Численное решение дифур.

Численное интегрирование

Отрезок (a,b) разобьем на ряд под отрезков: . Тогда по всем i. По нескольким точкам можно построить интерполяционный многочлен не высокой степени.

Выбирая j=i+1, i+2 получают интерполяционные многочлены 2-й степени, которые позволяют получить значение интеграла с удовлетворительной для практических целей точностью.

Формулы прямоугольников

Для упрощения в методе прямоугольников. На единичном отрезке строится интерполяционный многочлен нулевой степени, т е тогда , Q-погрешность численного интегрирования или -(1)ф-ла левых прямоугольников. -(2)ф-ла правых.

1) Под интегральную ф-ю необход затабулировать.

2) Если в интерполяционном многочлене использовать 2-ю ф-лу Ньютона, то будет получена ф-ла правых прямоугольников. При этом погрешность нахождения интеграла Q не превосходит величины , n-число отрезков.

Формула погрешности позволяет решить не только прямую задачу ЧИ но и обратную.

Прямая задача: вычислить опред-й интеграл и оценить погрешность найденного значения.

Обратная задача: вычислить значение интеграла с точностью не превосходящей Q.

Формула трапеций

Используя на единичном отрезке интерполяционный многочлен 1-й степени

Можно получить соотношение:

то (по определению). Вычисление дает след ф-лу трапеций: . Оценка погрешности дает: . Ф-ла трапеций дает значение равное среднему арифметическому значений полученных по ф-ам левых и правых прямоугольников.

Формула сипсона.

Интервал интегрирования (a,b) разбивается на четное число под интервалов. необходимо рассмотреть под интервалы состоящие из 3-х точек: .

n -число двойных интегралов.

x	f(x)
a=

Формула симпсона в большинстве практических задач обеспечивает удовлетвор точность нахождения интеграла. При необходимости с помощью рассмотренного выше алгоритма можно найти ф-лы более и более высокой точности.

Численное решение дифур.

Обыкновенные дыфуры 1-го порядка.

Пусть диф ур-е вырожено в явном виде: .

Найти , где х-произвол точка.

-аналитическое решение;

-приближенное(численное и графическое).

интервал () разбиваем на ряд под интегралов: Затем производную заменяем конечно разностным отношением: при этом ф-ю f(x,y)-заменяем значением ф-ии в узлах(дискретизация). . Тогда . На практике чаще всего используется равномерная дискретизация тогда получаем ф-лу Эйлера: .

Метод Эйлера обладает очень низкой точностью, и иначе наз методом касательных.

Предположим что знаем точное значение y(x). Рассмотрим точку . Значит -точное.

.(1). Если рассматривать как вектора, то получим min погрешность. Полученная рекуррентная ф-ла явл не явной, т к искомая величина находится и в левом и в правом соотношении. Для нахождения необходимо решить нелинейное уравнение относительно . Т к в общем случае задача оказывается достаточно сложной. Эйлер предложил решать задачу в два этапа:

I этап: по обычной схеме Эйлера находится приближенное значение: . Затем производится уточнение найденного значения по ф-ле (1), где вместо .

II этап: подставляем в .

Рунгк и кутта предложили: , -значение f(x,y) в точке . -нормировочные коэф-ы значения которых подбираются. Значения можно найти в виде разложения ф-й f(x,y) в ряд Тейлора в близи точки и сравнение полученного разложения с разложением в ряд ф-ии y(x).

Число точек m наз порядком схемы Рунге-кутты.

Для m=1, расчетная ф-а приобретает вид: при этом показывается что на каждом шаге будет допускаться погрешность метода порядка .

Поскольку полное решение задачи потребует n-шагов (n ), то полная погрешность будет иметь порядок h. - оценочная погрешность метода.

m=2: , где . Схема Рунге-Кутты 2-го порядка эквивалентна методу Эйлера с пересчетом.

На практике наиболее часто используют схему Рунге-Кутты 4-го порядка, т е m=4: , , , .

Для оценки общей погрешности решения задачи, можно использовать правила Рунге: . Погрешность интегр-я ОДУ = отношению модуля разности решений в заданной точке полученных с шагом h и h/2, к (), где m-это порядок используемой схемы Рунге-Кутты.

Это же ф-ла может использоваться и для определения погрешности нахождения интеграла.

Метод Пикара.

Пусть дано диф ур-е: . Пикар записал его в виде: Затем данное ур-е интегрируется: . Полученная ф-ла явл неявным отношением искомой ф-ии y. Пикар предложил использовать интерационную схему последовательного уточнения искомой ф-ии y(x).

при этом

. Повторив данную процедуру большое число раз, можно определить функциональную зависимость y(x). Оценка погрешности найденного решения может быть найдена по теореме Пикара.