СЕМЕСТР (Вопросы к экзамену)
1. Первообразная функция, ее свойства. Определение неопределенного интеграла, его простейшие свойства.
2. Интегралы некоторых элементарных функций (таблица интегралов).
3. Метод подстановки или замена переменной в неопределенном интеграле.
4. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
5. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей. Интегралы от простейших (элементарных дробей). Алгоритм интегрирования рациональных дробей.
6. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка и другие подстановки.
7. Интегрирование некоторых иррациональных выражений.
8. Определение определенного интеграла, его простейшие свойства. Геометрический и физический смысл определенного интеграла.
9. Замена переменной в определенном интеграле.
10. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
11. Вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла (различные случаи).
12. Вычисление объема тела вращения с помощью определенного интеграла.
13. Вычисление длины дуги с помощью определенного интеграла (различные случаи).
14. Физические приложения определенного интеграла.
15. Несобственные интегралы на неограниченном промежутке.
16. Несобственные интегралы от неограниченной функции. Теоремы сравнения для несобственных интегралов. Понятие абсолютной сходимости.
17. Определение и свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат путем сведения к повторному.
18. Двойной интеграл в полярной системе координат.
19. Приложения двойного интеграла.
20. Определение и свойства тройного интеграла.
21. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат путем сведения к повторному.
22. Тройной интеграл в цилиндрической системе координат. Тройной интеграл в сферической системе координат.
23. Приложения тройного интеграла.
24. Криволинейный интеграл 1-го рода. Определение и свойства.
25. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.
26. Приложения криволинейного интеграла 1-го рода.
27. Криволинейный интеграл 2-го рода. Определение и свойства. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования.
28. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода. Формула Грина. Интегрирование полного дифференциала.
29. Приложения криволинейного интеграла 2-го рода.
30. Поверхностный интеграл 1-го рода. Определение и свойства. Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода.
31. Приложения поверхностного интеграла 1-го рода.
32. Поверхностный интеграл 2-го рода. Определение и свойства. Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода.
33. Приложения поверхностного интеграла 2-го рода.
34. Понятие дифференциального уравнения (ДУ), порядка, решения, интегральной кривой, начальных условий для ДУ.
35. ДУ 1-го порядка. Понятие общего и частного решения, теорема существования и единственности решения задачи Коши. Особые решения.
36. Геометрическая интерпретация уравнения, метод изоклин.
37. Уравнения с разделяющимися переменными.
38. Однородное уравнение 1-го порядка. Метод решения.
39. Линейное уравнение 1-го порядка и уравнение Бернулли. Методы их решения.
40. Уравнение в полных дифференциалах. Метод решения.
41. ДУ высших порядков. Общее и частное решение, понятие о краевой задаче. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
42. ДУ высших порядков, допускающие понижение порядка (три случая).
43. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков (ЛДУ). Линейный дифференциальный оператор, его свойства, запись с его помощью ЛДУ.
44. Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ), свойства решений.
45. Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Определитель Вронского. Необходимое условие линейной зависимости системы функций.
46. Формула Остроградского-Лиувилля.
47. Необходимое и достаточное условие линейной независимости решений ЛОДУ.
48. Фундаментальная система решений ЛОДУ, теорема существования. Структура общего решения ЛОДУ.
49. Нахождение общего решения ЛОДУ с постоянными коэффициентами с помощью характеристического уравнения (различные случаи характеристических корней).
50. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ).
51. Метод вариации произвольных постоянных решения ЛНДУ.
52. Нахождение частного решения ЛНДУ по виду правой части специального вида.
53. Приближенное решение задачи Коши ДУ. Метод Эйлера. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.
54. Понятие о системе дифференциальных уравнений, решение методом исключения. Матричная запись системы ДУ, матричный метод решения (случай простых действительных характеристических корней).
СЕМЕСТР. (Вопросы к зачету)
1. Понятие числового ряда, сходимости и суммы.
2. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимый признак. Гармонический ряд.
3. Свойства сходящихся рядов.
4. Признаки сравнения рядов с положительными членами.
5. Признак Даламбера.
6. Радикальный признак Коши.
7. Интегральный признак Коши.
8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
9. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
10. Функциональные ряды. Область сходимости, сумма ряда.
11. Равномерная сходимость. Мажорируемые ряды. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.
12. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус, интервал сходимости степенного ряда. Способы нахождения радиуса сходимости.
13. Ряд Тейлора. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.
14. Ряд Маклорена для некоторых элементарных функций.
15. Приложения степенных рядов.
16. Степенные ряды с комплексными членами. Круг сходимости.
17. Скалярное произведение в пространстве. Ортогональная система функций. Доказательство ортогональности тригонометрической системы функций.
18. Тригонометрический ряд Фурье. Вывод формул для коэффициентов Фурье. Теорема Дирихле.
19. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Разложение в ряд Фурье на отрезке.
20. Понятие скалярного поля, его характеристики.
21. Понятие векторного поля. Векторные линии и векторные трубки.
