Приложение 8.1
ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ
ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ УСТРОЙСТВА
Обшие сведения
Типовые задачи, связанные с преобразованием случайных процессов
радиотехническими устройствами, можно разбить на две группы:
1 Определение функций распределения выходного случайного процесса (общая задача).
2 Определение числовых характеристик процесса на выходе устройства.
Очевидно, что решение задач второй группы в общем случае может быть получено на основе результатов задач первой группы.
В большинстве случаев элементы радиотехнических устройств необходимо рассматривать как нелинейные инерционные. Однако, анализ прохождения случайных сигналов через радиотехнические устройства при столь общих предположениях связан со значительными математическими трудностями, так как в этом случае используются нелинейные дифференциальные уравнения
со случайными коэффициентами.
С учетом степени сложности анализа преобразования случайных сигналов радиотехнические цепи подразделяются на нелинейные безынерционные, линейные инерционные, параметрические, нелинейные инерционные. Так, например, амплитудный детектор можно рассматривать как последовательное соединение нелинейного безынерционного элемента (выпрямительного диода) и линейного инерционного в виде нагрузки (селективного RC фильтра). Таким образом, полное преобразование сигнала в амплитудном детекторе является результатом двух преобразований: нелинейного безынерционного и линейного инерционного
Нелинейные безынерционные устройства
Нелинейное преобразование называют безынерционным (или функциональным), если значение выходного процесса y (t)(отклик) в любой момент времени определяется только значением входного процесса x (t) (воздействие) в тот же момент времени и не зависит от его значений в предшествующие моменты времени. Такое функциональное преобразование имеет место, например, при ограничении, модуляции, преобразовании частоты, детектировании и т. д.
Характеристика нелинейного безынерционного элемента задается в виде функционального соотношения
(1)
Функция распределения процесса на выходе для таких цепей определяется для заданной плотности распределения воздействия по известному правилу функционального преобразования случайных величин (процессов). Числовые характеристики процесса на выходе нелинейных безынерционных устройств можно определить без знания его плотности распределения W (y) по известным W (x) и функциональной зависимости y=f (x). Можно показать, что они будут
определяться следующими выражениями:
математическое ожидание
, (2)
дисперсия
, (3)
корреляционная функция
. (4)
Соответственно
. (5)
Таким образом, при воздействии случайного процесса на нелинейную систему изменяются на ее выходе спектр процесса, закон распределения вероятностей и все связанные с ними параметры процесса.
Линейные инерционные устройства
В инерционной системе значение процесса на выходе y (t) зависит не только от значения процесса x (t), действующего на входе в тот же момент времени, но и от его значений в предшествующие моменты времени. Следовательно, процесс на выходе линейной инерционной системы будет представлять собой суперпозицию откликов на все воздействия в интервале от нуля до t включительно. Эта суперпозиция характеризуется известным интегралом Дюамеля
, (6)
где 
- значение процесса на входе в момент времени τ;
- импульсная характеристика системы, т.е. ее отклик на импульсное
воздействие в виде δ -функции;
t - момент наблюдения процесса на выходе;
τ - момент начала действия (приложения) процесса на входе.
Для линейных систем с постоянными параметрами импульсная характеристика зависит только от (t -τ), т. е. g (t, τ) = g (t- τ). В этом случае
. (7)
Импульсная характеристика и коэффициент передачи линейной инерционной системы связаны между собой парой преобразований Фурье:
(8)
Энергетический спектр случайного процесса на выходе линейной
инерционной системы определяется выражением
(9)
Пусть, например, белый шум с равномерной спектральной плотностью мощности 
воздействует на интегрирующую RC -цепь, для которой
. (10)
Тогда
.
Корреляционная функция на выходе линейной инерционной системы
является преобразованием Фурье от энергетического спектра 
. (11)
Сложной задачей является определение функции распределения процесса на выходе линейной инерционной системы. Только в частном случае, когда x (t) является гауссовским процессом с нормальным законом распределения вероятностей мгновенных значений, процесс на выходе y (t) также остается гауссовским, но при этом изменяются его числовые характеристики.
Характерной особенностью линейных инерционных систем является свойство "нормализации" процесса на их выходе (при определенных условиях). Оно заключается в том, что распределение процесса на выходе достаточно хорошо аппроксимируется нормальным законом, независимо от того, какое распределение процесс имел на входе. Такое явление возможно лишь при условии, когда длительность переходных процессов линейной инерционной цепи велика по сравнению со скоростью изменения процесса на входе. Физически это объясняется тем, что отдельные отклики на выходе, вызванные хаотическими воздействиями входного процесса, не успевают затухать (инерционность цепи), накладываются друг на друга и образуют новый случайный процесс (суперпозиция). А согласно центральной предельной теоремы теории вероятностей (теорема Ляпунова) закон распределения этого процесса, представляющего собой сумму большого числа независимых случайных величин (откликов), стремится к нормальному закону распределения вероятностей.
Длительность переходных процессов 
радиотехнической цепи
однозначно определяется ее полосой пропускания примерным соотношением
. В свою очередь скорость изменения процесса на входе цепи будет определяться шириной его энергетического спектра, – чем быстрее изменяется процесс, тем шире его спектр. Следовательно, явление "нормализации" будет иметь место только на выходе узкополосных линейных инерционных цепей, т.е. таких, у которых полоса пропускания много меньше, чем ширина энергетического спектра процесса на входе.
В качестве примера рассмотрим прохождение смеси синусоидального
колебания 
с гауссовским случайным процессом через типовое
радиотехническое устройство: узкополосный усилитель – линейный амплитудный детектор – фильтр нижних частот. Распределение мгновенных значений y (t) на выходе узкополосной системы будет нормальным с математическим ожиданием 
, а его огибающая 
(после амплитудного детектора) будет иметь обобщенное распределение Релея (см. рисунок 1,
кривые б и в)
. (12)
В отсутствие синусоидального сигнала (a = 0) огибающая узкополосного гауссовского процесса будет иметь простое распределение Релея (рисунок 1, кривая а)
. (13)