Реляционный метод для решения задачи




ВВЕДЕНИЕ

Ме́тод А́дамса — конечноразностный многошаговый метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В отличие от метода Рунге-Кутты использует для вычисления очередного значения искомого решения не одно, а несколько значений, которые уже вычислены в предыдущих точках.

Широко распространенным семейством многошаговых методов являются методы Адамса. Простейший из них, получающийся при k = 1, совпадает с рассмотренным ранее методом Эйлера первого порядка точности. В практических расчетах чаще всего применяют вариант метода Адамса, имеющий четвертый порядок точности и использующий на каждом шаге результаты предыдущих четырех. Именно его и называют обычно методом Адамса

Если использовать значения в k предыдущих узлах, то говоря о k шаговом методе интегрирования уравнения. Одним из способов построения многошаговых методов заключается в следующем. По значениям функции, вычисления в k предшествующих узлах, строиться интерполяционный пилоном степени (k -1)- , который используется при интегрировании дифференциального уравнения. Интеграл при этом выражается через квадратную формулу:

Где λ1- квадратурные коэффициенты.

Очевидно, что при k=1 в качестве частного случая получается уже известная нам формула Эйлера. Значения квадратурных коэффициентов для k от 2 до 4 приведены в таблице.

k λl
  3/2 -1/2    
  23/12 -16/12 5/12  
  55/24 -59/24 37/24 -9/24

Полученное таким образом семейство формул называется явной k-шаговой схемой Адамса (методы Адамса-Башфорта).

Например, четырехшаговая явная формула Адамса может быть записана так:

Если для построения интерполяционного полинома использовать k узлов, начиная с x i +1, то можно получить формулы интегрирования ОДУ, известные как неявные схемы Адамса (или методы Адамса-Моултона). Неявными эти формулы называются потому, что значение искомой функции в (i+1)-м узле - y i +1 - оказывается одновременно и в левой и правой частях равенства.

Квадратурные коэффициенты для неявных методов Адамса приведены в таблице ниже.

k λl
  1/2 1/2    
  5/12 8/12 -1/12  
  9/24 19/24 -5/24 1/24

Например, четырехшаговая неявная формула Адамса-Моултона имеет вид:

Видно, что это выражение является уравнением относительно y i +1, так как y i +1встречается и в левой и правой его части. Однако обычно это уравнение не решается, а значение в правой части заменяется на рассчитанное по какой-либо явной формуле - например, формуле Адамса-Башфорта. Такой подход лежит в основе методов "прогноза-коррекции".

Достоинством многошаговых методов Адамса при решении ОДУ заключается в том, что в каждом узле рассчитывается только одно значение правой части ОДУ - функции F(x,y). К недостаткам можно отнести невозможность старта многошагового метода из единственной начальной точки, так как для вычислений по k-шаговой формуле необходимо знание значения функции в k узлах.


 

Выбор конкретной задачи

Необходимо решить с заданной степенью точности задачу Коши для системы дифференциальных уравнений на заданном интервале [a,b]. Добиться погрешности на втором конце не более 0,0001. Результат получить в виде таблицы значений приближенного и точного решений в точках заданного интервала. Построить графики полученных решений и сравнить их с точным решением.

Исходные данные:

– система дифференциальных уравнений вида:

– интервал, на котором ищется решение: [a,b]

– погрешность, с которой ищется решение: е

– формулировка задачи Коши в начальной точке заданного интервала:

u(a)=u, v(a)=v

– количество узлов сетки, для которой формируется таблица значений приближенного и точного решений системы: nx

– шаг вывода на экран значений искомых функций в узлах заданной сетки: np

Выходные данные:

– таблица значений приближенного и точного решений в узлах заданной сетки;

– графики полученных и точных решений.


 

Реляционный метод для решения задачи

Многошаговые методы решения задачи Коши характеризуются тем, что решение в текущем узле зависит от данных не в одном предыдущем или последующем узле сетки, как это имеет место в одношаговых методах, а зависит от данных в нескольких соседних узлах.

Идея методов Адамса заключается в том, чтобы для повышения точности использовать вычисленные уже на предыдущих шагах значения

Если заменим в (2.5) подинтегральное выражение интерполяционным многочленом Ньютона, построенного по узлам

, то после интегрирования на интервале

получим явную экстраполяционную схему Адамса. Если заменим в подинтегральное выражение на многочлен Ньютона, построенного по узлам

, то получим неявную интерполяционную схему Адамса.

