмана имеет вид
| IU −4χ | T − T 0 | HD | ||
| σ = | L | |||
| . | ||||
| 2 AHLT 4 | ||||
(16)
(17)
(18)
постоянной
(19)
Примечание. Если вместо пластинки используется круглая про-волока радиусом R, то формула принимает вид
| IU −4χ | T − T 0 | π R 2 | |||
| σ = | L | (19а) | |||
| . | |||||
| 2 A π RLT 4 | |||||
Погрешность, с которой определяется постоянная Стефана – Больцмана, вычисляется как погрешность косвенных измерений с учетом погрешностей величин, которые мы измеряем непосредствен-но. Относительную погрешность для σ можно рассчитать по формуле
| æ | I ö2 | æ | U ö2 | æ | H ö2 | æ | L ö2 | æ | D ö2 | æ | T ö2 | æ | T | ö2 | (20) | |||||||
| ε ≤ | ç | ÷ | + ç | ÷ | + ç | ÷ | + ç | ÷ | + ç | ÷ | + 16 ç | ÷ | + ç | ÷, | ||||||||
| T 0 | ||||||||||||||||||||||
| è | I ø | è | U ø | è | H ø | è | L ø | è | D ø | è | T ø | è | ø | |||||||||
| где | I, | U –абсолютные погрешности измерения I и U,определяемые | ||||||||||||||||||||
| классом точности измерительных приборов; | Т –погрешность изме- | |||||||||||||||||||||
| рения температуры Т, которая определяется по графику; | Т0 | – по- |
грешность измерения комнатной температуры, определяется ценой деления термометра; Н, L, D – погрешности измерения линейных размеров образца, определяются ценой деления приборов, которыми производятся измерения.
Измерения
1. Ознакомьтесь со схемой.
2. Убедитесь, что регулятор напряжения АТ находится в край-нем левом положении, включите установку.
3. Вращая ручку автотрансформатора, нагреть пластинку до по-явления свечения.
4. Запишите соответствующие показания амперметра, вольтмет-ра и микроамперметра в таблицу:
| № п/п | I,А | U,В | I ф,мкА | t, ˚ С | T,К | σ, Вт/(м2·К4) |
По показаниям микроамперметра определите по графику темпе-ратуру пластинки в средней части пластинки.
5. Повторите измерения несколько раз (по указанию преподава-
теля).
6. Ручку автотрансформатора вновь верните в нулевое положение.
7. Выключите установку из сети.
8. Определите температуру окружающей среды, а также линей-ные размеры пластины L, H, D.
9. По формуле (19) или (19а) рассчитайте постоянную Стефана – Больцмана, оцените погрешность измерения.