Практическая работа №2
Цель работы: научиться получать общую передаточную функцию замкнутой математической модели локальной системы регулирования используя систему команд расширения Symbolic Math системы компьютерной математики (СКМ) MATLAB. А также научиться определять статическую ошибку регулирования и зависимость этой величины от параметров регулятора, используя полученную общую передаточную функцию локальной системы регулирования.
Объект:
В качестве примера, используем математическую модель следящей системы управления, составленную для канала управления (без учета возмущающего воздействия, представленную структурной схемой, изображенной на рисунке 1.
Рисунок 1 – Структурная схема следящей системы управления:
С1С2 – сельсиновая пара; МУ – магнитный усилитель;
ЭМУ – электромашинный усилитель; ИД – исполнительный двигатель;
МП – механическая передача.
Задачей представленной системы является поддержание заданного угла поворота пера руля судна g. Система регулирования является классической системой управления по отклонению (частным случаем – задача: регулирование или стабилизация параметра).
Ошибка регулирования вычисляется по формуле:
(1)
Передаточные функции звеньев следящей системы:
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
где e – ошибка регулирования; ki – коэффициенты усиления,
Ti – постоянные времени; g – управляющий сигнал; U1– входной сигнал МУ; U2 – напряжение на обмотках управления электромашинного усилителя ЭМУ; ES – э.д.с. на продольных щетках ЭМУ; q1 – угол поворота вала ИД; q2 – угол поворота ротора сельсина приемника.
Числовые значения параметров: k1=0,5 B/c; k3=20;
k4=60 град/B×c; k5=0,005; T1=0,01 с; T2=0,01 с; T3=0,05 с; T4=0,52 с;
T5=0,01 c.
В представленной системе регулирования регулятором (звеном, свойства которого можно изменять, т.е. производить синтез системы регулирования) является магнитный усилитель, коэффициент усиления которого k2 является параметром, воздействующим на систему регулирования в целом.
Методика получения общей передаточной функции:
1. Задание символьных переменных: в командном окне MATLAB’a необходимо задать все символьные переменные, которые будут использованы в процессе получения общей передаточной функции системы регулирования. Такими переменными будут:
- коэффициенты усиления k1 … k5;
- постоянные времени T1 … T5;
- оператор Лапласа p.
Имена передаточных функций специально определять как символьные переменные не требуется.
syms k1 k2 k3 k4 k5 T1 T2 T3 T4 T5 p
По состоянию рабочей области можно убедиться в появлении введенных символьных переменных (рис.2)
2. Ввод передаточных функций: в командное окно MATLAB’a в линейной форме записи вводятся передаточные функции.
W1=k1;
W2=k2/(T1*p+1);
W3=k3/((T2*p+1)*(T3*p+1));
W4=k4/((T4*T5*p^2+T4*p+1)*p);
W5=k5;
Рисунок 2 – состояние рабочей области
Знак «;» после передаточной функции ставится для блокирования вывода на экран результата ввода команды.
Рекомендуется проверять корректность ввода сложных передаточных функций с помощью команды pretty.
Пример:
pretty(W4)
k4
--------------------------------
(T4 T5 p + T4 p + 1) p
3. Получение общей передаточной функции разомкнутой системы: необходимо получить общую передаточную функцию разомкнутой системы, без учета звеньев, стоящих в обратной связи.
По известной формуле:
Wraz=W1*W2*W3*W4*W5;
С помощью команды pretty можно проверить результат:
pretty(Wraz)
k1 k2 k3 k4 k5
--------------------------------------------------------------------------
(T1 p + 1) (T2 p + 1) (T3 p + 1) (T4 T5 p + T4 p + 1) p
4. Получение общей передаточной функции замкнутой системы: по известной формуле:
Wz=Wraz/(1+Wraz);
Находим простейшую форму (упрощаем) выражение:
Wz=Wraz/(1+Wraz);
Wz1=simplify(Wz);
pretty(Wz1)
3 3 3 3
k1 k2 k3 k4 k5/(T1 p T3 + T1 p T2 + T2 p T3 + T1 p T4 + p
6 4 4 4
+ T1 p T2 T3 T4 T5 + T1 p T4 T5 + T2 p T3 T4 + T2 p T4 T5
4 4 4 4 2
+ T3 p T4 T5 + T1 p T3 T4 + T1 p T2 T3 + T1 p T2 T4 + T1 p
2 2 2 3 3
+ T2 p + T3 p + T4 p + k1 k2 k3 k4 k5 + T2 p T4 + T3 p T4
3 5 5 5
+ T4 T5 p + T1 p T2 T3 T4 + T1 p T2 T4 T5 + T1 p T3 T4 T5
+ T2 p T3 T4 T5)
5. Определение статической ошибки в установившемся режиме и ее зависимости от параметров регулятора: для решения указанной задачи, необходимо подставить в передаточную функцию известные числовые значения коэффициентов передаточных функций элементов системы:
k1=0.5;k3=20;k4=60;k5=0.005;T1=0.01;T2=0.01;T3=0.05;T4=0.52;T5=0.01;
Wz2=subs(Wz1);
pretty(Wz2)
/ 427 3 13 6 941 4 59 2 13 5 \
3 k2 / |---------- p + p + ---------------- p + -------------- p + ------ p + 3 k2 + ------------- p |
\10000 500000000 1000000 100 1562500 /
Затем следует привести систему в установившееся состояние, то есть приравнять оператор Лапласа нулю:
p=0;
Wz3=subs(Wz2)
Результат:
Wz3 = 1
Таким образом, установившееся значение сигнала на выходе из системы регулирования, после завершения переходного процесса (реакции на единичный ступенчатый сигнал на входе) будет равно yуст = 1. А статическая ошибка определится из выражения:
Dст = ууст – узад = 1 – 1 = 0. (7)
Кроме того, в результирующее выражение (Wz3 = 1) не входит переменный параметр k2, которые тем не менее остался в общей передаточной функции после подстановки в нее известных численных значений.
Указанный факт свидетельствует о том, что статическая ошибка не зависит от параметров регулятора и система, таким образом, для принятых условий является астатической.
Контрольные вопросы.
1. Какой командой задаются символьные переменные?
2. Нужно ли специально задавать наименования передаточных функций как символьные переменные?
3. Какой командой можно проверить корректность ввода передаточной функции?
4. По какой формуле определяется передаточная функция замкнутой системы управления?
5. По какой формуле можно определить статическую ошибку системы управления?