Нормальное распределение

Вырожденное распределение

Говорят, что случайная величина имеет вырожденное распределение в точке , и пишут: , если принимает единственное значение с вероятностью 1, т.е. . Функция распределения имеет вид:

 

Распределение Бернулли

Говорят, что случайная величина имеет распределение Бернулли с параметром , и пишут: , если принимает значения 1 и 0 с вероятностями и соответственно. Случайная величина с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха : ни одного успеха или один успех. Таблица распределения имеет вид:

Функция распределения случайной величины такова:

Биномиальное распределение

Говорят, что случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами и , и пишут: , если принимает значения с вероятностями . Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа успехов в испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха . Таблица распределения имеет вид:

Распределение Бернулли совпадает с распределением .

 

Распределение Пуассона

Говорят, что случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , где , и пишут: , если принимает значения с вероятностями .

 

Геометрическое распределение

Говорят, что случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром , и пишут , если принимает значения с вероятностями . Случайная величина с таким распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха . Таблица распределения имеет вид:

 

Равномерное распределение

Говорят, что имеет равномерное распределение на отрезке , и пишут: , если плотность распределения постоянна на отрезке и равна нулю вне него:

Очевидно, что площадь под графиком этой функции равна единице и . Поэтому является плотностью распределения.

Случайная величина имеет смысл координаты точки, выбранной наудачу на отрезке . Вычислим по определению 30 функцию распределения случайной величины :

Получим следующую непрерывную функцию распределения:

 

Показательное распределение

Говорят, что имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром , и пишут: , если имеет следующую плотность распределения:

Функция распределения случайной величины непрерывна:

Показательное распределение является единственным абсолютно непрерывным распределением, для которого выполнено свойство «нестарения» (и в этом смысле оно является непрерывным аналогом дискретного геометрического распределения).

 

Гамма-распределение

Говорят, что имеет гамма-распределение с параметрами , , и пишут: , если имеет следующую плотность распределения:

где постоянная вычисляется из свойства (f2) плотности так:

откуда . Здесь через обозначен интеграл

называемый гамма-функцией Эйлера(3); при целых положительных , . Замена в интеграле Пуассона даст .

Показательное распределение — частный случай гамма-распределения: .

 

Нормальное распределение

Говорят, что имеет нормальное (гауссовское (1) ) распределение с параметрами и , где , , и пишут: , если имеет следующую плотность распределения:

Убедимся, что является плотностью распределения. Так как для всех , то свойство (f1) выполнено. Проверим (f2):

где через обозначен табличный интеграл (интеграл Пуассона (2))

Нормальное распределение с параметрами и называется стандартным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения равна .

Ввиду особой роли нормального распределения в теории вероятностей (мы ещё узнаем о ней) существует даже специальное обозначение для функции распределения нормального закона . Первообразная функции не может быть выражена через элементарные функции. Поэтому функцию можно записать лишь в виде интеграла:

Функция табулирована, т.е. её значения при различных вещественных вычислены. Их можно найти в соответствующих таблицах.

 

1. Свойства нормального распределения (в том числе вычисление его математического ожидания и дисперсии).

Свойство 1. Для любого справедливо соотношение:

Следствие 1. Если , то .

Следствие 2. Если , то

Свойство 2. ,

Свойство 3. Если , то для любого

Свойство 4 (правило трех сигм). Если , то

.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

С тандартное нормальное распределение :

Математическое ожидание этого распределения существует в силу конечности :

Математическое ожидание равно

так как под сходящимся интегралом стоит нечётная функция. Далее,

Поэтому

Нормальное распределение :

Если , то .

,

 

1. Определения независимости случайных величин.

Определение 1. Случайные величины называют независимыми (в совокупности), если для любого набора борелевских множеств ,..., имеет место равенство:

Определение 2. Случайные величины называют попарно независимыми, если независимы любые две из них.

Определение 3. Случайные величины независимы (в совокупности), если для любых имеет место равенство:

Определение 4. Случайные величины с дискретным распределением независимы (в совокупности), если для любых чисел имеет место равенство:

Определение 5. Случайные величины с абсолютно непрерывным совместным распределением независимы (в совокупности), если плотность совместного распределения равна произведению плотностей случайных величин , т.е. для любых имеет место равенство:

.

 

1. Определение и свойства математического ожидания.

