Расчет линейных скоростей и ускорений по способу разностей и их графическое изображение

Цель работы. Овладеть графоаналитическим способом определения линейных перемещений, скоростей и ускорений точки.

Методические рекомендации:

I. Скорость – мера быстроты изменения положения точки в пространстве с течением времени. Она измеряется отношением пройденного пути (ΔS) к затраченному времени (Δt). Чтобы определить пройденный путь, например, точки коленного сустава S 1-й позы (исходное положение – и. п.) до 3-й позы (конечное положение – к. п.), разложим его движение по двум направлениям: по горизонтали будет равно разности координат к. п. и и. п., т.е. Sx₃-Sx₁ = ΔS_3-1.Взяв из таблицы координат Sx₃ = 50 и Sx₁ = 10, получим Sx₃-Sx₁ = 50-10 = 40. Величина 40 (в мм промера) представляет собой разность координат (в мм) (Δ'_х).

Как теперь найти Δt, т.е. затраченное время?

Предположим, что частота киносъемки 20 кадров в секунду (N = 20). Значит, между двумя соседними кадрами интервал времени 1/20 с, а мы определили ΔS_3-1 два интервала (L = 2) по 1/20 с, т.е. за 1/10 с.

На промере ΔS = 40 мм, без учета масштаба. Чтобы найти действительный путь точки, надо его разделить на величину масштаба (1/10). или умножить на величину, обратную масштабу (М-10).

Тогда действительный путь:

Δ'SM = 40 × 10 = 400мм

Запишем определение времени:

Δt = c

Теперь формула скорости (от 1-й до 3-й позы), а величина горизонтальной скорости:

V_x2 = V_x3-1 =

Зная V_х и V_y, можно найти полную скорость V, как диагональ прямоугольника со стороны V_х и V_y:

Однако, когда обрабатывает большую кинограмму (много поз), такой расчет очень продолжителен и поэтому поступают проще: строят векторы скоростей или кинематические графики (см. работу № 3).

Скорости точек тела человека практически непрерывно изменяются под действием приложенных сил; чем больше сила, тем быстрее изменяется скорость. Как же быстро изменяются скорости? Рассмотрим для этого ускорение.

2. Ускорение – мера, быстроты изменения скорости с течением времени. Она измеряется отношением приращения скорости (положительного – увеличения или отрицательного – уменьшения) ко времени, затраченному на это приращение. Ускорение, как и скорость, удобно рассчитывать по двум составляющим: горизонтальной и вертикальной.

Если горизонтальная скорость коленного сустава в момент 2-й позы 4,0 м/с, а в момент 4~й позы (расчет проводится по разности координат) S_x4 – S_x2 = 133-50=83 мм, то приращение скорости V_x4 – V_x2 = 8,3-4,0 = 4,3 м/с.

Это приращение скорости произошло за 1/10 с (два интервала при частоте съемки 20 кадров в секунду; N = 20, и L = 2). Значит, ускорение

a_x3 =

Здесь Δ”s = 43 - разность первых разностей или "вторая разность" (Δ”s).

Это ускорение – среднее на участке пути от 2-й до 4-й позы; будем считать его мгновенным ускорением в момент промежуточной 3-й позы.

Таким же способом рассчитывается и вертикальное ускорение той же точки в то же время:

Δ”_у3 = Δ”_у2-Δ”_у4= -4-8=-12

a_у3 =

Знак минус показывает, что ускорение направлено вниз. Зная а_х и а_у, можно найти полное ускорение по правилу параллелограмма:

а =

3. Первые разности (Δ') – это величины числителя формулы скорости, выраженные в единицах длины. Это еще не сами скорости, но так как при их расчете берется одинаковое Δt (L = 2), то разноски прямо пропорциональны скоростям. Таким же образом вторые разности (Δ") – это величины числителя формула ускорения, выраженные в единицах длины. Они также прямо пропорциональны ускорениям. Поэтому если нас интересует только, как именно и когда изменяются скорости и ускорения, а не их абсолютные величины, то можно не вести расчет до конца, а рассматривать только разности.

4. Скорости и ускорения – векторные величины; они характеризуются размером и направлением. Их можно изобразить в виде стрелок определенного размера (в любом выбранном масштабе) и соответствующего направления. Это направление зависит от составляющих горизонтальной и вертикальной, когда полная скорость или ускорение определяемся по правилу параллелограмма.

Задание

I. Заготовить таблицы скоростей и ускорений: вычертить две таблицы точно такого размера, как таблицы координат (СМ. ПРЕДЫДУЩУЮ ПРАКТИЧЕСКУЮ РАБОТУ). Перенумеровать строчки (по количеству поз) и разметить колонки (по изображенным точкам). На том месте, где в таблице координат стояли обозначения S_x и S_y, проставить в таблице скоростей Δ'_x и Δ'_y в таблице ускорений Δ"_x и Δ"_y.

2. Рассчитать первые и вторые разности (по горизонтали и по вертикали) для избранных точек. Возьмем для примера две точки; S – коленный сустав и d – пальцы стоп. Наложим на таблицу координат таблицу скоростей так, чтобы видеть колонку цифр координат S_x точки S, Вычтем из координаты 3-й позы координату 1-й: 50-10 = 40: запишем Δ'_x в таблицу скоростей в колонку S (коленный сустав) левой половины таблицы (Δ'_x) в строку вторую. Далее в третью строку этой колонки запишем 88-23=65; в четвертую строку 133-50=83 и т.д. до конца колонка. В первой и последней строках данных нет, поэтому здесь поставим прочерк.

Таблица 2 Таблица скоростей

Таблица 3 Таблица ускорений

Когда делают расчет У (по вертикали), будут встречаться случаи вычитания аз меньшей величины отрицательных величин (их надо складывать, сохраняя знак минус), вычитания из отрицательных величин и т.д.; здесь надо вспомнить соответствующие правила вычитания.

Имея заполненную колонку первых разностей для какой-либо точки тела, таким же приемом можно рассчитать вторые разности. В табл. 2 и 3 представлены рассчитанные Δ'_x и Δ'_y для точек S и d (по таблице координат – табл. 1).

Обратите внимание на то, что в таблице ускорений в первых двух и последних двух cтроках нет значений вторых разностей.

Работу сфотографировать или отсканировать и прислать преподавателю Шушаковой Диане Алексеевне в ВК https://vk.com/dianashushakova, ватсап 89226842964 или на электронную почту kuks_hamster@mail.ru