Задание на лабораторную работу

Севастопольский государственный технический университет

 

 

МОДЕЛИРОВАНИЕ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

ДЛЯ АНАЛИЗА ПОВЕДЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

 

Методические указания

К выполнению лабораторных работ

По дисциплине «Автоматизированные информационно-управляющие системы»

для подготовки бакалавров по направлению

27.03.04 – Управление в технических системах

По профилю «Управление и информатика в технических системах»

Дневной и заочной форм обучения

 

 

Севастополь

 

 

УДК 681.5

 

Моделирование марковских процессов для анализа поведения стохастических систем: Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Автоматизированные информационно-управляющие системы» для подготовки бакалавров по направлению 27.03.04 – Управление в технических системах по профилю «Управление и информатика в технических системах» дневной и заочной форм обучения // Сост. Т.А. Грушун, А.И. Грушун – Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2014. – 6 с.

 

 

Целью лабораторной работы является исследование работы стохастической системы в среде MatLab.

 

 

Методические указания рассмотрены на заседании кафедры Технической кибернетики, протокол № от «» 2014 г.

 

Допущено учебно‑методическим центром СГУ в качестве методических указаний.

 

 

Рецензент: Карапетьян В.А. к.т.н., доцент кафедры ТК

 

Цель работы

 

Исследовать работу стохастической системы с помощью программного пакета MatLab.

 

 

Краткие теоретические сведения

 

Класс марковских случайных процессов является простейшим. При анализе характеристик сложных систем для описания их поведения при наличии случайных факторов широко используются марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Для описания поведения сложной системы в данном классе марковских процессов необходимо: 1) ввести понятие состояния системы; 2) указать все состояния, в которых может находиться система; 3) составить граф состояний, т.е. указать пути возможных непосредственных переходов системы из состояния в состояние; 4) указать, в каком состоянии находится система в начальный момент времени; 5) для каждого возможного перехода указать соответствующую интенсивность l_ij потока событий, переводящих систему из состояния s_i в состояние s_j.

Если определено полное множество состояний марковского процесса, то исчерпывающей характеристикой марковского процесса является совокупность вероятностей P_j(t) того, что процесс в момент времени t будет находиться в состоянии S_j. Для их определения составляются и решаются уравнения Колмогорова – особого вида дифференциальные уравнения, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний.

Общее правило составления уравнений Колмогорова: в левой части каждого из них стоит производная вероятности какого-то (i-го) состояния, в правой части – сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых идут стрелки в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-го) состояния.

При существовании предельного стационар­ного режима система случайным образом меняет свои состояния, но вероятность каждого из них уже не зависит от времени; каждое из со­стояний осуществляется с некоторой постоянной вероятностью, представляющей собой среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии.

Для определения вероятностей Р_j в системе уравне­ний Колмогорова нужно положить все левые части уравнений рав­ными нулю. Система дифференциальных уравнений переходит в систему линейных алгебраических уравнений, решение которой с учетом условия позволяет вычислить все предельные вероятности P_j.

 

 

Задание на лабораторную работу

 

Постановка задачи: техническое устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя (отказать), после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся заранее неизвестное, случайное время.

Узлы выходят из строя независимо друг от друга с интенсивностями l₁ и l₂. Вероятность строго одновременного выхода из строя двух узлов очень мала и ею можно пренебречь. Узлы восстанавливаются ремонтом с интенсивностями m₁ и m₂. Варианты значений интенсивностей выхода из строя узлов и интенсивностей восстановления узлов приведены в таблице 4.1.

Построить модель работы технического устройства S в виде графа состояний марковской цепи и найти предельные вероятности этих состояний.

Решить поставленную задачу вручную и с помощью программного пакета MatLab.

 

Таблица 4.1 – Исходные данные для задачи анализа поведения стохастической системы

№	l1 (1/ч)	l2 (1/ч)	m1 (1/ч)	m2 (1/ч)