– Явная экстраполяционная схема Адамса 2-го порядка

(2.21)

Схема двухшаговая, поэтому необходимо для расчётов найти по схеме Рунге-Кутта 2-го порядка

, после чего

,

, … вычисляют по формуле (2.21)

– Явная экстраполяционная схема Адамса 3-го порядка

(2.22)

Схема двухшаговая, поэтому необходимо сперва найти

и

по схеме предиктор-корректор 4-го порядка, после чего

,

, … вычисляют по формуле (2.22).

Описание используемого метода

Для решения системы дифференциальных уравнений выбрана неявная схема Адамса 3-го порядка, как одна из наиболее точных конечноразностных схем для решения задачи Коши. Чтобы прийти к неявной схеме Адамса, заменим подинтегральное выражение в уравнении:

(3.1)

интерполяционным многочленом Ньютона 2-го порядка, вида:

После интегрирования полученного выражения на интервале

, приходим к уравнению неявной схемы Адамса 3-го порядка:

.

Данная схема не разрешена явно относительно

, поэтому сначала необходимо вычислить

любым подходящим методом, например методом Рунге-Кутта четвёртого порядка. Затем для нахождения

требуется использовать метод простой итерации:

, (3.4)

где s=1,2,3,… – номер итерации. Условие выхода из цикла итерационной процедуры:

, (3.5)

где ε – заданная погрешность.

Начальное приближение задаётся формулой для явной экстраполяционной схемы Адамса 2-го порядка:

. (3.6)

Схема устойчива, сходится быстро. Чаще всего достаточно одной итерации. Порядок погрешности ε(h) неявной схемы Адамса третьего порядка равен четырём.

Описание блок-схемы алгоритма

При разработке программы были построены блок-схемы алгоритма программы, упрощающие процесс проектирования и облегчающие понимание исходного кода готовой программы (см. Приложение 1).

Блок-схема алгоритма условно разбита на 11 блоков.

Главная функция программы (блоки 1,2,5) отвечает за обработку события создания формы, взаимодействие со стандартным компонентом TСhart, а также за реализацию решения системы дифференциальных уравнений неявной схемой Адамса 3-го порядка. Блок-схема алгоритма решения задачи Коши разбита условно на 35 блоков:

1-й блок отвечает за ручной ввод интервала [a,b], на котором ищется решение системы; количества шагов сетки nx; шаг вывода результатов на экран np; строк u1 и v1, соответствующих уравнениям системы; значения искомых функций в начале заданного интервала; допустимая погрешность e.

Во втором блоке происходит вычисление шага h и установка текущего узла на x=a. Блок 3 – функция преобразования исходных записей уравнений системы в равносильные им строки с постфиксной формой записью математических операций (см. далее «алгоритм обратной польской записи»). В качестве аргументов функции выступают введённые ранее строки u1 и v1.

Блоки 4-15 – расчет первых 2-х точек заданной сетки методом Рунге-Кутта 4-го порядка. В данных блоках и далее используется пользовательская функция FPR, рассчитывающая значения вводимых пользователем уравнений в узлах заданной сетки. В качестве аргументов функции выступают: уже преобразованные в обратную польскую запись строки, задающие уравнения системы; текущее значение x; значения искомых функций на предыдущем шаге (условно обозначаем

).

В блоках 16-34 в цикле (16) рассчитываются значения искомых решений в узлах 2-nx заданной сетки неявной схемой Адамса 3-го порядка. Цикл 21-29 осуществляет итерационную процедуру неявной схемы. Условие выхода из этого цикла – выполнение неравенства de<e, где de – наибольший из модулей

, e – заданная точность. Поскольку на экран выводятся значения искомых функций не во всех узлах, а только в узлах с номером, кратным шагу вывода nx, вводимым с клавиатуры, то блоки 33-34 осуществляют выбор этих узлов.

Преобразование в обратную польскую запись происходит по следующим правилам:

Рассматриваем поочередно каждый символ:

- если этот символ - число (или переменная), то просто помещаем его в выходную строку.

- если символ - знак операции (+, -, *, /,^), то проверяем приоритет данной операции. Операция возведения в степень имеет наивысший приоритет (равен 4). Операции сложения и вычитания имеют меньший приоритет (равен 2). Наименьший приоритет (равен 1) имеет открывающая скобка.

Получив один из этих символов, мы должны проверить стек:

- если стек все еще пуст, или находящиеся в нем символы (а находится в нем могут только знаки операций и открывающая скобка) имеют меньший приоритет, чем приоритет текущего символа, то помещаем текущий символ в стек.

