Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел
.
Тогда: 1) при С < 1 ряд сходится;
2) при С > 1 ряд расходится
(при С = 1 признак не дает ответа о сходимости ряда).
Пример 6. Исследовать ряды на сходимость:
а) .
Решение. Общий член ряда
.
Вычислим
>
.
Следовательно, ряд расходится по радикальному признаку Коши.
Ответ: расходится.
б) .
Решение. Общий член ряда
.
Вычислим
.
Следовательно, ряд сходится по радикальному признаку Коши.
Ответ: сходится.
в) .
Решение. Общий член ряда
.
Вычислим
.
Следовательно, ряд сходится по радикальному признаку Коши.
Ответ: сходится.
Интегральный признак Коши
Пусть дан ряд с положительными членами такой, что члены ряда монотонно убывают
и функция
, непрерывная при
такая, что
.
Тогда и несобственный интеграл
сходятся или расходятся одновременно.
Пример 7. Исследовать ряды на сходимость:
а) .
Решение. Положим . Эта функция удовлетворяет всем требованиям интегрального признака Коши.
Рассмотрим несобственный интеграл.
― число.
Tак как несобственный интеграл сходится, то и исходный ряд сходится по интегральному признаку Коши.
Ответ: сходится.
б) .
Решение. Положим . Эта функция удовлетворяет всем требованиям интегрального признака Коши.
Рассмотрим несобственный интеграл
.
Следовательно, несобственный интеграл расходится, тогда и ряд
расходится по интегральному признаку Коши.
Ответ: расходится.
ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Ряд вида , где
, называется знакочередующимся рядом. Для знакочередующегося ряда справедлива теорема Лейбница.
Теорема Лейбница
Если для знакочередующегося ряда выполняется 1)
; 2)
, то ряд сходится и его сумма S удовлетворяет условию
.
|
Наряду со знакочередующимся рядом рассмотрим ряд из абсолютных величин
, члены которого – положительные числа. Если ряд из абсолютных величин
сходится, то знакочередующийся ряд
тоже сходится и
называется абсолютно сходящимся. Если ряд из абсолютных величин
расходится, а знакочередующийся ряд
сходится (по теореме Лейбница), то
называется условно сходящимся.
Исследовать знакочередующиеся ряды на абсолютную и условную сходимость можно по следующей схеме:
1. Вычислить . Если
, то ряд расходится по достаточному признаку расходимости и исследование этого ряда закончено.
2. Составить ряд из модулей ― знакоположительный числовой ряд. Используя признаки сходимости рядов с положительными членами, исследовать его на сходимость. Если ряд из модулей
сходится, то исходный знакочередующийся ряд
сходится абсолютно и исследование этого ряда закончено.
3. Проверить выполнение условий теоремы Лейбница для знакочередующихся рядов. Если условия выполнены, то знакочередующийся ряд сходится условно, если нет – то расходится.
Пример 8. Исследовать знакочередующиеся ряды на абсолютную и условную сходимость.
а) .
Решение. Общий член ряда .
1. Проверим . Следовательно, исходный ряд расходится по достаточному признаку расходимости.
Ответ: расходится.
б) .
Решение. Общий член ряда .
1. Проверим .
2. Составим ряд из модулей ― знакоположительный числовой ряд, и применим к нему интегральный признак Коши. Положим
. Эта функция удовлетворяет требованиям интегрального признака Коши. Рассмотрим несобственный интеграл
=
|
= число.
Следовательно, несобственный интеграл и ряд из модулей сходятся одновременно по интегральному признаку Коши. Поэтому исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.
Ответ: сходится абсолютно.
в) .
Решение. Общий член ряда .
1. Проверим
.
2. Составим ряд из модулей, ― знакоположительный ряд, и применим к нему второй признак сравнения. Для сравнения возьмём расходящийся обобщённый гармонический ряд
с общим членом
.
Вычислим . Следовательно, оба ряда расходятся одновременно и абсолютной сходимости исходного знакочередующегося ряда нет.
3. Проверим выполнение условий теоремы Лейбница для знакочередующихся рядов:
а) (это условие проверено в п.1);
б) Последовательность убывает
.
Проверим монотонное убывание с помощью производной:
при любых значениях n.
Следовательно, последовательность убывает. Оба условия теоремы Лейбница выполняются и исходный знакочередующийся ряд сходится условно.
Ответ: сходится условно.