Лекция 4. Логические элементы компьютера.
План лекции
Основные понятия.
Логические элементы И, ИЛИ, НЕ, И–НЕ, ИЛИ–НЕ
Переключательная схема
Основные понятия
Логические элементы имеют один или несколько входов и один выход, через которые проходят электрические сигналы, обозначаемые условно 0, если «отсутствует» электрический сигнал, и 1, если «имеется» электрический сигнал.
Определение. Логический элемент – это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.
Логическими элементами являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ,
И–НЕ, ИЛИ–НЕ и другие (называемые также вентилями), а также триггер.
С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера. Обычно у вентилей бывает от двух до восьми входов и один или два выхода.
Чтобы представить два логических состояния – «1» и «0» в вентилях, соответствующие им входные и выходные сигналы имеют один из двух установленных уровней напряжения. Например, +5 вольт и 0 вольт.
Высокий уровень обычно соответствует значению «истина» («1»), а низкий – значению «ложь» («0»).
Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем.
Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.
Логические элементы И, ИЛИ, НЕ, И–НЕ, ИЛИ–НЕ
Логический элемент «И»
Элемент «И» реализует конъюнкцию двух или более логических переменных. Условное обозначение на структурных схемах элемента «И» с двумя входами представляется в виде (рис. 4.1):
Рис. 4.1
Операция конъюнкции на структурных схемах обозначается знаком «&» (читается как "амперсанд"), являющимся сокращенной записью английского слова and.
Единица на выходе элемента «И» будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет ноль.
Логический элемент «ИЛИ»
Элемент «ИЛИ» реализует дизъюнкцию двух или более логических значений. Когда хотя бы на одном входе схемы «ИЛИ » будет единица, на её выходе также будет единица.
Условное обозначение на структурных схемах элемента «ИЛИ» с двумя входами представлено на рис. 4.2. Знак «1» на схеме – от устаревшего обозначения дизъюнкции как «>=1» (т.е. значение дизъюнкции равно единице, если сумма значений операндов больше или равна 1). Связь между выходом z этой схемы и входами x и y описывается соотношением: z = x 
y.
Рис. 4.2
Логический элемент «НЕ»
Элемент «НЕ» (инвертор) реализует операцию отрицания. Связь между входом x этой схемы и выходом z можно записать соотношением 
.
Если на входе схемы 0, то на выходе 1. Когда на входе 1, на выходе 0. Условное обозначение на структурных схемах инвертора – на рис. 4.3.
Рис. 4.3
Логический элемент «И–НЕ»
Элемент «И–НЕ» состоит из элемента «И» и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы «И». Связь между выходом z и входами x и y схемы записывают следующим образом: 
. Условное обозначение на структурных схемах схемы И–НЕ с двумя входами представлено на рис. 4.4.
Рис. 4.4
– штрих Шеффера (отрицание конъюнкции).
Логический элемент «ИЛИ–НЕ»
Элемент «ИЛИ–НЕ» состоит из элемента «ИЛИ» и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы «ИЛИ». Связь между выходом z и входами x и y схемы записывают следующим образом: 
. Условное обозначение на структурных схемах элемента «ИЛИ–НЕ» с двумя входами представлено на рис. 4.5.
Рис. 4.5
– стрелка Пирса, функция Вебба (отрицание дизъюнкции).
Другие логические элементы построены из этих простейших схем и выполняют более сложные логические преобразования информации. Сигнал, выработанный одним логическим элементом, можно подавать на вход другого элемента, это дает возможность образовывать цепочки из отдельных логических элементов. Например:
Рис. 4.6
Эта схема соответствует сложной логической функции 
.
Такие цепи из логических элементов называются логическими устройствами. Логические устройства же, соединяясь, в свою очередь образуют функциональные схемы (их еще называют структурными или логическими схемами). По заданной функциональной схеме можно определить логическую формулу, по которой эта схема работает, и наоборот.
Пример. Логическая схема для функции 
будет выглядеть следующим образом:
 |
Рис. 4.7
Пример. Построить логическую схему для булевой функции, заданной своими логическими значениями F(A,B,C)=(01000001).
Решение.
Укажем, на каких наборах значений пропозициональных переменных булевая функция принимает заданные значения.
| A | B | C | F(A,B,C) |
Запишем логическую функцию по данной таблице истинности, то есть составим СДНФ. 