- если символ, находящийся на вершине стека имеет приоритет, больший или равный приоритету текущего символа, то извлекаем символы из стека в выходную строку до тех пор, пока выполняется это условие; затем переходим к пункту а).

- если текущий символ - открывающая скобка, то помещаем ее в стек.

- если текущий символ - закрывающая скобка, то извлекаем символы из стека в выходную строку до тех пор, пока не встретим в стеке открывающую скобку (т.е. символ с приоритетом, равным 1), которую следует просто уничтожить. Закрывающая скобка также уничтожается.

Если вся входная строка разобрана, а в стеке еще остаются знаки операций, извлекаем их из стека в выходную строку.

Согласно этим правилам создан модуль ”Unit3.cpp”, содержащий функцию преобразования строки в обратную польскую запись OPZ (блок 3 в блок-схеме алгоритма), алгоритм которой приведён в приложении. В данном модуле использованы также вспомогательные функции PUSH, PRIOR, DEL. Функция PUSH записывает в стек, на вершину которого указывает HEAD, символ a. Возвращает указатель на новую вершину стека. Функция PRIOR вычисляет приоритет текущего символа, естественно, лишь в том случае, если текущий символ – математическая операция. Функция DEL удаляет символ с веpшины стека. Возвpащает удаляемый символ. Изменяет указатель на веpшину стека.

Для работы с полученной обратной польской записью создана функция(блок 4), организованная в виде подключаемого модуля “Unit5.cpp”. Блок-схема данной функции приведена в приложении. На начальном этапе (блоки 1-13) в цикле анализируется строка, содержащая обратную польскую запись. Если символ ранее задекларирован (‘x’,’u’,’v’,’e’,’1’..’9’), то его значение заносится в текущий элемент массива th. На следующем этапе (блоки 14-29) осуществляется «обратный ход» польской нотации: анализируется каждый символ строки, и если этот символ ранее задекларирован, то его значение помещается в стек (блоки 15-17). В случае, если текущий символ – знак математической операции, то из стека извлекаются последние два элемента и с ними проводится указанная операция. Результат заносится на вершину стека. Стек в функции реализован в виде однонаправленного массива типа double. Функция возвращает первый элемент стека.

Описание программы

После проведённого обзора программных средств для разработки данного программного продукта, была выбрана среда BorlandC++ Builder. Язык С++ хорошо зарекомендовал себя эффективностью, лаконичностью записи алгоритмов, логической стройностью программы, хорошей переносимостью. Программы, написанные на языке С++, сравнимы по скорости с программами, написанными на языке ассемблера; при этом они более наглядны и просты в сопровождении. Среда BorlandC++ Builder является средством быстрой разработки windows-приложений, позволяющее создавать приложения на языке С++, используя среду разработки и библиотеку компонентов Delphi.

Готовая программа представляет собой исполняемый файл с именем “Adams3.exe”, реализованный в виде Widows-приложения в среде BorlandC++ Builder. После запуска программы на рабочем окне появляется рабочее окно с заголовком «Решение систем дифференциальных уравнений». В активном окне можно выделить следующие области:

- область ввода исходных данных.

- окно вывода результатов.

- поле отображения графиков полученных функций, являющихся

решением заданной системы, и графиков истинного решения.

Основное меню.

Область исходных данных содержит поля, в которые требуется ввести начальные данные: систему дифференциальных уравнений; интервал, на котором требуется найти решение заданной системы; допустимую погрешность; условия Коши в начальной точке заданного интервала; количество шагов “сетки” и шаг вывода полученных значений искомых функций в узлах сетки.

В поля ”du/dx= “ и “dv/dx= “ вводятся дифференциальные уравнения, содержащие символы, ‘u’, ‘v’ ‘x’, ‘e’, ’1’..’9’, ’+’, ’-‘, ‘*’, ‘/’, ‘^’, ‘(‘, ‘)’. Здесь: символы ‘u’ и ‘v’ представляют собой искомые функции, символ ‘e’ является основанием натурального логарифма, символ ‘^’ обозначает операцию возведения в степень. Использование других символов нежелательно, так как они будут проигнорированы программой.

Поля с заглавием «интервал [a;b]» содержат начальную и конечную точку промежутка, на котором будет найдено решение заданной системы.

В поле «количество шагов сетки» требуется ввести целое число, равное количеству точек по оси OX на заданном интервале, в которых ищем значения функций u(x) и v(x).

Поле «шаг вывода» содержит целое число, определяющее частоту вывода на экран результатов из множества результатов во всех узлах заданной сетки.

Поля под общим названием «начальные условия» содержат условия Коши – значения искомых функций в начале заданного интервала [a,b].

