Расчет сложных электрических цепей синусоидального тока
Требуется определить токи в ветвях для заданной цепи(рис.1). Проверить правильность вычислений, балансом мощностей.
Исходные данные
| Шифр 1-32 | Z1 | Z2 | Z3 | Z4 | Z5 | Z6 | Z7 | Z8 |
| 1-j5 | 9+j2 | 6+j3 | 9+j6 | 6-j8 | 4-j8 | 3-j4 | 2-j4 | |
| 
| 
| ||||||
| 10-j10 | 15-j16 | 7+j12 |
Расчетная схема
I. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа
В общем случае цепь может иметь n узлов и m ветвей. В такой цепи будет m неизвестных токов (по числу ветвей). Рассматриваемый метод позволяет определить неизвестные токи путем решения системы m независимых уравнений, составленных по законам Кирхгофа.
Искомые токи находят в виде комплексов их действующих значений.
1.1 Представляем искомые токи в виде неизвестных:
1.2 Произвольно задаем направления токов в ветвях цепи.
1.3 Составляем n-1 уравнений по первому закону Кирхгофа, где n - количество узлов в цепи.
Схема имеет 5 узлов, поэтому нужно составить 5-1=4 независимых уравнения:
для узла "a": 
для узла "b": 
для узла "e": 
для узла "d": 
1.4 Произвольно задаем направления обхода независимых контуров (либо по часовой, либо против).
1.5 Составляем m-(n-1) уравнений по второму закону Кирхгофа, где m - число искомых величин (токов). Получаем: 8-(5-1)=4 уравнения:
для контура I: 
для контура II: 
для контура III: 
для контура IV: 
1.6 Подставляем в составленные уравнения исходные данные. Получаем систему уравнений:
1.7 Раскрываем скобки:
1.8 Разбиваем каждое уравнение на два, в одном из которых будут находиться действительные значения, в другом - мнимые.
Уравнения, содержащие мнимые числа можно преобразовать, разделив, левые и правые части на j.
С учетом выше изложенного наша система уравнений будет выглядеть следующим образом:
1.9 Полученную в результате преобразований систему уравнений представляем в матричной форме, где номер строки матрицы соответствует номеру уравнения, а номер столбца - индексу неизвестной:
| X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | X7 | X8 | X9 | X10 | X11 | X12 | X13 | X14 | X15 | X16 | С.ч. | |
| -1 | -1 | -1 | |||||||||||||||
| -1 | -1 | -1 | |||||||||||||||
| -1 | -1 | ||||||||||||||||
| -1 | -1 | ||||||||||||||||
| -1 | |||||||||||||||||
| -1 | |||||||||||||||||
| -1 | -1 | ||||||||||||||||
| -1 | -1 | ||||||||||||||||
| -9 | -6 | ||||||||||||||||
| -5 | -2 | -9 | |||||||||||||||
| -2 | -6 | -4 | -8 | -15 | |||||||||||||
| -3 | -6 | -4 | |||||||||||||||
| -9 | |||||||||||||||||
| -6 | -9 | -8 | -4 | -22 | |||||||||||||
| -6 | -8 | ||||||||||||||||
| -6 | -8 | -4 | -6 |
Решение системы уравнений выполняется на ЭВМ. В результате расчета на экране монитора появляются значения действительных (нечетные корни) и мнимых (четные корни) значений комплексов тока для алгебраической формы записи и значений модуля (I) и фазы (
) для показательной формы записи.
1.10 По полученным результатам записываем значения токов в алгебраической и показательной формах, округляя значения до сотых долей:
| Корни не четные | Корни четные |
| X(1) = 0,5426 | X(2) = -0,1950 |
| X(3) = -1,1022 | X(4) = 0,6020 |
| X(5) = 0,5596 | X(6) = -0,4070 |
| X(7) = -0,5085 | X(8) = 1,0191 |
| X(9) = 0,4435 | X(10) = -0,9497 |
| X(11) = 1,1672 | X(12) = -0,6714 |
| X(13) = 0,6076 | X(14) = -0,2643 |
| X(15) = 1,0510 | X(16) = -1,2141 |
| Модули | Фазы |
| 1й = 0,58 | 1я =-19,77 |
| 2й = 1,26 | 2я =151,36 |
| 3й = 0,69 | 3я =-36,03 |
| 4й = 1,14 | 4я =116,52 |
| 5й = 1,05 | 5я =-64,97 |
| 6й = 1,35 | 6я =-29,91 |
| 7й = 0,66 | 7я =-23,51 |
| 8й = 1,61 | 8я =-49,12 |
Истинное направление токов 
противоположно выбранному. Это отмечено на схеме(рис. 2 направление указано пунктиром). В результате расчетные токи будут выглядеть следующим образом:
II. Метод контурных токов
Рассмотренный выше метод непосредственного применения законов Кирхгофа относительно прост, универсален, однако, зачастую он приводит к системе уравнений высокого порядка. Чтобы уменьшить число одновременно решаемых уравнений, применяют метод контурных токов. Это широко распространенный метод расчета сложных электрических цепей с несколькими контурами и несколькими источниками электрической энергии. В основе метода лежат законы Кирхгофа и два предположения:
1) в каждом контуре протекают независимые друг от друга расчетные токи, называемые контурными;
2) ток каждой ветви равен алгебраической сумме контурных токов, замыкающихся через эту ветвь.
