Вступительная беседа.
Что отличает урок математики от других уроков? Книгу по математике от книг по какому-то другому предмету? Большое количество вычислений? Формул? Но они есть и в других учебниках: в естествознании, физике, химии, астрономмии. Наличие доказательств – вот что прежде всего отличает математику от других областей знания. Конечно, доказательства встречаются и в других сферах человеческой деятельности, например, в юриспруденции. Однако математические доказательства убедительнее тех, которые можно слышать в суде. Математичекие доказательства признаются эталоном бесспорности.
Что же такое доказательство в математике? Доказательство – это такое рассуждение, которое убеждает нас настолько, что мы готовы убеждать других, используя то же рассуждение. В математике большое значение имеют так называемые доказательства существования. Самый простой способ доказатьсуществование объекта с заданными свойствами – это указать его и, разумеется, убедиться, что он обладает нужными свойствами. Например, чтобы убедиться, что уравнение имеет решение, достаточно привести какое-либо его решение. Такие доказательства называются прямыми. Но бывают и косвенные доказательства, когда обоснование того, что объект существует, происходит без прямого указания на сам объект.
Объяснение нового материала.
Рассмотрим пример. В классе 34 ученика. Докажите, что среди них обязательно найдутся по крайней мере два ученика, у которых фамиля начинается с одной буквы.
Доказательство простое. В русском языке алфавит содержит 33 буквы. Предположим, что нет таких учеников, у которых бы фамилия начиналась с одной буквы. Тогда учеников должно быть не более 33, а их 34.
Логический прием, который был использован прирешении этой задачи, называется принципом Дирихле. Дирихле Петер Август Лежен (1805-1859) – немецкий математик, иностранный член Петербургской Академии наук, член многих академий. Дирихле –автор многих достижений в области математики, одна из его заслуг – принцип доказательства, названный его именем.
Существует несколько формулировок этого принципа. Самая популярная следующая: «Если в п клетках сидят т зайцев, причем т > п, то хотя бы в одной клетке сидят, по крайней мере, два зайца»
Например, если 4 кролика разместить в 3 клетках, то найдется хотя бы одна клетка, в которой будет не менее 2 кроликов (сделать рисунок). Предположим, что не существует клетки, где сидят два кролика. Тогда в трех клетках окажется не более 3 кроликов (сделать рисунок), а их 4 – противоречие.
Запишем принцип Дирихле: если по N разложить предметы,число которых M больше N, то найдется ящик, в котором будет находится больше одного предмета.
На первый взгляд непонятно, почему это совершенно очевидное предложение, тем не менее, является мощным математическим методом решения задач, причем, самых разнообразных. Дело в том, что в каждой конкретной задаче нелегко понять, что же здесь выступает в роли «предметов», а что – в роли «ящиков».
Вернемся к первой задаче. Что в ней предметы? (ученики, M=34). Что в ней ящики? (количество букв в алфавите, N =33). M>N, то по принципу Дирихле хотя бы на одну букву будет приходится две фамилии.
Вернемся ко второй задаче. Что в ней предметы? (кролики, M= 4). Что в ней ящики? (клетки, N=3).M>N, то по принципу Дирихле хотя бы в одной клетке окажется два кролика.
Закрепление
тип «Сколько нужно взять?..»
1.В мешке лежат шарики двух разных цветов. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка, чтобы среди ни обязательно оказались два шарика одного цвета?
Решение:
Здесь роль предметов играют шарики (М=?), роль ящиков - цвета (N=2).Чтобы M>N, т.е. в одном ящике оказалось два предмета, их должно быть больше двух, т.е. М=3
2.В коробке лежат карандаши: 7 красных и 5 синих. В темноте берут карандаши. Сколько карандашей надо взять, чтобы среди них было не менее 2 красных и не менее 3 синих?
Решение: Если предположить, что сначала будут попадаться только красные карандаши, то для того, чтобы было 3 синих, нужно взять 7(красные)+3(N)=10. Это «худший» вариант развития событий, т.к. красных карандашей больше.
3.В мешке лежат 10 черных и 10 белых шаров. Они тщательно перемешены и неразлечимы на ощупь. Какое наименьшеее количество шаров нужно вынуть из мешка, чтобы среди них наверняка оказались два шара 1) одного цвета, 2)разного цвета, 3) белого цвета.
Решение:1)Если предположить, что предметы – шарики, которые нужно взять (М=?), а количество ящиков - цвета N=2, то по принципу Дирихле М=3
2)если предположить, что сначала будут попадаться шары только одного цвета, то N=10,следовательно, М=11
3)если предположить, что все время будут попадаться шары черного цвета, то М=12.