Для корректной работы программы все поля должны быть заполнены. При запуске программы все вышеперечисленные поля уже содержат стандартную информацию для теста программы, которую можно изменять.

Пользователю предоставляется возможность выбора режима программы. При запуске программы метка возле надписи «Не использовать метод сгущающихся сеток» отсутствует, и программа, используя метод учащающихся сеток подберёт после первого нажатия кнопки «выполнит» оптимальное значение количества шагов для достижения заданной точности. После повторного нажатия кнопки «выполнить» будут произведены вычисления уже для рекомендуемого значения шага сетки. Если метка поставлена, то после нажатия кнопки «выполнить» будет решена задача Коши для заданного интервала, но заданная точность не будет достигнута. Данный режим позволяет вводить различные системы дифференциальных уравнений, отличных от стандартных тестовых, решением которых являются функции u(x)=2*x, v(x)=exp(x).

Все результаты, полученные в ходе работы программы, отображаются в отдельном окне (рис. 2). При желании, всю информацию из этого окна можно сохранить в отдельный файл.

Полученное решение в виде графиков искомых функций выводится в отдельное поле (рис. 2). Здесь отображаются также графики функций f(x)=2*xи f(x)=exp(x), являющихся точным решением для тестовых систем дифференциальных уравнений. Поле отображения графиков масштабируемо.

Основное меню содержит следующие пункты: «Файл» и «О программе» (рис. 3). В свою очередь пункт меню «Файл» содержит следующие подпункты: «новый», «открыть», «сохранить как…» и «выход».

При выборе пункта «новый» все поля и окна будут очищены. Поле отображения графиков будет также очищено.

Выбрав пункт «сохранить как…», вся информация из окна результатов будет сохранена в выбранный пользователем файл (по умолчанию с расширением.txt).

Выбор пункта «открыть» приводит к загрузке из уже сохранённого ранее файла системы дифференциальных уравнений.

Программа работает стабильно, не приводит к ошибкам.

Анализ результатов

Результатом работы программы “Adams3.exe” является таблица значений полученного решения в узлах заданной сетки, значений точного решения и разность между точным и полученным решениями. Данную таблицу можно сохранить в текстовый файл с возможностью дальнейшего просмотра и редактирования.

В качестве тестовой задачи была решена задача Коши при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка на интервале [2,4] с начальными условиями

:

 

.

Точным решением данной системы являются функции:

Требовалось добиться решения системы дифференциальных уравнений с точностью до 0.0001.

Результат решения (выходной файл):

Входные данные:

du/dx= u/x+v-e^x;

dv/dx= 2*x/u+v^2/e^x-1;

Интервал: [2;4]

Допустимая погрешность: е=0,0001

Начальные условия:

u=4

v=7,389056098930650230

Количество шагов сетки: 320

Шаг вывода: 32

Результаты:

x | u(x) | точное | разн. | v(x) | точное | разн. |

2,000 4,0000 4,0000 0,0000 7,3891 7,3891 0,0000

2,200 4,4000 4,4000 0,0000 9,0250 9,0250 0,0000

2,400 4,8000 4,8000 0,0000 11,0232 11,0232 0,0000

2,600 5,2000 5,2000 0,0000 13,4637 13,4637 0,0000

2,800 5,6000 5,6000 0,0000 16,4446 16,4446 0,0000

3,000 6,0000 6,0000 0,0000 20,0855 20,0855 0,0000

3,200 6,4000 6,4000 0,0000 24,5325 24,5325 0,0000

3,400 6,8000 6,8000 0,0000 29,9641 29,9641 0,0000

3,600 7,2000 7,2000 0,0000 36,5982 36,5982 0,0000

3,800 7,6000 7,6000 0,0000 44,7012 44,7012 0,0000

4,000 8,0000 8,0000 0,0000 54,5981 54,5982 0,0000

Время выполнения: 0,015с

Как видно из полученного результата, точность в 0.0001 достигается уже при количестве шагов, равном 320. Время. Затраченное на расчёт таблицы значений на заданном интервале составляет всего 0.015 секунд, что практически не ощутимо. Увеличение шага сетки приведёт к повышению точности решения, однако это увеличит и время работы вычислительного процесса.

Заданная точность достигается за минимальное количество итерраций (1-3 итерации).

Ниже приведен график функций полученного и точного решений:

Рис. 3.1 График полученного и точного решения

Рис. 3.2 График полученного и точного решения

 

Как видно из рисунков 3.1, 3.2, расхождение кривых наблюдается только при достаточно большом увеличении графика.

