Абсолютное ускорение точки

Вычислим абсолютное ускорение точки . Для этого возьмем полную производную по времени от абсолютной скорости (5.7):

(5.9)

Здесь – ускорение полюса подвижной системы координат, – вектор угловой переносной скорости, вектор углового переносного ускорения.

Вычислим полные производные по времени от векторов и (используя полученные ранее выражения (5.4, а) и (5.5)):

;

(5.10)

Подставляя (5.10) в (5.9), получим

. (5.11)

В формуле (5.11) подчеркнутые слагаемые характеризуют движение подвижной системы координат, т.е. составляют переносное ускорение

, (5.12)

здесь, согласно формулам Эйлера,

, .

Напомним, что переносное ускорение точки – это ускорение точки жестко скрепленной с подвижной системой координат и не имеющей в рассматриваемый момент времени относительного движения.

Второе слагаемое в (5.11) – , соответствует ускорению относительного движения.

Оставшиеся не подчеркнутые слагаемые в (5.11) определяют ускорение, которое принято называть ускорением Кориолиса, обозначим это ускорение , Тогда

. (5.13)

Учитывая все замечания, выражение (5.11) перепишется

. (5.14)

Полученное выражение определяет теорему Кориолиса: абсолютное ускорение точки является векторной суммой трех ускорений: относительного, переносного и ускорения Кориолиса.

Примечание

Для выяснения физической сущности ускорения Кориолиса рассмотрим движение в плоскости вращения. Нас будет интересовать движение точки с постоянной относительной скоростью вдоль радиуса стержня (рис. 5.4).

Рис. 5.4

На рисунке указаны положения точки и в два момента времени, разделенных промежутком Dt, в течении которого радиус повернется на угол Da=wt. Относительная скорость – скорость вдоль радиуса изменяется за это время только по направлению, а переносная скорость , перпендикулярная радиусу, изменяется как по направлению, так и по модулю , для положения точек и соответственно.

Модуль полного изменения абсолютной скорости, перпендикулярной радиусу (направлению ), равен

где учтено, что для , .

Изменение скорости характеризуется ускорением, следовательно, ускорение Кориолиса согласно определению ускорения, по модулю равно:

Получили, что изменение модуля абсолютной скорости характеризуется ускорением

Ускорение Кориолиса обусловлено различным значением переносной скорости в разных точках подвижной системы координат. Иначе говоря, ускорение Кориолиса является результатом взаимного влияния двух движений – переносного и относительного.

§ 5.4. Способы вычисления , и ускорений

Относительное ускорение . Движение подвижных осей во внимание не принимается, наблюдатель находится внутри подвижной системы координат .

Вычисление зависит от способа задания относительного движения ():

– координатный способ задания относительного движения точки М

– естественный способ задания относительного движения. Приводим оси естественного трехгранника к движущейся точки , тогда

здесь – радиус кривизны относительной траектории в точке М.

Вектор относительного ускорения расположен в соприкасающейся плоскости относительного движения.

Переносное ускорение . Точка жесткосвязана с телом () и движется вместе с ним относительно неподвижной системы координат . Наблюдатель находится внутри неподвижной системы координат.

1. Подвижная система координат движется поступательно – , , тогда переносное ускорение точки М, согласно (5.12)

Переносное ускорение совпадает с ускорением подвижной системы координат.

2. Подвижная система координат вращается относительно неподвижной оси с угловой скоростью и угловым ускорением . В этом случае =0, тогда из (5.12), переносное ускорение точки М, согласно (5.12)

Если точка в переносном движении движется по окружности радиуса , то

Векторы ускорений расположены в соприкасающейся плоскости переносного движения, т.е. в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Ускорения Кориолиса . Ускорение Кориолиса вычисляется по формуле: , здесь . Модуль ускорения Кориолиса равен

здесь угол , угол между вектором относительной скорости и вектором угловой скорости переносного вращения .

Для вычисления направления , удобно пользоваться правилом Жуковского. Пусть имеем точку М, движущуюся с относительной скоростью
(рис. 5.5). Построим плоскость (П), перпендикулярную вектору угловой скорости переносного вращения . Спроецируем на плоскость (П). Проекцию обозначим . Она является скаляром и равна

тогда

. (5.12)

Правило Жуковского: ч тобы получить направление ускорения Кориолиса

, следует проекцию вектора относительной скорости повернуть на 90° вокруг оси, параллельной оси переносного вращения

, в направлении этого вращения.

Рассмотрим случаи обращения в нуль ускорения Кориолиса.

Ускорение Кориолиса равно нулю, если:

1. – переносное движение является поступательным;

2. – в те моменты времени, в которые происходит изменение направления относительного движения;

3. – когда ║ .

Примеры решения задач

Пример 5.2. В примере 5.1. вычислить абсолютное ускорение.

Решение. Рассмотрим стержень, который вращается в плоскости вокруг неподвижного центра с угловой скоростью . Точка М скользит вдоль стержня со скоростью , рис. 5.6.

Рис. 5.6

Абсолютное ускорение точки является векторной суммой трех ускорений: относительного, переносного и ускорения Кориолиса.

. Здесь:

– вектор относительного ускорения , т.к. ;

– вектор переносного ускорения

где , .

Вектор направлен пооси ;

– ускорение Кориолиса

Определим направление вектора , используя правило Жуковского. Угол между вектором относительной скорости и равен (вектор ), тогда вектор разворачиваем на по направлению дуговой
стрелки (рис. 5.6).

Вычислим абсолютное ускорение точки :

Угол между и осью равен.

, .

Пусть , , ,

тогда , ,

Пример 5.3. Пластина В вращается вокруг неподвижной оси , согласно уравнению (рис. 5.7).

На пластине по желобу движется точка, согласно уравнению

Вычислить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t = 1с, если радиус желоба .

Решение. Будем считать, что в момент времени t = 1с угол поворота имеет такое значение, при котором тело В располагается в плоскости , рис. 5.8.

Точка М совершает сложное движение, состоящее из относительного (движение точки по желобу) и переносного (вращение точки вместе с пластиной вокруг оси АС) движений.

Вычислим абсолютную скорость точки :

Относительная скорость . Найдем положение точки М на пластине В через 1с. Для этого вычислим значение дуговой координаты при :

Если обозначить угол между радиусами и , через a тогда

Относительное движение точки задано естественным способом. Приведем оси к точке М на траектории. Относительная скорость точки М при

Вектор относительной скорости лежит в соприкасающейся плоскости

относительного движения – плоскость и направлена по касательной к траектории относительного движения – по оси (рис. 5.9, а).

Переносная скорость . В переносном движении точка движется в соприкасающейся плоскости переносного движения – плоскости по окружности радиусом (рис. 5.9, б).

Рис.5.9

Задано уравнение вращения пластины В – , тогда

Переносное движение ускоренное, т.к. > 0, > 0, дуговые стрелки и направлены в одну сторону (рис. 5.9, б). Приведем оси к точке М в плоскости .

Вычислим радиус кривизны траектории при переносном движении точки М в момент времени ():

= R - = R(1 - cosa) = 30(1 – cos()) = 30(1 – 0,707) = 8,79 см.

Переносная скорость V_е

Вектор переносной скорости направлен по касательной к траектории в точке М – ось (рис. 5.9, б). Направление оси согласуется с направлением дуговой стрелки .

Так как в данном случае векторы взаимно перпендикулярны, (вектор скорости расположен в плоскости , вектор скорости направлен по оси , т.е. ), то модуль абсолютной скорости точки М

Вычислим абсолютное ускорение точки М. Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и Кориолисово ускорений

Относительное ускорение . Относительное движение точки задано естественным способом – точка движется по окружности радиусом в соприкасающейся плоскости относительного движения . Приведем к точке оси естественного трехгранника (рис. 5.10, а). Ось совпадает с направлением , ось перпендикулярна оси и направлена вовнутрь вогнутости траектории по радиусу .

Рис. 5.10

Относительное ускорение равно

Здесь, при t = 1 с:

Точка движется с замедлением, поскольку векторы >0, <0, вектор и вектор имеют разное направление по оси . Вектор и вектор направлены по осям и соответственно и лежат в плоскости .

Переносное ускорение . Движение точки в ее переносном движении – криволинейное. Точка движется по окружности радиусом в соприкасающейся плоскости переносного движения . Приведем к точке оси естественного трехгранника (рис 5.8, б). Ось совпадает с направлением , ось перпендикулярно оси и направлена вовнутрь вогнутости, т.е. по радиусу МК.

Переносное ускорение, рис. 5.10, б:

Здесь, при t = 1 с:

Вектор и вектор направлены по осям и соответственно.

Ускорение Кориолиса . Вектор ускорения Кориолиса

его модуль

Вектор направлен по оси вращения АС. Угол , угол между векторами и равен (рис. 5.11, а).

Итак,

Рис. 5.11

Направление вектора по правилу Журавского: поворачиваем на 90° по направлению дуговой стрелке вектор направлен параллельно оси (рис. 5.11, б).

Для вычисления модуля абсолютного ускорения используем способ проекций. Спроецируем все составляющие абсолютного ускорения на оси . Имеем (рис. 5.10 и рис. 5.11, б):

Модуль абсолютного ускорения (рис. 5.12):

Рис. 5.12

Направление вектора

определим геометрически. Совместим с точкой

декартову систему координат

(рис.5.12). Отложим проекции

абсолютного ускорения на оси координат

, построим вектор

Пример 5.4. Шар радиусом R=1м вращается вокруг вертикальной оси по заданному уравнению (рад). По меридиану шара движется точка М по заданному уравнению (м), рис. 5.13. Дуга отсчитывается от точки М_О меридиана. Вычислить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t=1 с.

Решение. За переносное движение точки примем ее вращение вместе с шаром вокруг оси (рис. 5.13).

Рис. 5.13

Тогда относительным движением точки будет движение точки по меридиану шара. Определим положение точки М на меридиане в момент времени t=1с. Имеем:

. Так как R=1 м, то положение точки определяется углом широты:

Совместим декартову систему координат с положением точки М при , так, чтобы было М , ось Мх проходила через точку С
(рис. 5.13). В переносном движении точка движется в соприкасающейся плоскости . В относительном движении точка движется в соприкасающейся плоскости относительного движения .

Вычислим угловую скорость и угловое ускорения переносного движения:

;

Знак (–) при показывает, что вращение шара происходит по часовой стрелке. Одинаковые знаки при и , показывают, что вращение шара в рассматриваемый момент времени является ускоренным.

Вычислим модуль скорости переносного движения (при t=1с) – . Жестко скрепляем точку с шаром, точка будет двигаться по окружности радиусом в плоскости (рис. 5.14, а). Тогда

Рис. 5.14

Приведем оси естественного трехгранника к точке в плоскости . Вектор скорости переносного движения будет направлен по касательной . Оси и определяют соприкасающуюся плоскость переносного движения и совпадают с осями и соответственно.

В относительном движении точка движется в соприкасающейся плоскости относительного движения (рис. 5.14, б). Приведем оси естественного трехгранника в плоскости . Скорость относительного движения точки – это скорость точки М при ее движении вдоль меридиана. Вычислим:

Знак (+) при указывает, что вектор направлен в сторону возрастания дуговой координаты
(рис. 5.14, б).

Вычислим абсолютную скорость точки

Модуль абсолютной скорости

Направление вычислим

Рис. 5.15 геометрически, рис. 5.15.

Вычислим абсолютное ускорение точки

. (а)

Точка М вращается вместе с шаром вокруг неподвижной оси в плоскости . Вычислим переносное ускорение

Модуль нормального ускорения

Ускорение направлено по оси (рис. 5.16, а).

Модуль касательной составляющей ускорения

Рис. 5.16

Ускорение направлено по оси исовпадает с направлением вектора переносной скорости (рис. 5.16, а).

Вектор относительного ускорения расположен в плоскости (рис.5.16, б).

Модуль нормальной составляющей относительного ускорения

Ускорение направлено по оси , т.е. к центру шара О (рис. 5.16, б).

Модуль касательной составляющей относительного ускорения

Вектор ускорения направлен по оси . Так как >0, то вектор направлен в сторону возрастающих значений S (рис. 5.16, б).

Вычислим ускорение Кориолиса

Направление вектора определим по правилу Жуковского (рис. 5.16, в). Вектор угловой скорости направлен против оси вращения ( <0). Спроецируем на соприкасающуюся плоскость переносного движения вектор и повернем полученную проекцию вокруг оси Мz в плоскости на в сторону дуговой стрелки (рис. 5.13, в). Ускорение Кориолиса направлено по оси Му и совпадает с направлением ускорения .