На схеме (рис. 3.) это токи 
Контурные токи можно определить из уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для независимых контуров схемы.
2.1 Произвольно задаем направления контурных токов. Это направление принимается одинаковым для всех контуров.
2.2 Обходя контуры, по направлению контурных токов составляем уравнения по второму закону Кирхгофа.
Примечание: необходимо помнить, что падения напряжений в смежных ветвях создается токами соседних контуров, и является их алгебраической суммой.
2.3 Представляем искомые контурные токи в виде неизвестных:
2.4 Подставляем исходные данные и введенные обозначения в полученные уравнения:
2.5 Упростим полученные выражения:
2.6. Раскроем скобки:
2.7 Аналогично предыдущему методу разбиваем каждое уравнение на два:
2.8 Представляем систему в матричной форме:
| Y1 | Y2 | Y3 | Y4 | Y5 | Y6 | Y7 | Y8 | Св.чл. | |
| -3 | -9 | -9 | |||||||
| -2 | -9 | -6 | -9 | ||||||
| -9 | -4 | -8 | -15 | ||||||
| -2 | -9 | -3 | -4 | ||||||
| -9 | -6 | -8 | |||||||
| -6 | -9 | -6 | -6 | -22 | |||||
| -4 | -8 | -6 | -8 | ||||||
| -4 | -6 | -20 | -6 |
2.10 Записываем значения контурных токов в алгебраической и показательной формах:
| Корни не четные | Корни четные |
| Y(1) = 0,5426 | Y(2) = -0,1950 |
| Y(3) = -0,5596 | Y(4) = 0,4070 |
| Y(5) = 1,0510 | Y(6) = -1,2141 |
| Y(7) = 0,6076 | Y(8) = -0,2643 |
| Модули | Фазы |
| 1й = 0,58 | 1я =-19,77 |
| 2й = 0,69 | 2я =143,97 |
| 3й = 1,61 | 3я =-49,12 |
| 4й = 0,66 | 4я =-23,51 |
Направление тока 
поменяем на противоположное и запишем:
Определяя токи в ветвях, следует учесть второе предположение, исходя из которого получаем:
Токи смежных ветвей равны разности соответствующих контурных токов:
2.11 Произведем расчет:
III. Баланс мощностей
Из закона сохранения энергии следует, что активная мощность источников равна активной мощности приемников, т.е.
а алгебраическая сумма реактивных мощностей источников равна алгебраической сумме реактивных мощностей приемников, т.е.
Так как равны активные и реактивные мощности источников и приемников, то равны и их полные мощности:
В данном примере мы имеем схему с тремя источниками Э.Д.С., один из которых (источник ) работает в режиме приемника, т.к. направление тока 
в данной ветви противоположно направлению Э.Д.С. источника. Это означает, что мощность этого источника следует записать со знаком минус.
3.1 Полная мощность источника равна произведению комплексного значения Э.Д.С. источника на сопряженное значение тока данной ветви:
Сопряженное комплексное число 
можно получить из комплексного числа 
, изменив знак перед мнимой частью на противоположный.
Например:
Рассчитываем мощности источников:
3.2 Получили значение полной мощности источников, где действительная часть равна активной мощности источников, а мнимая часть - реактивной.
Полная мощность приемника равна произведению комплексного сопротивления Z на квадрат модуля тока в данной ветви:
Рассчитываем мощности приемников:
Алгебраическая сумма мощностей источников и приемников должны быть приблизительно равны. Допустимая погрешность 5%.
Можно сделать вывод, что расчеты произведены верно.