Будем считать, что значения функции известны только в целочисленных точках , = , = . Тогда необходимо найти значения наиболее «гладкой» функции в узлах сетки , которая удовлетворяет условию:
| - | , =1,2,...,N1, =1,2,..., . (1)
Нетрудно получить дискретный аналог () функционала гладкости , если аппроксимировать квадрат модуля градиента конечными разностями:
| - , | - ,
| .
Заменяя интегрирование конечной суммой, получаем:
. (2)
Далее необходимо решить задачу на условный экстремум - минимизировать функционал при условии (1). Это можно сделать методом сопряженных градиентов.
Минимизация функционала с помощью метода сопряженных градиентов
Нетрудно заметить, что функционал можно рассматривать как векторную функцию от аргумента . Поэтому, учитывая условие (1), функционал необходимо минимизировать в области
.
Рассмотрим практическую реализацию метода сопряженных градиентов.
В качестве начального приближения выбирается исходное черно-белое изображение, т.е. = .
Пусть на шаге мы имеем сглаженное изображение . Тогда направление минимизации в методе сопряжения градиентов следует выбрать из условия:
+ . (3)
Таким образом, направление минимизации зависит от предыдущего направления минимизации . Мы считаем, что =0. При вычислении направления следует учитывать, что точка может лежать на границе области , т.е. для некоторых значений и будет выполняться равенство
= (знак «+» или «-»).
Тогда координату вектора следует обнулить, если минимизация вдоль этого направления в любом случае приводит к перемещению точки за пределы области допустимых значений .
При программной реализации положение точки удобно закодировать:
Тогда координату следует обнулить, если выполняется условие:
> 0.
После того, как вычислено направление минимизации , функционал минимизируется вдоль данного направления. Для этого необходимо решить оптимизационную задачу
относительно параметра . Учитывая, что - это полином второй степени от многих переменных (положительно определенная квадратичная форма), раскрывая скобки и приводя подобные, получим многочлен второй степени относительно:
.
Нетрудно заметить, что последняя оптимизационная задача имеет явное решение:
= - .
Из логики предлагаемого метода следует, что значение должно быть положительным. Сглаженное изображение на следующем итерационном шаге определяем по формуле:
. (4)
Однако непосредственно формулу (4) использовать нельзя, поскольку точка может попасть за пределы области допустимых значений. С учетом этого следует корректировать координаты вектора по формуле:
Сходимость данного алгоритма следует оценивать по модулю градиента , при этом модуль следует рассчитывать только по тем координатам , которые не находятся на границе области (в этом случае ). Аналогично рассчитывается модуль градиента и в формуле (3).
5. Выделение контуров и характерных точек изображения будем называть характерными те точки изображения, которые являются наиболее информативными, т.е. по которым можно восстановить с некоторой точностью исходное изображение. Нетрудно заметить, что предлагаемый метод сглаживания позволяет выделить характерные точки. Это точки с координатами , которые являются граничными в том смысле, что . Данные точки должны определять согласно решению оптимизационной задачи положение всех нехарактерных точек.
Нетрудно заметить, что граничными точками будут также точки, определяющие контуры края изображения. В этих точках является большим значение модуля градиента, поэтому в окрестности этих точек не удастся сгладить изображение и значения яркости в этих точках сглаженного изображения окажутся на границе допустимых значений.
Предлагаемая процедура сглаживания позволяет улучшить качественные характеристики методов предварительной обработки изображений, использующих градиент изображения. Отметим в заключение, что предлагаемый метод сглаживания особенно эффективно фильтрует ошибки, возникающие при оцифровке реальных изображений.
Список литературы
Lee D. Coping with discontinuities in Computer Vision: Their Detection, Classification and Measurement// IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol.12, 4, 1990.
Дуда Р.,. Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. - М.: Мир, 1976.
Павлидис Т. Алгоритмы машинной графики и обработки изображений. - М.: Радио и связь, 1986.