Вычислим абсолютное ускорение точки 
. Для этого возьмем полную производную по времени от абсолютной скорости (5.7):
(5.9)
Здесь 
– ускорение полюса 
подвижной системы координат, 
– вектор угловой переносной скорости, 
вектор углового переносного ускорения.
Вычислим полные производные по времени от векторов 
и 
(используя полученные ранее выражения (5.4, а) и (5.5)):
;
(5.10)
Подставляя (5.10) в (5.9), получим
. (5.11)
В формуле (5.11) подчеркнутые слагаемые характеризуют движение подвижной системы координат, т.е. составляют переносное ускорение
, (5.12)
здесь, согласно формулам Эйлера,
, 
.
Напомним, что переносное ускорение точки – это ускорение точки жестко скрепленной с подвижной системой координат и не имеющей в рассматриваемый момент времени относительного движения.
Второе слагаемое в (5.11) – 
, соответствует ускорению относительного движения.
Оставшиеся не подчеркнутые слагаемые в (5.11) определяют ускорение, которое принято называть ускорением Кориолиса, обозначим это ускорение 
, Тогда
. (5.13)
Учитывая все замечания, выражение (5.11) перепишется
. (5.14)
Полученное выражение определяет теорему Кориолиса: абсолютное ускорение точки является векторной суммой трех ускорений: относительного, переносного и ускорения Кориолиса.
Примечание
Для выяснения физической сущности ускорения Кориолиса рассмотрим движение в плоскости вращения. Нас будет интересовать движение точки с постоянной относительной скоростью 
вдоль радиуса стержня (рис. 5.4).
Рис. 5.4
|
На рисунке указаны положения точки 
и 
в два момента времени, разделенных промежутком Dt, в течении которого радиус повернется на угол Da=wt. Относительная скорость – скорость вдоль радиуса изменяется за это время только по направлению, а переносная скорость 
, перпендикулярная радиусу, изменяется как по направлению, так и по модулю 
, 
для положения точек и соответственно.
|
|
Модуль полного изменения абсолютной скорости, перпендикулярной радиусу (направлению 
), равен
где учтено, что для 
, 
.
Изменение скорости характеризуется ускорением, следовательно, ускорение Кориолиса согласно определению ускорения, по модулю равно:
Получили, что изменение модуля абсолютной скорости характеризуется ускорением
Ускорение Кориолиса обусловлено различным значением переносной скорости в разных точках подвижной системы координат. Иначе говоря, ускорение Кориолиса является результатом взаимного влияния двух движений – переносного и относительного.
§ 5.4. Способы вычисления 
, 
и 
ускорений
Относительное ускорение . Движение подвижных осей во внимание не принимается, наблюдатель находится внутри подвижной системы координат 
.
Вычисление зависит от способа задания относительного движения ():
– координатный способ задания относительного движения точки М
.
– естественный способ задания относительного движения. Приводим оси естественного трехгранника 
к движущейся точки 
, тогда
,
здесь 
– радиус кривизны относительной траектории в точке М.
Вектор относительного ускорения расположен в соприкасающейся плоскости относительного движения.
Переносное ускорение 
. Точка жесткосвязана с телом (
) и движется вместе с ним относительно неподвижной системы координат 
. Наблюдатель находится внутри неподвижной системы координат.
|
|
1. Подвижная система координат движется поступательно – 
, 
, тогда переносное ускорение точки М, согласно (5.12)
Переносное ускорение совпадает с ускорением подвижной системы координат.
2. Подвижная система координат вращается относительно неподвижной оси 
с угловой скоростью 
и угловым ускорением 
. В этом случае 
=0, тогда из (5.12), переносное ускорение точки М, согласно (5.12)
Если точка в переносном движении движется по окружности радиуса 
, то
Векторы ускорений 
расположены в соприкасающейся плоскости переносного движения, т.е. в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Ускорения Кориолиса 
. Ускорение Кориолиса вычисляется по формуле: 
, здесь 
. Модуль ускорения Кориолиса равен
здесь угол 
, угол между вектором относительной скорости 
и вектором угловой скорости переносного вращения 
.
Для вычисления направления 
, удобно пользоваться правилом Жуковского. Пусть имеем точку М, движущуюся с относительной скоростью 
(рис. 5.5). Построим плоскость (П), перпендикулярную вектору угловой скорости переносного вращения 
. Спроецируем 
на плоскость (П). Проекцию обозначим 
. Она является скаляром и равна
,
тогда
. (5.12)
Правило Жуковского: ч тобы получить направление ускорения Кориолиса , следует проекцию вектора относительной скорости  повернуть на 90° вокруг оси, параллельной оси переносного вращения  , в направлении этого вращения.
|
Рассмотрим случаи обращения в нуль ускорения Кориолиса.
