К контрольной работе № 3

Пример 1. Определить на отрезке [ – 3; 3/2] наибольшее и наименьшее значения функции y = x ³ – 3 x+ 3.

Решение. Если искомое значение достигается внутри отрезка, то это значение будет одним из экстремумов. Но может случиться, что наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка.

1) Находим максимумы и минимумы функции на отрезке [ – 3;3/2]. Из условия = 0 находим критические точки.

= 3 x² – 3 =0; x₁ = 1; x₂ = – 1 .

Проверяем достаточное условие = 6 х, тогда (1)=6 >0. Следовтельно, в точке х= 1 имеет место минимум: у (1) =1.

Далее, (– 1)= – 6< 0. Следовательно, в точке х= – 1 имеет место максимум у (– 1) = 5.

2) Определяем значения функции на концах отрезка:

у (– 3)= – 15, у (3/2) = 15/8. Таким образом, наибольшее значение рассматриваемой функции на отрезке [ – 3;3/2] есть у (– 1) = 5, а наименьшее значение – у (– 3) = – 15.

Пример 2. Найти высоту прямого конуса с наименьшим объемом, описанного около шара данного радиуса R.

Решение. Найдем зависимость объема конуса от его высоты H. Проведем сечение плоскостью, проходящей через высоту конуса BК (Рис. 1).

V= r ² H.

Здесь r = AК – радиус основания конуса. Пусть ABК = . OC AB как радиус, проведенный в точку касания.

Из АВК r=H tg , V= H ³ tg² . Найдем tg² .

OBC: sin = = , cos² =1 – . tg² = ,

V= .

Найдем область определения получнной функции. Так как из геометрического смысла V> 0, то Н >2 R, то есть функция опрелелена на интервале (2R; ). Следовательно, функция принимает наименьшее значение во внутренних точках минимума интервала.

Найдем производную

= .

=0 при H= 0, H= 4 R. Следовательно, при этих значениях Н функция V может иметь экстремум. Найдем вторую производную

= .

T.к. H >2 R, >0 и при H= 4 R объем конуса будет наименьшим.

Пример 3.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра

Решение. Если кривая задана уравнением у = f (х), то

где α – угол, образованный с положительным направлением оси ОX касательной к кривой в точке с абсциссой .

Уравнение касательной к кривой у = f (х) в точке имеет вид

.

Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания.

Уравнение нормали имеет вид

.

Кривая в примере задана параметрически. Найдем ее производную .

При . Найдем значения ., , соответствующие . Получим =0, =0.

Уравнение касательной у=х, уравнение нормали у= −х.

Пример 4. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (х) и, используя результаты исследования, построить ее график

y = x³ / 2 (x+ 1)²

Решение. Полное исследование функций будем проводить, придерживаясь плана:

1) найти область определения функции;

2) найти точки разрыва;

3) отметить простейшие свойства (четность, периодичность, пересечение с осями);

4) асимптоты (вертикальные, наклонные);

5) критические точки первого рода (из условия (x)=0 или (x)`- не существует);

6) критические точки второго рода (из условия (x)=0 или (x) не существует);

7) интервалы возрастания и убывания;

8) экстремумы;

9) интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

На основании проведенного исследования строится график функции.

1. Найдем область определения функции.

Поскольку f(x) представляет собой дробь, знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, х+ 1=0; х = − 1. Таким образом,

D (y) = (− .

2. Определяем точки пересечения графика функции с координатными осями. Единственной такой точкой будет точка О (0,0).

3. Исследуем функцию на четность или нечетность

Очевидно, что у(−х) ¹ у (х) и у(−х) ¹ −у(х), поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. Рассмотрим периодичность функции. Функция не является периодической.

4. Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот.

а) Вертикальные асимптоты.

Вертикальную асимптоту можно искать лишь в виде х = - 1. Для доказательства, что эта вертикальная прямая будет асимптотой вычислим пределы справа и слева при от функции f(x):

= − ; = − .

Поскольку среди найденных пределов получились бесконечности, то х= − 1 действительно будет вертикальной асимптотой.

б) Наклонные асимптоты.

Наклонные асимптоты будем искать в виде прямых линий с уравнениями у = kх+ в при .

k = 1/2;

Таким образом, прямая с уравнением у=х/2 − 1 является асимптотой при . Те же самые значения пределов для k и b получим и при , поэтому найденная прямая является асимптотой и при .

5. Найдем интервалы возрастания, убывания функции, точки экстремума. Для этого найдем производную функции .

= .

Стационарными точками являются х = 0, х = − 3, при которых = 0. Других критических точек, отличных от стационарных, у функции нет. При > 0 функция возрастает, при < 0 убывает.

6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба. Для этого найдем вторую производную

.

Точкой, где может менять знак, является точка х = 0, следовательно, х = 0 является точкой перегиба. Если < 0, функция выпукла, при > 0 - вогнута.

7. Результаты исследования знаков производных и соответствующего поведения функции на интервалах оформляем в виде таблицы.

 

x	()	− 3	(−3,−1)	−1	(−1,0)		(0,∞)
	+		−	Не сущ.	+		+
	−		−	Не сущ.	−		+
у	Возр., вып.	Мах у =	Убыв., вып.	Не сущ.	Возр., вып.	Точка перег.	Возр., вогн.

 

8. Строим график функции, нанося предварительно асимптоты, точки пересечения графика с координатными осями, точки экстремума и перегиба графика и соединяя их плавной кривой (рис. 2).

 

 

Пример 5 Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (х) и, используя результаты исследования, построить ее график

1. Найдем область определения функции. Из областиопределения логарифма следует

.

Таким образом, D (y) = (− .

2. Определяем точки пересечения графика функции с координатными осями. Так как х = 0 не входит в обдасть определения функции, то точек пересечения с осью ОY нет. Найдем точку пересечения с осью ОX:

Таким образом () – точка пересечения с осью ОX.

3. Исследуем функцию на четность или нечетность

Очевидно, что у (−х) ¹ у (х)и у (−х) ¹ −у (х), поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. Рассмотрим периодичность функции. Функция не является периодической.

4. Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот.

а) Вертикальные асимптоты.

Вертикальные асимптоты можно искать лишь в виде х = - 3 и х= 0. Для доказательства, что эти вертикальные прямые будут асимптотами вычислим односторонние пределы при от функции f(x):

Поскольку среди найденных пределов получились бесконечности действительно будут вертикальными асимптотами.

б) Наклонные асимптоты.

Наклонные асимптоты будем искать в виде прямых линий с уравнениями у = kх+ в при .

k =

Так как k= 0, то наклонных асимптот нет, прямая у = −1 является горизонтальной асимптотой.

5. Найдем интервалы возрастания, убывания функции, точки экстремума. Для этого найдем производную функции .

=

0 при любом х из области определения функции; не существует при х = - 3 и х= 0. Эти точки не входят в область определения функции0. При > 0 функция возрастает, при < 0 убывает.

6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба. Для этого найдем вторую производную

.

Точкой, где может менять знак, является точка х =−3/2, которая не входит в область определения функции, следовательно, точек перегиба нет. Если < 0, функция выпукла, при > 0 - вогнута.

7. Результаты исследования знаков производных и соответствующего поведения функции на интервалах оформляем в виде таблицы.

 

x	()	(0,∞)
	−	−
	−	+
у	Убывает, выпуклая.	Убывает, вогнутая.

 

8. Строим график функции, нанося предварительно асимптоты, точки пересечения графика с координатными осями, точки экстремума и перегиба графика и соединяя их плавной кривой (рис. 3).

 

 

 

ПРИМЕРЫРЕШЕНИЯ ЗАДАЧ