Арифметические операции над положительными рациональными числами
· Сложение
· Вычитание
· Умножение
· Деление
Сложение.
В виде обыкновенной дроби возможно представить любое положительное рациональное число и использовать далее схему сложения обыкновенных дробей.
Рациональные числа, которые подвергают действию сложения, возможно записать в виде конечных десятичных дробей или в виде смешанных чисел и, таким образом, осуществить сложение десятичных дробей и смешанных чисел соответственно.
При сложении двух рациональных чисел с одинаковым знаком складываются их модули и перед суммой ставится их общий знак.
Пример 1. Найти сумму 2,5 + 3,2.
Решение. Так как модуль положительного числа равен самому числу, то в данном примере числа можно просто сложить:
2,5 + 3,2 = 5,7
следует, что в результате сложения двух положительных чисел получится положительное число.
Прибавление нуля к любому числу дает то же число. Данное правило возможно записать в виде равенства: a + 0 = a
Вычитание.
Вычитание – действие, обратное сложению, в котором мы находим неизвестное слагаемое по сумме и известному слагаемому. Тогда из равенства c+b= a следует, что a−b=c a−c=b.
При вычитании из бОльшего положительного рационального числа мы либо производим вычитание обыкновенных дробей, либо, если это уместно, вычитание десятичных дробей или смешанных.
В прочих случаях вычитание рациональных чисел необходимо заменить сложением: к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
Действие умножения рациональных чисел
Общее понятие числа расширяется от натуральных чисел к целым, так же как от целых к рациональным. Все действия с целыми числами имеют те же свойства, что и действия с натуральными. В таком случае, и действия с рациональными числами также должны характеризоваться всеми свойствами действий с целыми числами. Но для действия умножения рациональных чисел присуще дополнительное свойство: свойство умножения взаимообратных чисел. Вышесказанному соответствуют все правила умножения рациональных чисел. Укажем их.
При умножении двух рациональных чисел умножаются их модули. Перед произведением ставится знак плюс
В частных случаях нахождение произведения рациональных чисел представляет собой умножение натуральных чисел, умножение натурального числа на обыкновенную или десятичную дробь.
Произведение любого рационального числа a на нуль есть нуль.
множение любого рационального числа a на 1 дает число a.
Если множители есть взаимообратные числа, то результатом их произведения будет единица. Т.е.: а*а^-1=1
При умножении любого числа на -1 получится число противоположное данному: 2,5 · (-1) = -2,5
Деление
Деление – действие, обратно умножению, в ходе которого мы находим неизвестный множитель по заданному произведению и известному множителю. Смысл действия деления можно записать так: из равенства b·c =a, следует, что a:b =c и a:c=b
При делении одного рационального числа на другое делят модуль первого числа на модуль второго. Перед частным ставится знак плюс
При делении любого числа на -1 получится число противоположное данному: 2,5: (-1) = -2,5
На множестве рациональных чисел деление не считается самостоятельным действием, поскольку оно производится через действие умножения. Собственно, этот смысл заложен в правило деления рациональных чисел.
Разделить число а на число b, отличное от нуля – то же самое, что умножить число a на число, обратное делителю. Т.е., на множестве рациональных чисел верно равенство: a:b=a⋅b^−1. Таким образом, деление рационального числа на другое рациональное число, отличное от нуля, сводится к действию умножения рациональных чисел.
Cвойства арифметических операций
Свойства сложения
1. Переместительный (коммуникативный) закон сложения: a + b = b + a.
От перемены мест слагаемых сумма не меняется.
Примеры:
45 + 21 = 21 + 45 = 66;
104 + 0 = 0 + 104 = 104.
2. Сочетательный (ассоциативный) закон сложения: a + b + c = a + (b + c).
Сумма не меняется, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых заменить их суммой. Пример:
197 + 23 + 77 = 197 + (23 + 77) = 197 + 100 = 297.
Примечание: оба закона справедливы для любого количества слагаемых.