Ускорение Кориолиса равно нулю, если:
1. 
– переносное движение является поступательным;
2. 
– в те моменты времени, в которые происходит изменение направления относительного движения;
|
|
3. 
– когда 
║ 
.
Примеры решения задач
Пример 5.2. В примере 5.1. вычислить абсолютное ускорение.
Решение. Рассмотрим стержень, который вращается в плоскости 
вокруг неподвижного центра 
с угловой скоростью 
. Точка М скользит вдоль стержня со скоростью 
, рис. 5.6.
Рис. 5.6 
| Абсолютное ускорение точки является векторной суммой трех ускорений: относительного, переносного и ускорения Кориолиса.
 .
Здесь:
|
– вектор относительного ускорения 
, т.к. 
;
– вектор переносного ускорения
,
где 
, 
.
Вектор 
направлен пооси 
;
– ускорение Кориолиса 
Определим направление вектора , используя правило Жуковского. Угол между вектором относительной скорости 
и равен 
(вектор 
), тогда вектор разворачиваем на по направлению дуговой
стрелки 
(рис. 5.6).
Вычислим абсолютное ускорение точки 
:
Угол между 
и осью равен.
, 
.
Пусть 
, 
, 
,
тогда 
, 
,
.
Пример 5.3. Пластина В вращается вокруг неподвижной оси 
, согласно уравнению 
(рис. 5.7).
На пластине по желобу движется точка, согласно уравнению
.
Вычислить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t = 1с, если радиус желоба 
.
Решение. Будем считать, что в момент времени t = 1с угол поворота 
имеет такое значение, при котором тело В располагается в плоскости 
, рис. 5.8.
Точка М совершает сложное движение, состоящее из относительного (движение точки по желобу) и переносного (вращение точки вместе с пластиной вокруг оси АС) движений.
Вычислим абсолютную скорость точки 
:
.
Относительная скорость 
. Найдем положение точки М на пластине В через 1с. Для этого вычислим значение дуговой координаты 
при 
:
Если обозначить угол между радиусами 
и 
, через a тогда
.
Относительное движение точки задано естественным способом. Приведем оси 
к точке М на траектории. Относительная скорость точки М при 
Вектор относительной скорости 
лежит в соприкасающейся плоскости
относительного движения – плоскость 
и направлена по касательной к траектории относительного движения – по оси 
(рис. 5.9, а).
Переносная скорость 
. В переносном движении точка движется в соприкасающейся плоскости переносного движения – плоскости 
по окружности радиусом 
(рис. 5.9, б).
Рис.5.9
Задано уравнение вращения пластины В – 
, тогда
.
Переносное движение ускоренное, т.к. 
> 0, 
> 0, дуговые стрелки 
и 
направлены в одну сторону (рис. 5.9, б). Приведем оси 
к точке М в плоскости 
.
Вычислим радиус кривизны траектории при переносном движении точки М в момент времени 
(
):
= R - 
= R(1 - cosa) = 30(1 – cos(
)) = 30(1 – 0,707) = 8,79 см.
Переносная скорость Vе
.
Вектор переносной скорости 
направлен по касательной к траектории в точке М – ось 
(рис. 5.9, б). Направление оси согласуется с направлением дуговой стрелки 
.
Так как в данном случае векторы 
взаимно перпендикулярны, (вектор скорости расположен в плоскости 
, вектор скорости 
направлен по оси 
, т.е. 
), то модуль абсолютной скорости точки М
.
Вычислим абсолютное ускорение точки М. Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и Кориолисово ускорений
.
Относительное ускорение 
. Относительное движение точки задано естественным способом – точка движется по окружности радиусом 
в соприкасающейся плоскости относительного движения . Приведем к точке оси естественного трехгранника 
(рис. 5.10, а). Ось совпадает с направлением 
, ось 
перпендикулярна оси и направлена вовнутрь вогнутости траектории по радиусу .
Рис. 5.10
Относительное ускорение равно
Здесь, при t = 1 с:
.
Точка движется с замедлением, поскольку векторы 
>0, 
<0, вектор 
и вектор 
имеют разное направление по оси 
. Вектор и вектор 
направлены по осям и 
соответственно и лежат в плоскости .
Переносное ускорение 
. Движение точки в ее переносном движении – криволинейное. Точка движется по окружности радиусом 
в соприкасающейся плоскости переносного движения 
. Приведем к точке оси естественного трехгранника 
(рис 5.8, б). Ось 
совпадает с направлением 
, ось 
перпендикулярно оси и направлена вовнутрь вогнутости, т.е. по радиусу МК.
Переносное ускорение, рис. 5.10, б:
.
Здесь, при t = 1 с:
Вектор 
и вектор 
направлены по осям и 
соответственно.
Ускорение Кориолиса 
. Вектор ускорения Кориолиса
,
его модуль
.
