Исходя из энергетической теории прочности подберем толщину пластинки h.

ВАРИАНТ 9

Числовые значения:

Функция прогибов:

Уравнение поперечной нагрузки:

Схема пластинки:

A B x

D a C

Рис. 1. Расчётная схема пластинки.

Условие задания:

1. Установить граничные условия, которым удовлетворяет функция прогибов w(x, y).

2. Проверить, удовлетворяет ли функция w(x, y) уравнению Софи Жермен , и если это не так, то использовать уравнение Бубнова-Галеркина: .

Из этих уравнений определить постоянную C и вычислить W_MAX (максимальный прогиб).

3. По формулам для M_X, M_Y, M_XY, Q_X, Q_Y составить их выражения.

4. В опасных сечениях пластинки построить эпюры M_X, M_XY, Q_X в сечении перпендикулярном оси x и эпюры M_Y, M_XY, Q_Y в сечении перпендикулярном оси y.

5. В этих же сечениях пластинки построить эпюры напряжений s_X, s_Y, t_XY, t_ZX, t_ZY по ее толщине.

6. Исходя из энергетической теории прочности подобрать толщину пластинки h.

— погонный изгибающий момент в сечении с нормалью x;

— погонный изгибающий момент в сечении с нормалью y;

— погонные крутящие моменты в тех же сечениях;

— погонная перерезывающая (поперечная) сила в сечении с нормалью x;

— погонная перерезывающая (поперечная) сила в сечении с нормалью y;

Определим граничные условия пластинки.

Возьмем производные функции прогибов w:

Дифференцируем по x:

Дифференцируем по y:

a) При x=0;

При x=a;

b) При y=0;

При y=b;

Из пунктов a и b следует, что пластина не имеет свободного края.

c) При x=0:

Сторона AD — не защемлена.,

d) x=а:

Сторона ВC — не защемлена.

e) y=0:

Сторона AВ — не защемлена.

f) y=b:

Сторона CD — не защемлена.

Проверим шарнирное опирание:

;

при ;

Рис. 2. Схема закрепления пластинки.

2. Проверим, удовлетворяется ли уравнение Софи Жермен. Для этого вычислим производные:

Подставим значения производных и q(x, y) в уравнение:

Равенство не выполняется, т. к. слева стоит постоянная величина 8С, а справа – переменная.

Применим метод Бубнова-Галеркина.

Постоянную C берем из распечатки — С=0,066/D.

Анализируя пластинку определяем координаты максимального прогиба (x=a/2м, y=b/2м) и находим максимальный прогиб:

3. По формулам для M_X, M_Y, M_XY, Q_X, Q_Y составим их выражения.

4. В опасных сечениях пластинки построим эпюры M_X, M_XY, Q_X в сечении перпендикулярном оси x и эпюры M_Y, M_XY, Q_Y в сечении перпендикулярном оси y.

5. В опасных сечениях пластинки построим эпюры напряжений s_X, s_Y, так как в этих сечениях M_yx=M_xy=Q_x=Q_y= 0, то напряжения t_xy, t_zy, t_zx в них отсутствуют

Построим эпюры в сечении х=0м, у=0м.

§ При z=0

§ При z=h/2

Исходя из энергетической теории прочности подберем толщину пластинки h.

Условие прочности имеет вид:

Главные напряжения определяем как корни кубического уравнения:

где: I₁, I₂, I₃ — инварианты напряженного состояния.

Напряжением s_Z пренебрегают. Кроме того, в нашем случае

Поэтому инварианты имеют вид:

Кубическое уравнение принимает вид: , откуда s₃=0

Окончательно принимаем h = 6см

Найдём численное значение максимального прогиба:

НОМЕР ВАРИАНТА 9

Размеpы пластинки Ax = 2.00 м By = 1.80 м Нагpузка Qo = 2.30 MПa

Значение коэффициента С =.066/D

Значения моментов Mx [10^3 кН*м/м]

.000.013.023.030.034.035.034.030.023.013.000

.038.051.061.068.072.074.072.068.061.051.038

.068.081.091.098.102.103.102.098.091.081.068

.089.102.112.119.123.125.123.119.112.102.089

.102.115.125.132.136.137.136.132.125.115.102

.106.119.129.136.140.142.140.136.129.119.106

.102.115.125.132.136.137.136.132.125.115.102

.089.102.112.119.123.125.123.119.112.102.089

.068.081.091.098.102.103.102.098.091.081.068

.038.051.061.068.072.074.072.068.061.051.038

.000.013.023.030.034.035.034.030.023.013.000

Значения моментов My [10^3 кН*м/м]

.000.047.084.110.126.131.126.110.084.047.000

.010.058.094.120.136.141.136.120.094.058.010

.018.066.102.128.144.149.144.128.102.066.018

.024.071.108.134.150.155.150.134.108.071.024

.028.075.111.138.153.159.153.138.111.075.028

.029.076.113.139.154.160.154.139.113.076.029

.028.075.111.138.153.159.153.138.111.075.028

.024.071.108.134.150.155.150.134.108.071.024

.018.066.102.128.144.149.144.128.102.066.018

.010.058.094.120.136.141.136.120.094.058.010

.000.047.084.110.126.131.126.110.084.047.000

Значения моментов Mxy=Myx [10^3 кН*м/м]

-.172 -.138 -.103 -.069 -.034.000.034.069.103.138.172

-.138 -.110 -.083 -.055 -.028.000.028.055.083.110.138

-.103 -.083 -.062 -.041 -.021.000.021.041.062.083.103

-.069 -.055 -.041 -.028 -.014.000.014.028.041.055.069

-.034 -.028 -.021 -.014 -.007.000.007.014.021.028.034

.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

.034.028.021.014.007.000 -.007 -.014 -.021 -.028 -.034

.069.055.041.028.014.000 -.014 -.028 -.041 -.055 -.069

.103.083.062.041.021.000 -.021 -.041 -.062 -.083 -.103

.138.110.083.055.028.000 -.028 -.055 -.083 -.110 -.138

.172.138.103.069.034.000 -.034 -.069 -.103 -.138 -.172

Значения попеpечных сил Qx [10^3 кН/м]

.262.210.157.105.052.000 -.052 -.105 -.157 -.210 -.262

Значения попеpечных сил Qy [10^3 кН/м]

.236.236.236.236.236.236.236.236.236.236.236

.189.189.189.189.189.189.189.189.189.189.189

.142.142.142.142.142.142.142.142.142.142.142

.094.094.094.094.094.094.094.094.094.094.094

.047.047.047.047.047.047.047.047.047.047.047

.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

-.047 -.047 -.047 -.047 -.047 -.047 -.047 -.047 -.047 -.047 -.047

-.094 -.094 -.094 -.094 -.094 -.094 -.094 -.094 -.094 -.094 -.094

-.142 -.142 -.142 -.142 -.142 -.142 -.142 -.142 -.142 -.142 -.142

-.189 -.189 -.189 -.189 -.189 -.189 -.189 -.189 -.189 -.189 -.189

-.236 -.236 -.236 -.236 -.236 -.236 -.236 -.236 -.236 -.236 -.236

Исходя из энергетической теории прочности подберем толщину пластинки h.

Поиск по сайту