Дискретная модель для выбора наиболее гладкой функции яркости

Будем считать, что значения функции известны только в целочисленных точках , = , = . Тогда необходимо найти значения наиболее «гладкой» функции в узлах сетки , которая удовлетворяет условию:

| - | , =1,2,...,N₁, =1,2,..., . (1)

Нетрудно получить дискретный аналог () функционала гладкости , если аппроксимировать квадрат модуля градиента конечными разностями:

| - , |  - ,

| .

Заменяя интегрирование конечной суммой, получаем:

. (2)

Далее необходимо решить задачу на условный экстремум - минимизировать функционал при условии (1). Это можно сделать методом сопряженных градиентов.

Минимизация функционала с помощью метода сопряженных градиентов

Нетрудно заметить, что функционал можно рассматривать как векторную функцию от аргумента . Поэтому, учитывая условие (1), функционал необходимо минимизировать в области

.

Рассмотрим практическую реализацию метода сопряженных градиентов.

В качестве начального приближения выбирается исходное черно-белое изображение, т.е. = .

Пусть на шаге мы имеем сглаженное изображение . Тогда направление минимизации в методе сопряжения градиентов следует выбрать из условия:

+ . (3)

Таким образом, направление минимизации зависит от предыдущего направления минимизации . Мы считаем, что =0. При вычислении направления следует учитывать, что точка может лежать на границе области , т.е. для некоторых значений и будет выполняться равенство

=  (знак «+» или «-»).

Тогда координату вектора следует обнулить, если минимизация вдоль этого направления в любом случае приводит к перемещению точки за пределы области допустимых значений .

При программной реализации положение точки удобно закодировать:

Тогда координату следует обнулить, если выполняется условие:

> 0.

После того, как вычислено направление минимизации , функционал минимизируется вдоль данного направления. Для этого необходимо решить оптимизационную задачу

относительно параметра . Учитывая, что - это полином второй степени от многих переменных (положительно определенная квадратичная форма), раскрывая скобки и приводя подобные, получим многочлен второй степени относительно:

.

Нетрудно заметить, что последняя оптимизационная задача имеет явное решение:

= - .

Из логики предлагаемого метода следует, что значение должно быть положительным. Сглаженное изображение на следующем итерационном шаге определяем по формуле:

_. (4)

Однако непосредственно формулу (4) использовать нельзя, поскольку точка может попасть за пределы области допустимых значений. С учетом этого следует корректировать координаты вектора по формуле:

Сходимость данного алгоритма следует оценивать по модулю градиента , при этом модуль следует рассчитывать только по тем координатам , которые не находятся на границе области (в этом случае ). Аналогично рассчитывается модуль градиента и в формуле (3).

5. Выделение контуров и характерных точек изображения будем называть характерными те точки изображения, которые являются наиболее информативными, т.е. по которым можно восстановить с некоторой точностью исходное изображение. Нетрудно заметить, что предлагаемый метод сглаживания позволяет выделить характерные точки. Это точки с координатами , которые являются граничными в том смысле, что . Данные точки должны определять согласно решению оптимизационной задачи положение всех нехарактерных точек.

Нетрудно заметить, что граничными точками будут также точки, определяющие контуры края изображения. В этих точках является большим значение модуля градиента, поэтому в окрестности этих точек не удастся сгладить изображение и значения яркости в этих точках сглаженного изображения окажутся на границе допустимых значений.

Предлагаемая процедура сглаживания позволяет улучшить качественные характеристики методов предварительной обработки изображений, использующих градиент изображения. Отметим в заключение, что предлагаемый метод сглаживания особенно эффективно фильтрует ошибки, возникающие при оцифровке реальных изображений.

Список литературы

Lee D. Coping with discontinuities in Computer Vision: Their Detection, Classification and Measurement// IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol.12,  4, 1990.

Дуда Р.,. Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. - М.: Мир, 1976.

Павлидис Т. Алгоритмы машинной графики и обработки изображений. - М.: Радио и связь, 1986.