Вектор 
направлен по оси вращения АС. Угол 
, угол между векторами 
и 
равен (рис. 5.11, а).
Итак,
Рис. 5.11
Направление вектора 
по правилу Журавского: поворачиваем 
на 90° по направлению дуговой стрелке 
вектор 
направлен параллельно оси 
(рис. 5.11, б).
Для вычисления модуля абсолютного ускорения используем способ проекций. Спроецируем все составляющие абсолютного ускорения на оси 
. Имеем (рис. 5.10 и рис. 5.11, б):
Модуль абсолютного ускорения (рис. 5.12):
Рис. 5.12 
| Направление вектора  определим геометрически. Совместим с точкой  декартову систему координат  (рис.5.12). Отложим проекции  абсолютного ускорения на оси координат , построим вектор .
|
Пример 5.4. Шар радиусом R=1м вращается вокруг вертикальной оси 
по заданному уравнению 
(рад). По меридиану шара движется точка М по заданному уравнению 
(м), рис. 5.13. Дуга 
отсчитывается от точки МО меридиана. Вычислить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t=1 с.
Решение. За переносное движение точки примем ее вращение вместе с шаром вокруг оси (рис. 5.13).
Рис. 5.13
| Тогда относительным движением точки будет движение точки по меридиану шара.
Определим положение точки М на меридиане в момент времени t=1с. Имеем:
 .
Так как R=1 м, то положение точки определяется углом широты:
|
Совместим декартову систему координат 
с положением точки М при 
, так, чтобы было М 
, ось Мх проходила через точку С
(рис. 5.13). В переносном движении точка движется в соприкасающейся плоскости 
. В относительном движении точка движется в соприкасающейся плоскости относительного движения 
.
Вычислим угловую скорость и угловое ускорения переносного движения:
;
.
Знак (–) при 
показывает, что вращение шара происходит по часовой стрелке. Одинаковые знаки при 
и 
, показывают, что вращение шара в рассматриваемый момент времени является ускоренным.
Вычислим модуль скорости переносного движения (при t=1с) – 
. Жестко скрепляем точку 
с шаром, точка будет двигаться по окружности радиусом 
в плоскости (рис. 5.14, а). Тогда
|
Рис. 5.14
Приведем оси естественного трехгранника 
к точке 
в плоскости 
. Вектор скорости переносного движения 
будет направлен по касательной 
. Оси и 
определяют соприкасающуюся плоскость переносного движения и совпадают с осями 
и 
соответственно.
В относительном движении точка движется в соприкасающейся плоскости 
относительного движения (рис. 5.14, б). Приведем оси естественного трехгранника 
в плоскости 
. Скорость относительного движения точки – это скорость точки М при ее движении вдоль меридиана. Вычислим:
Знак (+) при 
указывает, что вектор 
направлен в сторону возрастания дуговой координаты 
(рис. 5.14, б).
Вычислим абсолютную скорость точки
.
Модуль абсолютной скорости
.
Направление 
вычислим
Рис. 5.15 геометрически, рис. 5.15.
Вычислим абсолютное ускорение точки
. (а)
Точка М вращается вместе с шаром вокруг неподвижной оси 
в плоскости . Вычислим переносное ускорение
Модуль нормального ускорения
.
Ускорение 
направлено по оси 
(рис. 5.16, а).
Модуль касательной составляющей ускорения
.
Рис. 5.16
|
Ускорение 
направлено по оси исовпадает с направлением вектора переносной скорости 
(рис. 5.16, а).
Вектор относительного ускорения расположен в плоскости (рис.5.16, б).
.
Модуль нормальной составляющей относительного ускорения
Ускорение 
направлено по оси 
, т.е. к центру шара О (рис. 5.16, б).
Модуль касательной составляющей относительного ускорения
.
Вектор ускорения 
направлен по оси 
. Так как 
>0, то вектор 
направлен в сторону возрастающих значений 
S (рис. 5.16, б).
Вычислим ускорение Кориолиса 
,
Направление вектора 
определим по правилу Жуковского (рис. 5.16, в). Вектор угловой скорости 
направлен против оси вращения 
(
<0). Спроецируем на соприкасающуюся плоскость переносного движения вектор и повернем полученную проекцию 
вокруг оси Мz в плоскости на 
в сторону дуговой стрелки 
(рис. 5.13, в). Ускорение Кориолиса 
направлено по оси Му и совпадает с направлением ускорения 
.
Для вычисления модуля абсолютного ускорения 
используем способ проекций. Спроецируем все составляющие абсолютного ускорения на оси 
.
Имеем (рис. 5.16, а, б, в):
; 
;
.
Модуль абсолютного ускорения
.
Направление вектора 
вычислим по направляющим косинусам.
, 
;
, 
;
, 
.
Ответ. 
; 
.