Основные свойства определителей

Лекция 2.

Тема: Решение определителей матриц.

Цель: закрепить навыки по вычислению определителей второго, третьего и высших порядков.

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Виды заданий:

1. Вычислить определитель второго порядка
2. Вычислить определитель третьего порядка

Определители. Основные понятия.

Определитель – это число, которое по специальным правилам вычисляется для каждой квадратной матрицы

Пусть дана квадратная матрица второго порядка:

Определителем (или детерминантом) второго порядка называется число . Определитель второго порядка записывается так: detA= =

Определитель второго порядка равен разности попарных произведений элементов главной и побочной диагонали.

Определитель квадратной матрицы порядка n можнообозначитьтакже Δ или│A│.

Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:

Пример 1. Найти определители матриц:

a) ; б)

Решение.

a) =2∙6-(-3)∙5=27

b)

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:

Определителем 3-го порядка, соответствующим данной матрице, называется число

Определитель третьего порядка записывается так:

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части берутся со знаком «+», а какие со знаком «-», полезно использовать следующее правилотреугольников (правилом Саррюса), которое символически можно записать так:

Пример 2. Вычислить определитель матрицы

Решение.

detA=5∙1∙(-3)+3∙0∙1+(-2)∙(-4)∙6-1∙1∙6-5∙(-4)∙0-3∙(-2)∙(-3)=-15+0+48-6-0-18=9

Основные свойства определителей

1. «Равноправность строк и столбцов». Определитель матрицы не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот (т.е. транспонировать)
2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит свой знак на противоположный:
3. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю.
4. Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вывести за знак определителя:
5. Если все элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
6. Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины:
7. Если элементы какого-либо строки (столбца) определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей:
8. Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (или ниже) главной диагонали, - нули, равен произведению элементов лавной диагонали:

Перечислим различные способы вычисления определителей.

1. Определитель можно вычислить, используя непосредственно его определение. Этим способом удобно находить определители 2-го и 3-го порядков (треугольник Саррюса).
2. Определитель можно вычислить способом приведения к треугольному виду. Этот способ основан на том, что в силу свойства 8 треугольный определитель равен произведению элементов главной диагонали. В данной работе его не использовать.