. Затем упростим полученное логическое выражение: 
. Построим логическую схему для данного выражения:
Рис. 4.8
Переключательная схема
В компьютерах и других автоматических устройствах широко применяются электрические схемы, содержащие сотни и тысячи переключательных элементов: реле, выключателей и т.п. Разработка таких схем весьма трудоёмкое дело. Оказалось, что здесь с успехом может быть использован аппарат алгебры логики.
Определение. Переключательная схема–это схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводников, а также из входов и выходов, на которые подаётся и с которых снимается электрический сигнал.
Каждый переключатель имеет только два состояния: замкнутое и разомкнутое. Переключателю Х поставим в соответствие логическую переменную х, которая принимает значение 1 в том и только в том случае, когда переключатель Х замкнут и схема проводит ток; если же переключатель разомкнут, то х равен нулю.
Будем считать, что два переключателя Х и 
связаны таким образом, что когда Х замкнут, то разомкнут, и наоборот. Следовательно, если переключателю Х поставлена в соответствие логическая переменная х, то переключателю 
должна соответствовать переменная 
.
Всей переключательной схеме также можно поставить в соответствие логическую переменную, равную единице, если схема проводит ток, и равную нулю – если не проводит. Эта переменная является функцией от переменных, соответствующих всем переключателям схемы, и называется функцией проводимости.
На элементарном уровне конъюнкцию можно представить себе в виде последовательно соединенных выключателей, а дизъюнкцию – в виде параллельно соединенных выключателей:
Найдем функции проводимости F некоторых переключательных схем:
1) 
Схема не содержит переключателей и проводит ток всегда, следовательно F=1;
2) 
Схема содержит один постоянно разомкнутый контакт, следовательно F=0;
3) 
Схема проводит ток, когда переключатель х замкнут, и не проводит, когда х разомкнут, следовательно, F(x) = x;
4) 
Схема проводит ток, когда переключатель х разомкнут, и не проводит, когда х замкнут, следовательно, F(x) = ;
5) 
Схема проводит ток, когда оба переключателя замкнуты, следовательно, 
;
 |
6)
Схема проводит ток, когда хотя бы один из переключателей замкнут, следовательно, 
;
 |
7)
Схема состоит из двух параллельных ветвей и описывается функцией проводимости 
Две схемы называютсяравносильными, если через одну из них проходит ток тогда и только тогда, когда он проходит через другую (при одном и том же входном сигнале).
Из двух равносильных схемболее простойсчитается та схема, функция проводимости которой содержит меньшее число логических операций или переключателей.
При рассмотрении переключательных схем возникают две основные задачи: синтез и анализ схемы.
Синтез схемы по заданным условиям ее работысводится к следующим трём этапам:
1) составлению функции проводимости по таблице истинности, отражающей эти условия;
2) упрощению этой функции;
3) построению соответствующей схемы.
Анализ схемы сводится:
1) к определению значений её функции проводимости при всех возможных наборах входящих в эту функцию переменных;
2) к получению упрощённой формулы.
Примеры:
1. Построим схему, содержащую четыре переключателя x, y, z и t, такую, чтобы она проводила ток тогда и только тогда, когда замкнут контакт переключателя t и какой-нибудь из остальных трёх контактов.
Решение. В этом случае можно обойтись без построения таблицы истинности. Очевидно, что функция проводимости имеет вид 
, а схема выглядит так:
2. Построим схему с пятью переключателями, которая проводит ток в том и только в том случае, когда замкнуты ровно четыре из этих переключателей.
Схема имеет вид:
3. Найдем функцию проводимости схемы:
Решение. Имеется четыре возможных пути прохождения тока при замкнутых переключателях a, b, c, d, e: через переключатели a, b; через переключатели a, e, d; через переключатели c, d и через переключатели c, e, b.
Функция проводимости 
.
4. Упростим переключательные схемы:
 |
а)
Решение: 
Упрощенная схема:
 |
б)
Решение: 
.
Здесь первое логическое слагаемое 
является отрицанием второго логического слагаемого 
, а дизъюнкция переменной с ее инверсией равна 1.
Упрощенная схема:
 |
в)
Упрощенная схема:
 |
г)
Упрощенная схема:
 |
д)
(по закону склеивания)
Упрощенная схема:
 |
е)
Решение:
 |
Упрощенная схема: