Диалог о приложениях математики

Альфред Реньи

Архимед. Ваше Величество! В столь поздний час! Какая неожиданность! Чему я обязан высокой чести видеть в стенах моего скромного жилища царя Герона?

Г е р о н. Архимед, любезный друг мой! Желая отпраздновать победу, одержанную малым городом Сиракузами над могущественным Римом, устроил я сегодня вечером во дворце пир. Ты также был зван, но твое место осталось пустым. Почему же ты не пришел, ведь кому, как не тебе, обязаны мы нашей победой? Твои мощные зеркала из бронзы позволили поджечь десять из двенадцати тяжелых римских кораблей. Гонимые юго-западным ветром, они вышли из гавани, как пылающие факелы, но затонули, так и не успев уйти в открытое море. Я не мог заснуть, не поблагодарив тебя прежде за избавление нашего города от врага.

Архимед. Они могут вернуться, а с суши мы все еще окружены.

Г е р о н. Об этом после! Прежде я хотел бы одарить тебя лучшим из того, что есть в моей сокровищнице.

Архимед. Какое замечательное произведение искусства!

Г е р о н. Блюдо сделано из чистого золота. Ты можешь проверить это своим методом и не найдешь в нем даже следа серебра.

Архимед. Если не ошибаюсь, на барельефах изображены сцены из странствий Одиссея. А в центре блюда я вижу простодушных троянцев. Не помышляя о коварстве данайцев, тащат они гигантского деревянного коня в свою крепость. Я часто размышлял над тем, не прибегли ли они к блокам. Должно быть, деревянный конь был на колесах, ведь дорога в город шла круто в гору.

Г е р о н. Любезный друг, забудь хоть на миг о своих блоках! Вспомни, как я был удивлен, когда ты один при помощи тройного блока спустил на воду тяжело груженный корабль, который я хотел послать царю Птолемею. Взгляни-ка лучше на другие сцены, изображенные на подносе.

Архимед. Я вижу циклопа Полифема и волшебницу Цирцею, превратившую спутников Одиссея в свиней, а здесь Одиссей, привязанный к мачте корабля, слушает пение сирен. Как выразительно мастер изобразил лицо Одиссея! Кажется, будто и сам слышишь соблазнительное пение. Вот Одиссей встречает в преисподней тень Ахиллеса, а здесь пугается прекрасной Навсикеи и ее рабынь. Вот, наконец, сцена, где Одиссей, переодетый нищим старцем, врывается с натянутым луком на празднество и сводит счеты с женихами Пенелопы. Чудеснейшее произведение искусства! Благодарю тебя, государь, за щедрый, поистине царский подарок!

Г е р о н. Это блюдо — лучшее из того, что хранилось в моей сокровищнице, но оно твое по праву, Я выбрал его не только за красоту и бесценную стоимость. Была у меня еще одна причина подарить тебе именно его: то, что ты сегодня сделал для Сиракуз, можно сравнить лишь с хитроумием Одиссея. Вы оба олицетворяете собой торжество разума над грубой силой.

Архимед. Ты заставляешь старика краснеть от смущения, государь! Но разреши напомнить тебе, что война с Римом еще не окончена. Хочешь ли услышать мой совет?

Г е р о н. Как царь повелеваю, а как друг и родственник прошу, чтобы ты немедля поделился своими соображениями.

Архимед. Настал благоприятный момент для заключения мира с римлянами. Ни разу с тех пор, как началась война, обстановка не складывалась столь удачно для нас. Если до полуночи Марцелл не пришлет посла, то тебе до рассвета надлежит самому послать к нему гонца, с тем чтобы мир был заключён еще до наступления нового дня. Марцеллу не терпится побыстрее отвести войска, осаждающие Сиракузы, и обратить их против Ганнибала. Если он завтра заключит с тобой мир, то сможет сообщить в Рим не только дурную весть о гибели флота, но и донести об одержанной им дипломатической победе. Если же слух о сегодняшней битве дойдет до Рима, раньше, то римляне придут в ярость и тогда уже не удовлетворятся ничем, кроме полной победы. На форуме начнутся речи о том, что «нужно смыть позор». Впрочем, мысль о том, будто случившееся можно как-то переделать,— типично варварская!