3. a + 0 = 0 + a = 0.
Прибавление к числу нуля не изменяет этого числа.
Пример:
99 + 0 = 0 + 99 = 99.
Свойства вычитания
1. a - 0 = a.
Вычитание нуля из числа не изменяет этого числа
Пример:
17 – 0 = 17.
2. a - a = 0.
Если из числа вычесть само это число, то разность равна нулю.
Пример:
276 – 276 = 0
Вычитание суммы из числа: a – (b + c) = a – b – c.
Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из этого числа одно слагаемое, из полученной разности – второе слагаемое.
Пример:
183 – (43 + 19) = 183 – 43 – 19 = 140 – 19 = 121.
4. Вычитание числа из суммы: (a + b) – c = (a – c) + b = a + (b – c).
Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть это число из какого-нибудь одного слагаемого и полученную разность прибавить к сумме остальных слагаемых.
Примеры:
(143 + 27) – 33 = (143 – 33) + 27 = 110 +27 = 137;
(277 + 31 + 759) – 559 = (277 + 31) + (759 – 559) = 308 + 200 = 508.
5. Прибавление разности к числу: а + (b - c) = a + b – c.
Чтобы прибавить разность к числу, можно прибавить к нему уменьшаемое и из полученной суммы вычесть вычитаемое.
Пример:
543 + (202 – 45) = 543 + 202 – 45 = 745 – 45 = 700.
Свойства умножения
1. Переместительный (коммуникативный) закон умножения: а · b = b · а.
От перемены мест множителей произведение не меняется.
Пример:
569 · 17 = 17 · 569.
2. Сочетательный (ассоциативный) закон умножения: а · b · c = а · (b · c).
Произведение не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих множителей заменить их произведением.
Пример:
39 · 25 · 4 = 39 · (25 · 4) = 39 · 100 = 3900.
3. Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения: (а + b + c) · d = аd + bd + cd.
Произведение суммы нескольких чисел на какое-нибудь число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число.
Пример:
(150 + 75 + 12) · 4 = 150 · 4 + 75 · 4 + 12 · 4 = 600 + 300 + 48 = 948
4. Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно вычитания: (а - b) · c = аc - bc.
Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе.
Пример:
(125 – 42) · 8 = 125 · 8 - 42 · 8 = 1000 – 336 = 664.
5. а · 1 = 1 · а = а.
При умножении числа на единицу получаем само число.
Пример:
45 · 1 = 1 · 45 = 45.
6. а · 0 = 0 · а = 0.
При умножении числа на нуль получаем нуль.
Пример:
6999 · 0 = 0 · 6999 = 0.
Примечание. Если в произведении нескольких множителей хотя бы один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю.
Свойства деления
1. a: 1 = a.
При делении числа на единицу получаем само число.
Пример:
503: 1 = 503.
2. 0: a = 0.
При делении нуля на любое число, не равное нулю, получаем нуль.
Пример:
0: 941 = 0.
3. На нуль делить нельзя!
4. a: a = 1.
При делении числа, не равного нулю, на само себя, получаем единицу.
Пример:
67: 67 = 1.
5. Деление суммы на число: (a + b): c = a: c + b: c.
Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно (если это возможно) и полученные частные сложить.
Пример:
(545 + 75): 5 = 545: 5 + 75: 5 = 109 + 15 = 124.
6. Деление разности на число: (a - b): c = a: c - b: c.
Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, можно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно (если это возможно) и из первого частного вычесть второе.
Пример:
(633 - 99): 3 = 633: 3 + 99: 3 = 211 + 33 = 244.
7. Деление произведения на число: (a · b): c = (a: c) · b = a · (b: c).
Чтобы разделить произведение двух множителей на число, можно разделить на это число любой из множителей (если деление выполнимо) и частное умножить на второй множитель.
Пример:
(77 · 9): 7 = (77: 7) · 9 = 11 · 9 = 99.
| 
| |
|
|
|