Предложенная задача Коши была также решена в математическом пакете “ Mathcad 11” двумя методами: методом Рунге-Кутта 5-го порядка и методом Рунге-Кутта с непостоянным шагом. Реализация решения системы дифференциальных уравнений в “ Mathcad 11” и таблицы результатов приведены ниже:

Реализация решения задачи Коши методом Рунге-Кутта 5-го порядка:

Таблица 3.1 – Результаты решения задачи Коши методом Рунге-Кутта 5-го порядка.

x u(x) v(x) x u(x) v(x)
    7,3890561 3,1 6,2 22,19795
2,02 4,04 7,5383249 3,12 6,24 22,64638
2,04 4,08 7,6906092 3,14 6,28 23,10387
2,06 4,12 7,8459698 3,16 6,32 23,5706
2,08 4,16 8,0044689 3,18 6,36 24,04675
2,1 4,2 8,1661699 3,2 6,4 24,53253
2,12 4,24 8,3311375 3,22 6,44 25,02812
2,14 4,28 8,4994376 3,24 6,48 25,53372
2,16 4,32 8,6711376 3,26 6,52 26,04954
2,18 4,36 8,8463062 3,28 6,56 26,57577
2,2 4,4 9,0250135 3,3 6,6 27,11264
2,22 4,44 9,2073308 3,32 6,64 27,66035
2,24 4,48 9,3933313 3,34 6,68 28,21913
2,26 4,52 9,5830891 3,36 6,72 28,78919
2,28 4,56 9,7766804 3,38 6,76 29,37077
2,3 4,6 9,9741824 3,4 6,8 29,9641
2,32 4,64 10,175674 3,42 6,84 30,56941
2,34 4,68 10,381237 3,44 6,879999 31,18696
2,36 4,72 10,590951 3,46 6,919999 31,81698
2,38 4,76 10,804903 3,48 6,959999 32,45972
2,4 4,8 11,023176 3,5 6,999999 33,11545
2,42 4,84 11,245859 3,52 7,039999 33,78443
2,44 4,88 11,473041 3,54 7,079999 34,46692
2,46 4,92 11,704811 3,56 7,119999 35,1632
2,48 4,96 11,941264 3,58 7,159999 35,87354
2,5 4,9999999 12,182494 3,6 7,199999 36,59823
2,52 5,0399999 12,428597 3,62 7,239999 37,33757
2,54 5,0799999 12,679671 3,64 7,279999 38,09184
2,56 5,1199999 12,935817 3,66 7,319999 38,86134
2,58 5,1599999 13,197138 3,68 7,359999 39,64639
2,6 5,1999999 13,463738 3,7 7,399999 40,4473
2,62 5,2399999 13,735723 3,72 7,439999 41,26439
2,64 5,2799999 14,013204 3,74 7,479999 42,09799
2,66 5,3199999 14,296289 3,76 7,519999 42,94842
2,68 5,3599999 14,585093 3,78 7,559999 43,81604
2,7 5,3999999 14,879732 3,8 7,599999 44,70118
2,72 5,4399999 15,180322 3,82 7,639999 45,60421
2,74 5,4799999 15,486985 3,84 7,679999 46,52547
2,76 5,5199999 15,799843 3,86 7,719999 47,46535
2,78 5,5599999 16,119021 3,88 7,759999 48,42421
2,8 5,5999999 16,444647 3,9 7,799999 49,40245
2,82 5,6399999 16,776851 3,92 7,839999 50,40044
2,84 5,6799999 17,115765 3,94 7,879999 51,4186
2,86 5,7199999 17,461527 3,96 7,919999 52,45732
2,88 5,7599999 17,814273 3,98 7,959998 53,51703
2,9 5,7999998 18,174145   7,999998 54,59815
2,92 5,8399998 18,541287      
2,94 5,8799998 18,915846      
2,96 5,9199998 19,297972      
2,98 5,9599998 19,687816      
  5,9999998 20,085537      
3,02 6,0399998 20,491291      
3,04 6,0799998 20,905243      
3,06 6,1199998 21,327557      
3,08 6,1599998 21,758402      

 


 

Код программы

Главная программа (Unit 1. cpp):

//---------------------------------------------------------------------------

#include <vcl.h>

#pragma hdrstop

#include "Unit1.h"

#include "Unit2.h"

#include "math.h"

#include "stdio.h"

#include "Unit3.h"

#include "Unit5.h"

#include "fstream.h"

//---------------------------------------------------------------------------

#pragma package(smart_init)

#pragma resource "*.dfm"