Г е р о н. Ты проницателен. Молва о сегодняшней победе будет передаваться и через тысячелетия, даже если Сиракузам и суждено рано или поздно погибнуть от огня и меча. Ты совершенно верно оцениваешь сложившуюся обстановку. Парцелл уже прислал ко мне гонца с предложением на определенных условиях заключить мир и отвести свои войска. Но если бы ты знал его условия, то вряд ли стал бы советовать мне торопиться с заключением мира.

Архимед. Чего же хочет Марцелл?

Г е р о н. Прежде всего десять новых кораблей взамен утонувших. Кроме того, он требует снести все укрепления, кроме одного форта, в котором разместится римский гарнизон, ну и, конечно, много золота и серебра. Но это еще не все. Мы должны объявить войну Карфагену. Наконец, он требует моего сына Гелона, дочь Елену и тебя, мой друг, в качестве заложников! Взамен он обещает мне при соблюдении условий договора не причинять ущерба жителям города.

Архимед. Возможно, он не станет особо настаивать на соблюдении некоторых условий, но будет настаивать на выдаче меня.

Г е р о н. И ты так спокойно говоришь об этом? Клянусь всеми богами Олимпа, что, покуда жив, я не отдам врагу ни своих детей, ни тебя. Золота и и серебра мне не жалко — пусть берет. Больше всего в его условиях меня настораживает то, что, приняв их, мы оказываемся целиком в его власти. А кто поручится, что Марцелл станет соблюдать договор?

Архимед. Берегись, как бы до него не дошли твои сомнения! Римляне весьма щепетильны в вопросах чести. Возможно, выдачи твоих детей все же удастся избежать.

Герои. А что будет с тобой? Неужто ты готов принести такую жертву на благо своего города?

Архимед. Это просьба или всего лишь вопрос?

Г е р о н. Разумеется, вопрос и не более того. А хочешь знать, что я ответил Марцеллу?

Архимед. Как, ты уже послал ему ответ?

Г е р о н. Да. Я принял все условия, кроме одного: выдать тебя в качестве заложника. Правда, я оговорил, что отдам своих детей лишь в том случае, если Марцелл пришлет мне двух своих детей. Что же касается тебя, то я сослался на твой преклонный возраст, не позволяющий тебе жить в военном лагере. Зная, что ему не столько нужен ты, сколько твои познания, я обещал ему, что ты подробно опишешь все свои изобретения, имеющие отношение к военному делу.

Архимед. Этого я не сделаю никогда!

Г е р о н. Но почему? Если нам удастся заключить мир, то надобность в твоих изобретениях все равно отпадет. Почему бы тебе не описать их?

Архимед. Если у тебя хватит терпения выслушать меня, то я приведу свои доводы.

Г е р о н. Охотно выслушаю тебя. Все равно мне не спать, пока не придет ответ от Марцелла.

Архимед. Тогда можно не спешить: Марцеллу потребуется немало времени, чтобы составить ответ. Ведь он должен звучать, как удар бича!

F е р о н. Ты думаешь, он прервет переговоры?

Архимед. Уверен! Ты задел его честь, и этого он тебе не простит. Соглашение с Римом невозможно. Я всегда восхищался твоим дипломатическим искусством и особым даром разгадывать сокровеннейшие замыслы своих противников. К сожалению, на этот раз ты не использовал всех своих возможностей.

Г е р о н. Признаться, ты прав. Должно быть, я был опьянен не столько вином, сколько одержанной победой. Теперь же изменить что-либо уже не в моих силах. Но мне не терпится выслушать твои доводы.

