ВАРИАНТ 9
Числовые значения:
Функция прогибов:
Уравнение поперечной нагрузки:
Схема пластинки:
A B x
0
b
D a C
y
Рис. 1. Расчётная схема пластинки.
Условие задания:
1. Установить граничные условия, которым удовлетворяет функция прогибов w(x, y).
2. Проверить, удовлетворяет ли функция w(x, y) уравнению Софи Жермен , и если это не так, то использовать уравнение Бубнова-Галеркина:
.
Из этих уравнений определить постоянную C и вычислить WMAX (максимальный прогиб).
3. По формулам для MX, MY, MXY, QX, QY составить их выражения.
4. В опасных сечениях пластинки построить эпюры MX, MXY, QX в сечении перпендикулярном оси x и эпюры MY, MXY, QY в сечении перпендикулярном оси y.
5. В этих же сечениях пластинки построить эпюры напряжений sX, sY, tXY, tZX, tZY по ее толщине.
6. Исходя из энергетической теории прочности подобрать толщину пластинки h.
— погонный изгибающий момент в сечении с нормалью x;
— погонный изгибающий момент в сечении с нормалью y;
— погонные крутящие моменты в тех же сечениях;
— погонная перерезывающая (поперечная) сила в сечении с нормалью x;
— погонная перерезывающая (поперечная) сила в сечении с нормалью y;
Определим граничные условия пластинки.
Возьмем производные функции прогибов w:
Дифференцируем по x:
Дифференцируем по y:
a) При x=0;
При x=a;
b) При y=0;
При y=b;
Из пунктов a и b следует, что пластина не имеет свободного края.
c) При x=0:
.
Сторона AD — не защемлена.,
d) x=а:
Сторона ВC — не защемлена.
e) y=0:
Сторона AВ — не защемлена.
f) y=b:
Сторона CD — не защемлена.
Проверим шарнирное опирание:
;
при ;
при ;
при ;
при ;
Рис. 2. Схема закрепления пластинки.
|
2. Проверим, удовлетворяется ли уравнение Софи Жермен. Для этого вычислим производные:
Подставим значения производных и q(x, y) в уравнение:
Равенство не выполняется, т. к. слева стоит постоянная величина 8С, а справа – переменная.
Применим метод Бубнова-Галеркина.
Постоянную C берем из распечатки — С=0,066/D.
Анализируя пластинку определяем координаты максимального прогиба (x=a/2м, y=b/2м) и находим максимальный прогиб:
3. По формулам для MX, MY, MXY, QX, QY составим их выражения.
4. В опасных сечениях пластинки построим эпюры MX, MXY, QX в сечении перпендикулярном оси x и эпюры MY, MXY, QY в сечении перпендикулярном оси y.
5. В опасных сечениях пластинки построим эпюры напряжений sX, sY, так как в этих сечениях Myx=Mxy=Qx=Qy= 0, то напряжения txy, tzy, tzx в них отсутствуют
Построим эпюры в сечении х=0м, у=0м.
§ При z=0
§ При z=h/2
Исходя из энергетической теории прочности подберем толщину пластинки h.
Условие прочности имеет вид:
Главные напряжения определяем как корни кубического уравнения:
где: I1, I2, I3 — инварианты напряженного состояния.