TForm1 *Form1;

char *opz(char *); // ф-ия преобразования в обратную польскую запись;

double fpr(char *str,double u, double v,double x); // обратныйходпольской

int p=1,s=1,j=1,o=0; // записи;

//---------------------------------------------------------------------------

__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)

: TForm(Owner)

{

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::N5Click(TObject *Sender)

{

Form1->Close();

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::Button3Click(TObject *Sender)

{

Form1->Close();

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::N7Click(TObject *Sender)

{

Form2->Show();

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::N2Click(TObject *Sender) // очисткаформы

{

Edit1->Clear();

Edit2->Clear();

Edit3->Clear();

Edit4->Clear();

Edit5->Clear();

Edit6->Clear();

Edit7->Clear();

Edit8->Clear();

Edit9->Clear();

Memo1->Clear();

Series1->Clear();

Series2->Clear();

Series3->Clear();

Series4->Clear();

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::FormCreate(TObject *Sender)

{

Edit1->Text="10";

Edit2->Text="1";

Edit3->Text="2";

Edit4->Text="4";

Edit5->Text="0,0001";

Edit6->Text="4";

Edit7->Text=FloatToStrF(exp(2),ffFixed,20,18);

Memo1->Text="результаты программы";

Button1->Show();

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcallTForm1::Button1Click(TObject *Sender) //обработка события нажатия кнопки «выполнить»

{

//---------------------------------------------------------------------------

int nx,np,k,i,n;

double a,b,e,h,d,de,z,x;

double y[2],yp[2],f[2],fm[2],fp[2],fp1[2],fp2[2];

unsigned long int time=GetTickCount();

unsigned long int time1=0;

a=StrToFloat(Edit3->Text);

b=StrToFloat(Edit4->Text);

e=StrToFloat(Edit5->Text);

nx=StrToInt(Edit1->Text);

np=StrToInt(Edit2->Text);

Memo1->Clear();

Memo1->Lines->Add("Входныеданные:");

Memo1->Lines->Add("");

Memo1->Lines->Add("du/dx="+Edit8->Text+";");

Memo1->Lines->Add("dv/dx="+Edit9->Text+";");

Memo1->Lines->Add("Интервал: ["+Edit3->Text+";"+Edit4->Text+"]");

Memo1->Lines->Add("Допустимаяпогрешность: е="+Edit5->Text);

Memo1->Lines->Add("Начальныеусловия:");

Memo1->Lines->Add("u="+Edit6->Text);

Memo1->Lines->Add("v="+Edit7->Text);

Memo1->Lines->Add("Количествошаговсетки: "+Edit1->Text);

Memo1->Lines->Add("Шагвывода: "+Edit2->Text);

Memo1->Lines->Add("");

Memo1->Lines->Add("");

char *u1 =(char *)malloc(strlen(Edit8->Text.c_str())+1);

char *v1 =(char *)malloc(strlen(Edit9->Text.c_str())+1);

strcpy(u1,Edit8->Text.c_str());

strcpy(v1,Edit9->Text.c_str());

char *u =(char *)malloc(strlen(u1)+1); //динамическое выделение памяти

char *v =(char *)malloc(strlen(v1)+1);

strcpy(u,opz(&(u1[0]))); // преобразование в обратную польскую запись

strcpy(v,opz(&(v1[0])));

do {

h=(b-a)/nx;

x=a;

y[0]=StrToFloat(Edit6->Text);

y[1]=StrToFloat(Edit7->Text);

if(np!=0&&s==0){

Memo1->Lines->Add("Результаты:");

Memo1->Lines->Add(" x | u(x) | точное | разн. | v(x) | точное | разн. | ");

Memo1->Lines->Add("-----------------------------------------------------");

Memo1->Lines->Add(FloatToStrF(x,ffFixed,5,3)+" "+FloatToStrF(y[0],ffFixed,8,4)+" "+FloatToStrF(2*x,ffFixed,8,4)+" "+FloatToStrF(y[0]-2*x,ffFixed,8,4)+" "+FloatToStrF(y[1],ffFixed,8,4)+" "+FloatToStrF(exp(x),ffFixed,8,4)+" "+FloatToStrF(y[1]-exp(x),ffFixed,8,4));

}

Series1->Clear();

Series2->Clear();

Series3->Clear();

Series4->Clear();

Series1->AddXY(x,y[0]);

Series2->AddXY(x,2*x);

Series3->AddXY(x,y[1]);

Series4->AddXY(x,exp(x));

fm[0]=fpr(u,y[0],y[1],x);

fm[1]=fpr(v,y[0],y[1],x);

for(i=0;i<2;i++)