Архимед. Если угодно, то я могу изложить их, хотя теперь твой вопрос имеет лишь теоретическое значение. Ты сравнил мои боевые машины с троянским конем. На мой взгляд, сравнение весьма удачно, но совсем в другом смысле, чем ты думаешь. Одиссею деревянный конь понадобился для того, чтобы вместе со своими спутниками проникнуть в осажденную Трою. Мне же мои боевые машины необходимы для того, чтобы внедрить в общественное сознание Эллады мысль о том, что математику, причем не только ее основы, но и высшие разделы, можно с успехом применять на практике. Признаюсь, что на этот шаг я решился лишь после долгих колебаний, поскольку мне ненавистны война и кровопролитие. Но война идет, и боевые машины — единственное, чем я могу привлечь внимание к своим идеям. Я перепробовал и множество других средств, но безуспешно. Вспомни хотя бы водоотливную машину, которую я изобрел несколько лет назад. Она позволяла откачивать воду из твоих копей, чтобы людям не приходилось работать, стоя по горло в воде. Ты не проявил. тогда ни малейшего интереса к моему изобретению. Надсмотрщик заявил мне тогда, что его ничуть не беспокоит, если рабы промочат себе ноги: не сахарные! А помнишь, как я предложил искусственно орошать поля при помощи водяной машины? Мне ответили, что рабский труд обойдется дешевле. А знаешь, что ответил мне царь Птолемей, когда я предложил ему приводить в движение мельницы силой пара? Он заявил, что мельницы, безотказно работавшие на его деда и отца, неплохо потрудятся и для него. Стоит ли приводить другие примеры? Я мог бы перечислить, по меньшей мере, с дюжину их. Мое стремление показать миру, как можно применять математику в мирных целях, не находило отклика. Но когда разразилась война, то сразу же вспомнили о моих рычагах, зубчатых колесах и блоках. В мирное время мои изобретения считали пустой забавой, достойной незрелого юнца, но отнюдь не философа. Даже ты, неизменно поддерживавший меня и помогавший мне в осуществлении моих замыслов, относишься к моим идеям не вполне серьезно. Ты хвастаешься моими машинами перед своими гостями, но и только. Когда же разразилась война и римский флот блокировал сиракузскую гавань, я в разговоре с тобой обронил замечание о том, что неприятельские суда можно разогнать, если при помощи метательной машины бросать в них каменные глыбы. Ты тотчас же обеими руками ухватился за мое предложение! Сказанного не вернешь, и мне пришлось приняться за постройку метательной машины. Успех превзошел все мои ожидания! Но стоило мне лишь ступить на этот путь, как конца ему не стало видно. Разумеется, меня не могло не радовать, что теперь никому и в голову не пришло бы потешаться - над моими изобретениями и что мне наконец предоставилась возможность показать всему миру, на что способна математика. Но с самого начала я не мог отделаться от смешанного чувства. Не так мне хоте­лось доказать «пользу» математики. Я видел, как машины убивали людей, и чувство вины не покидало меня. Терзаясь угрызениями совести, я поклялся богине Афине никогда не разглашать тайну моих боевых машин ни устно, ни письменно. Свою совесть я пытался успокоить следующими рассуждениями. Слух о том, что Архимед при помощи математики прогнал римлян от Сиракуз, разнесется по всему грекоязычному миру. Не забудут об этом и когда война, наконец, окончится. Тайну же моих боевых машин я унесу с собой в могилу.

Г е р о н. Действительно, слава о твоих боевых машинах разнеслась повсюду, где только говорят по-гречески. Одно за другим я получаю письма от царей, дарящих мне свою дружбу, в которых те осведомляются о твоих изобретениях.

Архимед. И что ты им отвечаешь?

Г е р о н. Отвечаю, что пока мы находимся в состоянии войны, твои изобретения охраняются строжайшей тайной.

Архимед. Мне удалось сохранить свои изобретения в тайне даже от тех, кто помогал мне воплотить замыслы в машинах. Каждый из моих помощников знал лишь малую толику всего. Я рад, что ты никогда не расспрашивал меня о боевых машинах: мне пришлось бы уклониться от ответа даже тебе.

Г е р о н. До сих пор я действительно никогда не расспрашивал тебя о твоих боевых машинах, а теперь хочу разузнать кое-что о них. Не бойся, я не хочу отнимать у тебя твою тайну. Мне надобно выяснить лишь кое-какие подробности об основных принципах их действия.

Архимед. Охотно отвечу, если для этого мне не придется нарушить клятву Афине.

Г е р о н. Я хочу расспросить тебя о приложениях математики, но прежде ответь мне на другой вопрос: почему ты придаешь столь большое значение признанию своих идей о применимости математики для нужд практики?

Архимед. Может быть, ты сочтешь меня наивным, но я надеялся, что мне удастся изменить ход истории. Меня заботят судьбы эллинского мира. Мне казалось, что если бы могли шире применять математику, изобретение, по существу, греческое (а я считаю математику наиболее значительным и, безусловно, самым крупным достижением эллинского духа), то, быть может, нам удалось бы спасти эллинский образ жизни. Теперь я вижу, что время для этого упущено. Римляне захватят не только Сиракузы, но и другие греческие города. Наше время подходит к концу.

Г е р о н. Я все-таки надеюсь, что наша эллинская культура не погибнет: римляне воспримут ее* Посмотри, как они повсюду и во всем пытаются подражать нам. Они копируют наши статуи, переводят творения нашей литературы, и, как видишь, Марцелла интересует твоя математика.

Архимед. Римляне не способны по-настоящему постичь математику. У них нет склонности к абстрактному мышлению.

Г е р о н. Они больше интересуются практическими приложениями математики.

Архимед. Абстрактная математика неотделима от прикладной. Тот, кто отвергает абстрактную математику, закрывает себе путь к ее практическим приложениям. Кто хочет с успехом применять математику на практике, тот должен обладать воображением.

Г е р о н. Ты говоришь парадоксами. До сих пор я полагал, что для практических приложений математики прежде всего необходим здравый смысл.

Архимед. Разумеется, чтобы воплотить замыс­лы, нужна практическая сметка. Но одного лишь здравого смысла недостаточно: подобно тому, как без рыбы нельзя сварить уху, ничего не получится без удачной идеи. Г е р о н. Вот теперь настал черед задать тебе главный вопрос. В чем секрет твоего успеха? В чем секрет новой науки, открытой тобой (назовем ее при­кладной математикой), и чем она отличается от той математики (назовем ее чистой математикой), кото­рой обучают в школах? Архимед. Государь, как мне не жаль, но дол­жен разочаровать тебя: обе математики по существу представляют собой одно и то же. Нет двух мате­матик: существует лишь та математика, которая тебе известна. Тебя учили ей в дни юности, насколько мне известно, небезуспешно. Ее-то и можно приме­нять на практике. Прикладной математики в том смысле, как ты ее понимаешь, то есть науки, обособ­ленной от чистой математики и независимой от нее, не существует. Свою «тайну» мне удается сохранить лишь потому, что, строго говоря, никакой тайны нет. Она очевидна, и в этом ее лучшая маскировка. Она подобна золотой монете, валяющейся в уличной пыли. Поднять монету может каждый, кто за ней наклонится. Тот же, кто станет искать монету в тай­никах, не сможет найти ее никогда. Г е р о н. Ты утверждаешь, что твои необыкновен­ные боевые машины построены при помощи обыкно­венной математики, известной каждому образованно­му человеку? Архимед. Ты недалек от истины. Г е р о н. Чтобы мне было понятнее, приведи ка­кой-нибудь наглядный пример. Архимед. Возьмем хотя бы зеркала, сослужив­шие нам сегодня такую хорошую службу. Я лишь придумал, как использовать одно известное свойство параболы: если любую точку Р параболы соединить прямой с фокусом F и провести через точку Р пря­мую, параллельную оси параболы, то обе прямые образуют один и тот же угол а с касательной к параболе в точке Р. Иначе говоря, параболическое зеркало отражает падающие на него параллельные Г ер он. Ты полагаешь, что для практических приложений надобность в новых математических ре­зультатах отпадает? Если я правильно тебя понял, ты считаешь, что достаточно, сообразуясь с насущ­ными потребностями, выбрать из хорошо известных теорем наиболее подходящие и, так сказать, «при­способить» их к делу. Архимед. Нет, государь, все обстоит далеко не так просто. Нередко бывает, что нужная теорема неизвестна, поэтому ее еще требуется открыть и доказать. Но даже если необходимости в этом не возни­кает, то найти для данного практического приложе­ния «наиболее подходящую», как ты изволил выра­зиться, теорему (я предпочитаю говорить о выборе математической модели) довольно трудно: ведь речь идет не о том, чтобы к одной перчатке подобрать под пару другую. Начать хотя бы с того, что для од­ной и той же ситуации, встретившейся на практике, можно построить бесчисленное множество математи­ческих моделей, из которых нужно отобрать наиболее подходящую. Она должна как можно точнее соответ­ствовать практической ситуации (хотя никогда не мо­жет быть полностью адекватной ей) и не быть чрез­мерно сложной, чтобы ее можно было рассматривать при помощи обычных математических методов. Точ­ное соответствие и простота — требования противоре­чивые. Добиться равновесия между ними в общем случае весьма сложно, хотя и необычайно важно. С одной стороны, требуется, чтобы приближение было хорошим со всех точек зрения, существенных для решения выбранной практической задачи. С другой стороны, необходимо абстрагироваться от всего второстепенного. Математическая модель не должна быть во всех отношениях похожей на реальность — впрочем, добиться полного сходства невозможно. До­статочно, если модель правильно передает те стороны реальности, которые существенны для решения вы­бранной нами задачи. Этим же объясняется, почему одну и ту же математическую модель можно исполь­зовать для описания совершенно различных реальных ситуаций. Например, свойства параболы я использо­вал при постройке катапульт, поскольку траекторию падающего камня достаточно точно можно описать параболой. Свойства параболы позволили мне вычис­лить и глубину осадки судна в зависимости от веса взятого на борт груза. Разумеется, поперечное сечение судна по форме отлично от параболы, но более точная математическая модель была бы слишком сложной и, следовательно, бесполезной. Впрочем, рас­хождение между результатами моих вычислений и промерами было незначительным. В частности, мне удалось выяснить, при каких условиях судно, раска­чиваемое волнами и ветром, всякий раз выпрямля­лось: вся хитрость в том, чтобы центр тяжести судна был расположен как можно ниже. Во многих случаях при исследовании сложной ситуации, встретившейся на практике, весьма полезна даже математическая модель, позволяющая получить хотя бы качественно правильный результат: такой результат иной раз не­сравненно важнее, чем точное значение интересующей нас величины. Из собственного опыта мне изве­стно, что поиск подходящей математической модели часто приводит к более глубокому пониманию ис­следуемой ситуации, поскольку вынуждает нас логи­чески продумать все возможности, ясно определить используемые понятия, учесть все наиболее существенное и отобрать то, что имеет решающее значение. Если выбранная нами математическая модель приво­дит к результатам, противоречащим фактам, то это означает, что при создании модели мы упустили из виду какое-то важное обстоятельство. В этом случае модель следует видоизменить так, чтобы учесть то, чем мы пренебрегли сначала. Модели, не слишком подходящие для описания реальной ситуации, неред­ко приносят немалую пользу тем, что позволяют глубже понять происходящее. Г е р о н. Применение математики в делах прак­тических напоминает мне превратности войны: иной раз поражение следует ценить выше, чем одержан­ную победу, поскольку оно позволяет нам понять, что следует изменить в нашем вооружении или в избран­ной нами стратегии. Архимед. Я вижу, ты ухватил самую суть ска­занного. Г е р о н. Расскажи мне еще что-нибудь о своих зеркалах Архимед. Главное ты уже знаешь. После того как я додумался использовать свойство параболы собирать в фокусе лучи света, параллельные ее оси, оставалось еще решить множество практических за­дач. Прежде всего возник вопрос, как отшлифовать вогнутое металлическое зеркало, имеющее форму па­раболоида вращения, но мне не хотелось бы говорить об этом. Для изготовления зеркала нужно было по­добрать подходящий материал, но с твоего соизволе­ния я умолчу и об этом. Г е р о н. Будь по-твоему! Я не хочу выведывать твои тайны. Но из сказанного тобой следует, что одного лишь свойства параболы фокусировать сол­нечные лучи, параллельные ее оси, для создания зер­кала мало: необходимо еще основательно разбираться в свойствах металлов и знать толк в их обработке. Как мне кажется, это означает, что вздумай кто-нибудь применять математику на практике, то его по­знаний для этого может оказаться недостаточно, если они лежат целиком в области математики. Не нахо­дится ли в таком случае всякий, кто пожелает при­менить математику для решения какой-нибудь прак­тической задачи, в положении человека, который хо­тел бы скакать верхом на двух конях сразу? Архимед. Позволю себе лишь слегка изменить твое сравнение. Тот, кто хочет применить математику, находится в положении человека, впрягающего в свою колесницу двух коней. Задача эта не столь труд­на. Нужно лишь знать толк и в колесницах, и в лоша­дях, а такими познаниями обладает всякий воз­ничий. Г е р о н. Я окончательно перестал понимать что-либо! Применение математики для решения чисто практических задач для меня всегда было неким та­инством. Ты же объяснил мне, что ничего сложного здесь нет. Но стоило мне поверить, что это действи­тельно очень просто, как ты заявляешь, что все го­раздо сложнее, чем я думаю. Архимед. В принципе все очевидно и просто, но если вдаваться во все подробности, то картина значи­тельно усложняется. Г е р о н. Я не очень ясно представляю себе, что ты называешь математической моделью. Архимед. Помнишь ли ты прибор, который я построил несколько лет назад, чтобы воспроизвести движение Солнца, Луны и пяти планет? Этот прибор позволял показывать, как происходят солнечные зат­мения. Г е р о н. Еще бы! Он и по сей день стоит в моем дворце, и я имею обыкновение демонстрировать его своим гостям. Они созерцают твой прибор, разинув рты от изумления. Быть может, этот прибор и есть математическая модель Вселенной? Архимед. Нет, я бы назвал его физической мо­делью. Математическая модель невидима, она суще­ствует лишь в нашем сознании, и запечатлеть ее можно лишь в формулах. Математическая модель Все­ленной — это то общее, что имеют между собой дей­ствительно существующая Вселенная и построенная мной ее физическая модель. В моей физической моде­ли каждая планета представлена шаром, из которых меньший размером с апельсин. В математической мо­дели планетам соответствуют точки, не имеющие про­тяженности в пространстве. Г е р о н. Я, кажется, начинаю понимать, что ты называешь математической моделью. Но вернемся к сравнению с лошадьми. Одно дело запрягать лошадей и править ими, и совсем другое — заниматься разве­дением лошадей. Не так ли и с математикой: одно дело, если человек занимается приложениями мате­матики, и совсем другое, если он способствует разви­тию самой математики, придумывая новые теоремы и отыскивая их доказательства? Архимед. В том, что касается лошадей,- ты це­ликом и полностью прав. Все же не могу не заметить, что тот, кто вырастил коня, знает все его особенности и поэтому сумеет запрячь его и управлять им лучше, чем кто-нибудь1 другой. С математикой же, как я уже говорил, дело обстоит так: кто хочет с успехом при­менять ее, должен основательно и досконально разби­раться в математике. Тот же, кто, применяя матема­тику, не просто повторяет то, что делали другие в более или менее сходных обстоятельствах, а стре­мится изыскивать новые, не использованные ранее ни­кем возможности для приложений математики, дол­жен сам быть искусным математиком. Решение при теореме я пришел, опираясь на соображения, заим­ствованные из механики, а затем доказал при помощи обычных строгих методов геометрии.

Г е р о н. А для чего тебе понадобилось доказывать теорему традиционными методами геометрии, если ты открыл ее, исходя из механических сообра­жений?

Архимед. Прежде, когда я еще только присту­пил к разработке своего метода, мне случалось полу­чать и такие результаты, которые при проверке ока­зывались неверными. Размышляя над тем, в каких случаях мой метод приводит к ошибочным заключе­ниям, я понял, как следует его усовершенствовать, чтобы он всегда давал правильные результаты. Но и поныне мне не удалось доказать, что всякий полу­чаемый этим способом. результат правилен. Может быть, когда-нибудь мне или кому-нибудь другому удастся доказать это, но пока этого не произошло, я не могу поручиться за правильность результатов и вынужден подвергать каждый из них проверке, дока­зывая его традиционными, не оставляющими никаких сомнений методами.

Г е р о н. Это я понял, но мне неясно, для чего в приложениях вообще нужны строгие доказательства. Ведь ты же говорил, что любая математическая мо­дель не более чем грубое приближение к действи­тельности. Если формула верна, то, применив ее, мы получим результат, согласующийся с реальными фак­тами. Что же касается абсолютной точности, то она, как ты сам подчеркивал, недостижима.

Архимед. Ты заблуждаешься, государь. Имен­но потому, что математическая модель лишь прибли­женно описывает действительность и никогда не пере­дает полностью всех деталей, мы должны неусыпно следить за тем, чтобы необдуманным или небрежным обращением с математической моделью не увеличить расхождение между нею и реальностью. Именно по­этому в приложениях доказательства теорем надле­жит проводить с не меньшей тщательностью, чем в чистой математике. Замечу, кстати, что широко распространённое мнение о том, будто использование при­ближений означает отказ от математической стро­гости, ошибочно. И для приближений существуют опереться, не столь трудно: я имею в виду аксиомы и логику. Именно поэтому я считаю, что и приложения математики немыслимы без строгих доказательств и безупречной логики. Применять математику означает приводить мир в движение, опираясь на незыблемую точку опору — математику!

Г е р о н. Ты все время говоришь о приложениях математики, а в качестве примеров ссылаешься на приложения геометрии. Мне кажется, теперь я знаю, как применять геометрию на практике. Работа любой машины зависит от формы и размеров ее деталей. Каменная глыба, брошенная тобой из катапульты, описывает кривую, которую, по твоим словам, прибли­женно можно считать параболой. Эти примеры пока­зывают, какая связь может существовать между геометрией и реальным миром. А как обстоит дело с другими разделами математики, например с теорией чисел? Трудно представить себе, чтобы она могла иметь практическое значение. Не пойми меня пре­вратно: я имею в виду не элементы арифметики, ис­пользуемые в любых расчетах, а такие более тонкие понятия, как делимость, простые числа, наименьшее общее кратное и так далее.

Архимед. Пусть, например, два зубчатых коле­са с различным числом зубцов находятся в зацепле­нии и требуется узнать, как скоро вся система воз­вратится в исходное положение, если мы вздумаем вращать колеса. Чтобы решить эту задачу, нам не­пременно понадобится понятие наименьшего общего кратного. Достаточно ли этого простого примера или мне привести другие?

Г е р о н. Вполне достаточно.

Архимед. Все же я хотел бы в этой связи рас­сказать тебе еще кое о чем. Недавно я получил пись­мо от своего доброго друга Эратосфена из Кирены, в котором тот сообщает о найденном им простом, но необычайно остроумном методе нахождения простых чисел, который сам Эратосфен назвал «методом ре­шета». Размышляя над письмом, я придумал машину, которая бы действовала, как решето Эратосфена. Главным узлом в этой машине должна была стать ось с насаженными на ней зубчатыми колесами. Чтобы определить, просто ли любое не слишком большое число п, достаточно было бы п раз повер­нуть ось за рукоять и заглянуть в специальное отвер­стие, которое открывалось бы в том и только в том случае, когда п — простое число. Если же п — состав­ное число, то отверстие оставалось бы закрытым. Так моя машина позволяла бы без труда определять, просто ли интересующее нас число или нет.

Г е р о н. Если война окончится, то ты сможешь построить свою машину! Вот удивятся мои гости, уви­дев такое чудо.

Архимед. Если буду жив, то непременно по­строю тебе такую машину. Она будет представлять особый интерес, поскольку покажет, что машины мо­гут решать математические задачи. Может быть, прослышав о ней, математики поймут, сколь полезно и интересно заниматься машинами даже с точки зре­ния чистой математики.

Г е р о н. Мне припомнился один анекдот об Евклиде, который тебе, должно быть, известен. Рас­сказывают, будто один из юношей, изучавший под ру­ководством Евклида геометрию, спросил у него: «Какая мне польза от того, что я выучу все это?» В ответ Евклид кликнул своего раба и приказал, ука­зав на юношу: «Дай ему один обол», ибо он жаждет извлекать пользу из того, что изучает». Если верить этой истории, то Евклид, должно быть, считал недо­стойной математика заботу о практических приложе­ниях своей науки.

Архимед. Мне приходилось слышать этот анекдот, но тебя, по всей видимости, удивит, если я ска­жу, что полностью разделяю мнение Евклида. На его месте и я ответил бы что-нибудь в том же духе.

Г е р о н. Не скрою, тебе опять удалось до край­ности удивить меня. То ты с восторгом повествуешь о практических приложениях математики, то вдруг объявляешь себя заодно с теми, кто полагает, будто радость познания — единственная польза, к которой надлежит стремиться при изучении математики.

Архимед. Думаю, что, подобно большинству людей, ты неверно понял, в чем соль анекдота об Евклиде. Ведь речь в нем шла не о том, будто Евклид не интересовался практическими приложе­ниями математики или считал это занятие недостой­ным истинного ученого. Думать так просто нелепо! Евклид, как тебе прекрасно известно, написал книгу по астрономии, другую книгу посвятил оптике, ему же принадлежит сочинение под названием «Катопт­рика», которое я использовал, работая над зажига­тельными зеркалами. Евклид много занимался меха­никой. Я считаю, что соль анекдота совсем в другом. Евклид, как мне кажется, хотел подчеркнуть одно весьма примечательное обстоятельство: изучение ма­тематики приносит истинную пользу только тому, кто занимается математикой не ради выгоды, а из любви к самой математике. Этим математика напоминает твою дочь Елену, которая подозревает каждого жени­ха в том, что он не питает к ней искренних чувств и просит ее руки лишь из желания стать зятем царя. Ей же нужен муж, который полюбил бы ее ради нее самой, за ее красоту, обаяние и блестящее остроумие, а не за богатство и власть, уготованные тому, кто же­нится на царской дочери. Математика точно так же дозволяет заглянуть в свои сокровенные глубины лишь тому, кто преисполнен восторга ее красотой и ищет близости с ней, движимый лишь любовью к зна­нию. Если же на каждом шагу спрашивать «Какая от этого польза?», то в математике удастся достичь не­многого. Я уже говорил тебе, что римлянам не дано глубоко постичь математику. Теперь ты видишь поче­му: к изучению математики они подходят слишком практично.

Г е р о н. Мне кажется, что и нам есть чему по­учиться у римлян. Тогда бы мы могли успешнее сра­жаться с ними!

Архимед. Я не согласен с тобой. Если бы мы вздумали во имя победы отказаться от идей, которые отстаиваем, и стали бы во всем подражать противни­ку, то проиграли бы еще до исхода сражения. Даже если бы нам удалось выиграть войну таким способом, то это не имело бы никакого смысла: такая победа хуже поражения.

Г е р о н. Но оставим войну и обратимся снова к математике. Скажи мне: как ты строишь математиче­скую модель?

Архимед. На столь общий вопрос трудно отве­тить. Может быть, полезно обратиться к сравнению: математическая модель возникающей на практике ситуации — это не что иное, как тень, отбрасываемая реальным миром на экран нашего разума.

Г е р о н. Похоже, что твоя философия — полная противоположность философии Платона. Тот утверж­дает, что реальные предметы не более как тени идей, а ты, насколько я могу судить, считаешь наши идеи тенями реального мира.

Архимед. Обе точки зрения, моя и Платона, не столь далеки, как кажется на первый взгляд. Плато­ну не давала покоя взаимосвязь между математиче­скими понятиями и действительностью. Объяснение этой загадочной взаимосвязи он считал основной за­дачей философии. Вплоть до этого пункта я с ним полностью согласен. Но я решительно расхожусь с ним в ответах на поставленный им вопрос, хотя не могу не признать, что он был первым, кто поставил столь важный вопрос и рассмотрел логически воз­можные ответы. Впрочем, мне кажется, что нам пора оставить философию и вернуться на землю: я слышу, как кто-то стучится в дверь. Пойду, открою.

Г е р о н. Позволь мне отворить дверь. Я думаю, что это мой гонец вернулся с ответом от Марцслла. Да, вот оно, послание от Марцелла.

Архимед. И что он пишет?

Г е р о н. Прочти сам.

Архимед. «Марцелл шлет свой привет царю Герону и извещает, что овладеет Сиракузами до на­ступления новолуния. Это убедит царя Герона в том, что римлянин держит свое слово».

Г е р о н. Что ты на это скажешь?

Архимед. Что по-гречески он изъясняется не­дурно. А если говорить о содержании, то Марцелл от­ветил тебе так, как я и ожидал.

Г е р о н. Да, твое предсказание оказалось верным, словно ты нашел его своим методом.

Архимед. Теперь мы, по крайней мере, знаем, чего следует ожидать.

Г е р о н. Я пойду. Мне нужно выспаться. На­завтра следует подготовиться к новому штурму. Бла­годарю за интересную беседу.

Архимед. В последнее время мне редко доводи лось беседовать о математике. Мне приятно, что ты дал мне прекрасный повод для этого. Благодарю тебя еще раз за твой бесценный дар!

Г е р о н. Рад, что блюдо тебе понравилось. Спо­койной ночи, мой друг. Думаю, что и тебе не мешает отдохнуть.

Архимед. Спокойной ночи, государь! Мне не до сна: я тороплюсь закончить письмо, в котором сооб­щаю своему другу Досифею из Пелузия о своих но­вых результатах. Быть может, теперь, когда римский флот потерпел сильный урон, каким-нибудь судам удастся завтра утром выйти из сиракузской гавани прежде, чем римляне снова установят блокаду. Мне не хотелось бы упускать эту возможность: другого случая может не представиться.

Вопросы:

1. Что такое математическая модель?

2. Почему нужно быть мечтателем из мечтателей, чтобы хорошо применять математику на практике? относиться ли это только к математике?

3. Как изучение приложений математики может помочь в ее развитии?

4. Для чего в прикладных исследованиях проводить точные доказательства?

5. Почему если спрашивать себя постоянно: какая от этого польза, то многого не достигнешь????