Определение 1. Математическим ожиданием (средним значением, первым моментом) случайной величины с дискретным распределением, задаваемым таблицей , где , называется число

если данный ряд абсолютно сходится, т.е. если . В противном случае говорят, что математическое ожидание не существует.

Определение 2. Математическим ожиданием (средним значением, первым моментом) случайной величины с абсолютно непрерывным распределением с плотностью распределения называется число

если этот интеграл абсолютно сходится, т.е. если

В противном случае математическое ожидание не существует.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Во всех свойствах предполагается, что рассматриваемые математические ожидания существуют.

1.

Для произвольной борелевской функции

2.

Математическое ожидание постоянной равно ей самой: .

3.

Постоянную можно вынести за знак математического ожидания:

4.

Математическое ожидание суммы любых случайных величин равно сумме их математических ожиданий, если только эти математические ожидания существуют:

5.

Если п.н., т.е. если , то .

6.

Если п.н., и при этом , то п.н., т.е. .

7.

Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: если и независимы и их математические ожидания существуют, то

 

1. Определение и свойства дисперсии.

Дисперсия есть «среднее значение квадрата отклонения случайной величины от своего среднего». Посмотрим, за что эта величина отвечает.

Пусть случайная величина принимает значения с равными вероятностями, а случайная величина — значения с равными вероятностями. Тогда , поэтому , . Говорят, что дисперсия характеризует степень разброса значений случайной величины вокруг её математического ожидания.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Свойства дисперсии следуют из соответствующих свойств математического ожидания.

1.

Дисперсия может быть вычислена по формуле: .

2.

При умножении случайной величины на постоянную дисперсия увеличивается в раз: .

3.

— Дисперсия всегда неотрицательна: .

— Дисперсия обращается в нуль лишь для вырожденного распределения: если , то п. н., и наоборот.

4.

Дисперсия не зависит от сдвига случайной величины на постоянную: .

5.

Если и независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий: .

 

6.

Минимум среднеквадратического отклонения случайной величины от точек вещественной прямой есть среднеквадратическое отклонение от своего математического ожидания: .

 

 

1. Определение и свойства коэффициента корреляции.

Коэффициентом корреляции случайных величин и , дисперсии которых существуют и отличны от нуля, называется число

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Коэффициент корреляции обладает свойствами:

1)

если и независимы, то ;

2)

всегда ;

3)

тогда и только тогда, когда и п. н. линейно связаны, т.е. существуют числа и такие, что .

[Сокращение «п.н.» читается как «почти наверное» и означает «с вероятностью 1»]

 

 

1. Определение сходимости по вероятности. Неравенства Маркова и Чебышёва.

Говорят, что последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине при , и пишут: , если для любого

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(неравенство Маркова). Если , то для любого

(обобщённое неравенство Чебышёва). Пусть функция не убывает и неотрицательна на . Если , то для любого

 

1. Закон больших чисел в форме Чебышёва (с док-вом). Закон больших чисел Бернулли.

Для любой последовательности попарно независимых и одинаково распределённых случайных величин с конечным вторым моментом имеет место сходимость:

Доказательство.

Обозначим через сумму первых случайных величин. Из линейности математического ожидания получим:

Пусть . Воспользуемся неравенством Чебышёва:

так как . Заметим, что дисперсия суммы превратилась в сумму дисперсий в силу попарной независимости слагаемых, из-за которой все ковариации обратились в нуль при . Сумма же дисперсий слагаемых равняется из-за их одинаковой распределённости.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть событие может произойти в любом из независимых испытаний с одной и той же вероятностью , и пусть — число осуществлений события в испытаниях. Тогда . При этом для любого

1. Определение сходимости по распределению (слабой сходимости).

Пусть задана последовательность случайных величин , задано некоторое распределение с функцией распределения и пусть — произвольная случайная величина, имеющая распределение .

Говорят, что последовательность случайных величин сходится слабо или по распределению к случайной величине и пишут: , если для любого такого, что функция распределения непрерывна в точке , имеет место сходимость

при .

Итак, слабая сходимость — это сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.

 

1. Центральная предельная теорема.

(ЦПТ Ляпунова). Пусть — независимые и одинаково распределённые случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией: . Тогда имеет место слабая сходимость

последовательности «центрированных и нормированных» сумм случайных величин к стандартному нормальному распределению.