{

yp[i]=y[i]+h/2*fm[i];

}

x=x+h/2;

fp1[0]=fpr(u,yp[0],yp[1],x);

fp1[1]=fpr(v,yp[0],yp[1],x);

for(i=0;i<2;i++)

{

yp[i]=y[i]+h/2*fp1[i];

}

fp2[0]=fpr(u,yp[0],yp[1],x);

fp2[1]=fpr(v,yp[0],yp[1],x);

for(i=0;i<2;i++)

{

yp[i]=y[i]+h*fp2[i];

}

x=x+h/2;

fp[0]=fpr(u,yp[0],yp[1],x);

fp[1]=fpr(v,yp[0],yp[1],x);

for(i=0;i<2;i++)

{

yp[i]=y[i]+h*(fm[i]+2*fp1[i]+2*fp2[i]+fp[i])/6;

}

fp[0]=fpr(u,yp[0],yp[1],x);

fp[1]=fpr(v,yp[0],yp[1],x);

for(n=2;n<=nx;n++)

{

for(i=0;i<2;i++)

{

y[i]=yp[i]+h*(1.5*fp[i]-0.5*fm[i]);

};

x=x+h;

f[0]=fpr(u,y[0],y[1],x);

f[1]=fpr(v,y[0],y[1],x);

k=0;

do

{

k=k+1;

de=0;

for(i=0;i<2;i++)

{

z=yp[i]+h*(5*f[i]+8*fp[i]-fm[i])/12;

d=fabs(z-y[i]);

y[i]=z;

if(d>de) de=d;

};

f[0]=fpr(u,y[0],y[1],x);

f[1]=fpr(v,y[0],y[1],x);

} while(de>e);

for(i=0;i<2;i++)

{

yp[i]=y[i];

fm[i]=fp[i];

fp[i]=f[i];

}

Series1->AddXY(x,y[0]); //выводграфиковфункций

Series2->AddXY(x,2*x);

Series3->AddXY(x,y[1]);

Series4->AddXY(x,exp(x));

if((fmod(n,np)==0)&&s==0) { //вывод результатов

Memo1->Lines->Add(FloatToStrF(x,ffFixed,5,3)+" "+FloatToStrF(y[0],ffFixed,8,4)+" "+FloatToStrF(2*x,ffFixed,8,4)+" "+FloatToStrF(y[0]-2*x,ffFixed,8,4)+" "+FloatToStrF(y[1],ffFixed,8,4)+" "+FloatToStrF(exp(x),ffFixed,8,4)+" "+FloatToStrF(y[1]-exp(x),ffFixed,8,4));

p=1;

o=1;

}

else o=0;

}

nx=nx*2;

np=np*2;

time1=GetTickCount();

if (o==1) {

Memo1->Lines->Add("------------------------------------------------------");

Memo1->Lines->Add("Времявыполнения:"+FloatToStrF((time1-time)/1000.,ffFixed,6,3)+"мс");

}

if(CheckBox1->Checked) y[1]=exp(x);

} while(fabs(y[1]-exp(x))>e);

j++;

s=1;

if(p==1&&(fmod(j,2)==0))

{

Memo1->Lines->Add("Рекомендуемоезначениешагасетки:"+FloatToStrF(nx/2,ffFixed,6,0));

Edit1->Text=FloatToStrF(nx/2,ffFixed,5,0);

Edit2->Text=FloatToStrF(np/2,ffFixed,5,0);

s=0;

p=0;

}

free(u); // освобождение памяти

free(v);

free(u1);

free(v1);

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::N4Click(TObject *Sender) //Сохранениевфайл

{

SaveDialog1->Title="Save File";

if (SaveDialog1->Execute())

{

Memo1->Lines->SaveToFile(SaveDialog1->FileName);

}

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::N3Click(TObject *Sender) // Загрузкаизфайлафункций

{

if(OpenDialog1->Execute())

{

FILE *fl;

fl=fopen(OpenDialog1->FileName.c_str(),"r");

char ch=getc(fl);

char str[30];

str[0]='\0';

int k=0;

while (ch!=EOF)

{

if(ch=='=') { k++;

while (ch!=';'){ ch=getc(fl);

int n=strlen(str);

str[n]=ch;

str[n+1]='\0';

}

switch (k)

{

case 1: Edit8->Text=str; str[0]='\0'; break;

case 2: Edit9->Text=str; break;

}

}

ch=getc(fl);

}

fclose(fl);