Напряжением sZ пренебрегают. Кроме того, в нашем случае
Поэтому инварианты имеют вид:
Кубическое уравнение принимает вид: , откуда s3=0
Окончательно принимаем h = 6см
Найдём численное значение максимального прогиба:
НОМЕР ВАРИАНТА 9
Размеpы пластинки Ax = 2.00 м By = 1.80 м Нагpузка Qo = 2.30 MПa
Значение коэффициента С =.066/D
Значения моментов Mx [10^3 кН*м/м]
.000.013.023.030.034.035.034.030.023.013.000
.038.051.061.068.072.074.072.068.061.051.038
.068.081.091.098.102.103.102.098.091.081.068
.089.102.112.119.123.125.123.119.112.102.089
.102.115.125.132.136.137.136.132.125.115.102
|
.106.119.129.136.140.142.140.136.129.119.106
.102.115.125.132.136.137.136.132.125.115.102
.089.102.112.119.123.125.123.119.112.102.089
.068.081.091.098.102.103.102.098.091.081.068
.038.051.061.068.072.074.072.068.061.051.038
.000.013.023.030.034.035.034.030.023.013.000
Значения моментов My [10^3 кН*м/м]
.000.047.084.110.126.131.126.110.084.047.000
.010.058.094.120.136.141.136.120.094.058.010
.018.066.102.128.144.149.144.128.102.066.018
.024.071.108.134.150.155.150.134.108.071.024
.028.075.111.138.153.159.153.138.111.075.028
.029.076.113.139.154.160.154.139.113.076.029
.028.075.111.138.153.159.153.138.111.075.028
.024.071.108.134.150.155.150.134.108.071.024
.018.066.102.128.144.149.144.128.102.066.018
.010.058.094.120.136.141.136.120.094.058.010
.000.047.084.110.126.131.126.110.084.047.000
Значения моментов Mxy=Myx [10^3 кН*м/м]
-.172 -.138 -.103 -.069 -.034.000.034.069.103.138.172
-.138 -.110 -.083 -.055 -.028.000.028.055.083.110.138
-.103 -.083 -.062 -.041 -.021.000.021.041.062.083.103
-.069 -.055 -.041 -.028 -.014.000.014.028.041.055.069
-.034 -.028 -.021 -.014 -.007.000.007.014.021.028.034
.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000
.034.028.021.014.007.000 -.007 -.014 -.021 -.028 -.034
.069.055.041.028.014.000 -.014 -.028 -.041 -.055 -.069
.103.083.062.041.021.000 -.021 -.041 -.062 -.083 -.103
.138.110.083.055.028.000 -.028 -.055 -.083 -.110 -.138
.172.138.103.069.034.000 -.034 -.069 -.103 -.138 -.172
Значения попеpечных сил Qx [10^3 кН/м]
.262.210.157.105.052.000 -.052 -.105 -.157 -.210 -.262
.262.210.157.105.052.000 -.052 -.105 -.157 -.210 -.262
.262.210.157.105.052.000 -.052 -.105 -.157 -.210 -.262
.262.210.157.105.052.000 -.052 -.105 -.157 -.210 -.262
.262.210.157.105.052.000 -.052 -.105 -.157 -.210 -.262
.262.210.157.105.052.000 -.052 -.105 -.157 -.210 -.262
.262.210.157.105.052.000 -.052 -.105 -.157 -.210 -.262
.262.210.157.105.052.000 -.052 -.105 -.157 -.210 -.262
.262.210.157.105.052.000 -.052 -.105 -.157 -.210 -.262
.262.210.157.105.052.000 -.052 -.105 -.157 -.210 -.262
.262.210.157.105.052.000 -.052 -.105 -.157 -.210 -.262
Значения попеpечных сил Qy [10^3 кН/м]
.236.236.236.236.236.236.236.236.236.236.236
.189.189.189.189.189.189.189.189.189.189.189
.142.142.142.142.142.142.142.142.142.142.142
.094.094.094.094.094.094.094.094.094.094.094
.047.047.047.047.047.047.047.047.047.047.047
.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000
-.047 -.047 -.047 -.047 -.047 -.047 -.047 -.047 -.047 -.047 -.047
-.094 -.094 -.094 -.094 -.094 -.094 -.094 -.094 -.094 -.094 -.094
-.142 -.142 -.142 -.142 -.142 -.142 -.142 -.142 -.142 -.142 -.142
|
-.189 -.189 -.189 -.189 -.189 -.189 -.189 -.189 -.189 -.189 -.189
-.236 -.236 -.236 -.236 -.236 -.236 -.236 -.236 -.236 -.236 -.236