22. Дивергенция векторного поля, ее свойства. Формула Остроградского-Гаусса.
23. Ротор векторного поля, его свойства. Формула Стокса.
24. Соленоидальное векторное поле, его свойства.
25. Потенциальное векторное поле, его свойства.
26. Гармоническое векторное поле, его свойства.
27. Операции второго порядка в векторном анализе. Оператор Гамильтона.
28. Понятие функции комплексного переменного, предела и непрерывности.
29. Элементарные функции комплексного переменного.
30. Дифференцирование функции комплексного переменного. Условия дифференцируемости. Условия Коши-Римана.
31. Свойства аналитических функций, сопряженные гармонические функции.
32. Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции.
33. Понятие конформного отображения.
34. Интегрирование функции комплексного переменного.
35. Интегральная теорема Коши для односвязной и многосвязной областей.
36. Интегральная формула Коши для односвязной области. Интегральная теорема Коши для многосвязной области, следствия из нее.
37. Интеграл типа Коши.
38. Ряд Тейлора для функции комплексного переменного. Ряд Лорана функции комплексного переменного.
39. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции, их классификация.
40. Вычет функции в конечной изолированной точке. Способы вычисления для различных типов особых точек. Классификация особенностей и вычет в бесконечно удаленной точке.
41. Основная теорема о вычетах, следствие из нее. Приложения вычетов.
42. Определение оригинала, изображения и преобразования Лапласа. Простейшие свойства преобразования Лапласа. Теоремы дифференцирования и интегрирования оригинала и изображения.
43. Теоремы запаздывания и смещения. Свертка функций, теорема свертывания.
44. Теорема обращения преобразования Лапласа. Нахождение оригинала по изображению.
45. Приложения преобразования Лапласа.
СЕМЕСТР. (Вопросы к экзамену)
- Пространство элементарных событий. Алгебра событий.
- Определение (аксиомы) вероятности и вероятностного пространства.
- Дискретное вероятностное пространство (конечная и счетная вероятностные схемы). Классическое определение вероятности.
- Непрерывное вероятностное пространство. Геометрическое определение вероятности. Задача о встрече.
- Следствия из аксиом вероятности, теоремы сложения. Условные вероятности. Независимость событий. Теоремы умножения.
- Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- Общее определение последовательности испытаний.
- Последовательность независимых испытаний. Полиномиальная схема.
- Последовательность испытаний Бернулли. Формула Бернулли.
- Предельные теоремы в схеме Бернулли (теорема Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа), их использование.
- Случайная величина. Функция распределения, ее свойства.
- Дискретная случайная величина. Понятие закона распределения. Ряд и многоугольник распределения. Примеры дискретных случайных величин (биномиальное, гипергеометрическое, пуассоновское и геометрическое распределения).
- Непрерывная случайная величина. Функция плотности распределения случайной величины, ее свойства. Примеры непрерывных случайных величин (равномерное, показательное, нормальное распределения).
- Совместное распределение нескольких случайных величин. Совместная функция распределения.
- Закон распределения дискретного случайного вектора.
- Непрерывный случайный вектор. Совместная функция плотности распределения.
- Независимые случайные величины. Функции от случайных величин.
- Математическое ожидание дискретной случайной величины. Свойства математического ожидания.
- Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Свойства математического ожидания.
- Дисперсия, ее свойства.
- Условное распределение, условное математическое ожидание.
- Начальные и центральные моменты высших порядков.
- Числовые характеристики случайного вектора. Ковариация, коэффициент корреляции.
- Элементы математической статистики. Первичная обработка выборки. Гистограмма, вариационный ряд, полигон частот.
- Оценки параметров распределения: выборочное среднее, выборочная дисперсия.
- Метод максимального правдоподобия.
- Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона.
Промежуточный контроль знаний студентов в форме зачета проходит в форме собеседования по теоретическим вопросам дисциплины и решению задач.
Комплект экзаменационных билетов
СЕМЕСТР
БИЛЕТ № 1
1. Теорема существования определенного интеграла. Свойства. Теорема Ньютона-Лейбница.
2. Линейное уравнение первого порядка и уравнение Бернулли. Методы их решения.
3. Вычислить 
4. Вычислить длину дуги, заданной линией у = 2 х + 1, 0 ≤ х ≤ 3
5. Решить дифференциальное уравнение первого порядка 
6. Найти частное решение 
.
СЕМЕСТР
БИЛЕТ № 1
1. Случайные события. Классификация событий и действия над ними.
2. Понятие статистической гипотезы. Привести основные виды статистических гипотез. Основной алгоритм проверки статистической гипотезы.
3. Из урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара, наудачу вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.
4. Дан закон распределения дискретной случайной величины X:
| xi | -1 | |||
| pi | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,4 |
Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.
5. Функция плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х, имеет вид 
.
Найти вероятность того, что Х принимает значение, принадлежащее интервалу 
.
6. По выборке объема 
найдена смещенная оценка 
генеральной дисперсии. Вычислить несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.