}

}

//---------------------------------------------------------------------------

Модуль преобразования строки в обратную польскую запись (Unit 3. cpp):

//---------------------------------------------------------------------------

#pragma hdrstop

#include "Unit3.h"

//---------------------------------------------------------------------------

#pragma package(smart_init)

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

#include<conio.h>

struct st {

char c;struct st *next;

};

struct st *push(struct st *,char);

char DEL(struct st **);

int PRIOR(char);

char* opz(char *a)

{

struct st *OPERS=NULL;

char *outstring= newchar [30]; // динамическое выделение памяти

int k,point;

k=point=0;

while((*(a+k)!='\0')&&(*(a+k)!='=')){

if(*(a+k)==')'){

while((OPERS->c)!='(')

outstring[point++]=DEL(&OPERS);

DEL(&OPERS);

}

if((*(a+k)>='a'&&(*(a+k))<='z')||(*(a+k)>='1'&&(*(a+k))<='9'))

outstring[point++]=*(a+k);

if(a[k]=='(')

OPERS=push(OPERS,'(');

if(*(a+k)=='+'||*(a+k)=='-'||*(a+k)=='/'||*(a+k)=='*'||*(a+k)=='^'){

if(OPERS==NULL)

OPERS=push(OPERS,*(a+k));

else

if(!PRIOR(OPERS->c))

OPERS=push(OPERS,*(a+k));

else{

while((OPERS!=NULL)&&(PRIOR(OPERS->c)>=PRIOR(*(a+k))))

outstring[point++]=DEL(&OPERS);

OPERS=push(OPERS,*(a+k));

}

}

k++;

}

while(OPERS!=NULL)

outstring[point++]=DEL(&OPERS);

outstring[point]='\0';

return outstring;

}

struct st *push(struct st *HEAD,char a) /* Функция записывает в стек,на веpшинукотоpого указывает HEAD,символ a.

Возвpащает указатель на новую веpшину стека*/

{

struct st *PTR;

PTR=new st ();

PTR->c=a;

PTR->next=HEAD;

return PTR;

}

char DEL(struct st **HEAD){ /* функцияудаляетсимволсвеpшиныстека. Возвpащает удаляемый символ.

Изменяет указатель на веpшину стека*/

structst *PTR;

char a;

if(*HEAD==NULL)

return '\0';

PTR=*HEAD;

a=PTR->c;

*HEAD=PTR->next;

free(PTR);

return a;

}

int PRIOR(char a) //функция возвpащает пpиоpитет аpифметической опеpации

{

switch(a){

case '^':

return 4;

case '*':

case '/':

return 3;

case '-':

case '+':

return 2;

case '(':

return 1;

}

}

Модуль расчёта функции, записанной в постфиксной форме (Unit 5. cpp):

//---------------------------------------------------------------------------

#pragma hdrstop

#include "Unit5.h"

//---------------------------------------------------------------------------

#pragma package(smart_init)

#include<conio.h>

#include<stdio.h>

#include<math.h>

#include<stdlib.h>

#include<string.h>

double fpr(char *str,double u, double v,double x)

{

int n,i,d=0;

double th[30],g[30];

n=strlen(str);

for (i=0;i<n;i++)

{

switch (*(str+i))

{

case 'x': *(th+i)=x; break;

case 'u': *(th+i)=u; break;

case 'v': *(th+i)=v; break;

case 'e': *(th+i)=exp(1); break;

case '1':

case '2':

case '3':

case '4':

case '5':

case '6':

case '7':

case '8':

case '9':

case '0': char p[1]; p[0]=str[i]; th[i]=atoi(p); break;

}

}

for(i=0;i<n;i++)

{

if(*(str+i)=='x'||*(str+i)=='v'||*(str+i)=='u'||*(str+i)=='e'||*(str+i)=='1'||*(str+i)=='2'||*(str+i)=='3'||*(str+i)=='4'||*(str+i)=='5'||*(str+i)=='6'||*(str+i)=='7'||*(str+i)=='8'||*(str+i)=='9')

{

*(g+d)=*(th+i);

d++;

}

else {

switch (*(str+i))

{

case '-': *(g+d-2)=*(g+d-2)-*(g+d-1); break;

case '+': *(g+d-2)=*(g+d-2)+*(g+d-1); break;

case '/': *(g+d-2)=*(g+d-2)/(*(g+d-1)); break;

case '*': *(g+d-2)=*(g+d-2)*(*(g+d-1)); break;

case '^': *(g+d-2)=pow(*(g+d-2),*(g+d-1)); break;

};

d--;

}

}

return *g;

}

 

 




Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: