Постройте график фактического и расчетных показателей.
На рисунке 1 представлены расчётные и фактические показатели, рассчитанные всеми тремя методами.
Экспоненциальное сглаживание
1. Определить значение параметра сглаживания по формуле:
α=2/n+1 (2)
где n – число наблюдений, входящих в интервал сглаживания.
α = 2/12+1 = 0,15
2. Начальное значение U0определяется двумя способами:
1 способ – средняя арифметическая, U0 = 3657,05;
2 способ – принять первое значение базы прогноза U0 = 2595,90.
В таблице 2 приведены необходимые расчёты
Таблица 2 – Расчёты экспоненциальным методом
| Период | Объем поступлений, млн. руб. Уф | Экспоненциально взвешенная средняя Ut Yр | Расчет среднего относительного отклонения /Уф –Ур/Уф*100 | ||||
| 1 способ | 2 способ | 1 способ | 2 способ | ||||
| январь | 2595,90 | 3497,90 | 2595,90 | 34,75 | |||
| февраль | 2885,59 | 3406,07 | 2595,89 | 18,04 | 10,04 | ||
| март | 3238,04 | 3380,87 | 2639,35 | 4,41 | 18,49 | ||
| апрель | 1016,66 | 3026,23 | 2729,16 | 197,66 | 168,44 | ||
| май | 4027,65 | 3176,45 | 2923,94 | 21,13 | 27,40 | ||
| июнь | 3208,17 | 3181,20 | 2966,57 | 0,84 | 7,53 | ||
| июль | 3721,02 | 3262,17 | 3079,73 | 12,33 | 17,23 | ||
| август | 4283,87 | 3415,42 | 3260,35 | 20,27 | 23,90 | ||
| сентябрь | 3587,29 | 3441,21 | 3309,39 | 4,07 | 7,75 | ||
| октябрь | 4111,46 | 3541,75 | 3429,70 | 13,86 | 16,58 | ||
| ноябрь | 4451,21 | 3678,17 | 3582,92 | 17,37 | 19,51 | ||
| декабрь | 6757,75 | 4140,10 | 4059,14 | 38,73 | 39,93 | ||
| Итого | 43884,61 | 383,46 | 356,80 | ||||
| прогноз | |||||||
| январь | 4532,74 | 4463,93 | |||||
| февраль | |||||||
3. Рассчитаем экспоненциально взвешенной средней каждого периода двумя способами по формуле:
Ut+1=α*yt+ (1-α)*U0 (3)
где Ut+1 – прогнозируемый показатель,
α – параметр сглаживания,
t –период, предшествующий прогнозному,
t+1 – прогнозный период,
U0 – начальное значение
yt – фактическое значение исследуемого показателя.
Uянв. = 0,15*2595,90 + (1-0,15)*3657,05 = 3497,90
Uфев. = 0,15*2885,59 + (1-0,15)*3497,90 = 432,83+= 3406,07
Uмарт = 0,15*3238,04 + 0,85*3406,07 = 485,71+2895,16 = 3380,87
Uапр. = 0,15*1016,66+0,85*3380,87 = 152,50+2873,73=3026,23
Uмай = 0,15*4027,65+0,85*3026,23 = 604,15+2572,30 = 3176,45
Uиюнь = 0,15*3208,17+0,85*3176,45 = 481,22+2699,98=3181,20
Uиюль = 0,15*3721,02+0,85*3181,20 = 558,15+2704,02= 3262,17
Uавг. = 0,15*4283,87+0,85*3262,17 = 642,58+2772,84 = 3415,42
Uсент. = 0,15*3587,29+0,85*3415,42 = 538,10+2903,11 = 3441,21
Uокт. =0,15*4111,46+0,85*3441,21 = 615,72+2925,03=3541,75
Uнояб. = 0,15*4451,21+0,85*3541,75 = 667,68+3010,49=3678,17
Uдек.= 0,15*6757,75+0,85*3678,17 = 1013,66+3126,44 = 4140,10
2 способ:
Uфев. = 0,15*2595,90+0,85*2595,90 = 389,38+2206,51 = 2595,89
Uмарт = 0, 15*2885, 59+0, 85*2595, 89=432, 84+2206, 51=2639, 35
Uапр.= 0,15*3238,04+0,85*2639,35=485,71+2243,45=2729,16
Uмай = 0, 15*4027, 65+0, 85*2729, 16=604, 15+2319, 79=2923, 94
Uиюнь= 0, 15*3208, 17+0, 85*2923, 94=4841,22+2485,35=2966,57
Uиюль = 0, 15*3721, 02+0, 85*2996, 57=558, 15+2521, 58=3079, 73
Uавг.=0,15*4283, 87+0, 85*3079, 79=642, 58+2617, 77=3260, 35
Uсент.=0,15*3587, 29+0, 85*3260, 35=538, 09+2771, 30=3309, 39
Uокт.=0, 15*4111, 46+0, 85*3309, 39=616, 72+2812, 98=3429, 70
Uнояб.=0, 15*4451, 21+0, 85*3429, 70=667, 68+2915, 24=3582, 92
Uдек.=0,15*6757, 75+0, 85*3582, 92=1013, 66+3045, 48=4059, 14
4. Значения среднего относительного отклонения приведены в таблице 2, они были получены с помощью соответствующей формулы.
5. Рассчитаем прогнозное значение двумя способами:
1 способ
Uянв. = 0,15*6757,75+0,85*4140,10=1013,66+3519,08=4532,74
2 способ
Uянв.=0,15*6757,75+0,85*4059,14=1013,66+3450,27=4463,93
6. Средняя относительная ошибка
1 способ
Ɛ=383,46/12=31,9%
2 способ
Ɛ356,80/12=29,7%
Метод наименьших квадратов
Для расчётов построим таблицу 3.
Таблица 3 – Прогнозирование методом наименьших квадратов
| Период | Объем поступлений, млн.руб., Уф | Условное обозначение времени, Х | Уф*Х | Х2 | Ур | Расчёт среднего относительного отклонения, (Уф-Ур)/Уф*100 |
| Январь | 2595,90 | 2595,90 | 2218,25 | 14,55 | ||
| Февраль | 2885,59 | 5771,18 | 2396,40 | 16,95 | ||
| Март | 3238,04 | 9714,12 | 2676,55 | 17,34 | ||
| Апрель | 1016,66 | 4066,40 | 2956,70 | 190,82 | ||
| Май | 4027,65 | 20138,25 | 3236,85 | 19,63 | ||
| Июнь | 3208,17 | 19249,02 | 3517,00 | 9,63 | ||
| Июль | 3721,02 | 26047,14 | 3797,15 | 2,04 | ||
| Август | 4283,87 | 34270,96 | 4077,30 | 4,82 | ||
| Сентябрь | 3587,29 | 32285,61 | 4357,45 | 21,47 | ||
| Октябрь | 4111,21 | 41114,60 | 4637,60 | 12,80 | ||
| Ноябрь | 4451,75 | 48963,31 | 4917,75 | 10,47 | ||
| Декабрь | 6757,75 | 81093,00 | 5197,90 | 23,08 | ||
| Итого | 43884,61 | 325309,73 | 43986,90 | 343,60 | ||
| Прогноз | ||||||
| Январь | 5478,05 | |||||
| Февраль | 5758,20 |
В прогнозировании методом наименьших квадратов применяется следующая формула:
Yt+1=a*X+b (4),
где Yt+1– прогнозируемый показатель,
t+1–прогнозный период,
а и в – коэффициенты,
Х – условное обозначение времени.
1. Чтобы определить расчётные значения (Ур) для каждого периода, необходимы рассчитанные коэффициенты а и в.
а = 280,15
b = 1836,10
Ур янв. = 280,15*1+1836,10 = 2218,25
Ур фев. = 280,15*2+1836,10 = 2396,40
Ур март = 280,15*3+1836,10 = 2676,55
Ур апр. =280,15*4+1836,10 = 2956,70
Ур май =280,15*5+1836,10 = 3236,85
Ур июнь =280,15*6+1836,10 = 3517,00
Ур июль =280,15*7+1836,10 = 3797,15
Ур авг. =280,15*8+1836,10 = 4077,30
Ур сент. =280,15*9+1836,10 = 4357,45
Ур окт. =280,15*10+1836,10 = 4637,60
Ур нояб. =280,15*11+1836,10 = 4917,75
Ур дек. = 280,15*12+1836,10 = 5197,90
2. Определяем прогнозное значение.
У янв. = 280,15*13+1836,1=5478,05
У фев. = 280,15*14+1836,10 = 5758,20
3. Рассчитываем среднюю относительную ошибку
Ɛ=343,60/12=28,6%
Для построения прогноза объёма поступлений в январе-феврале месяцах были проведены расчёты с использованием методов:
- скользящей средней;
- экспоненциального сглаживания;
- наименьших квадратов.
Для каждого метода была рассчитана средняя относительная ошибка, которая показывает точность построенных прогнозов: чем ближе к нулю этот показатель, тем выше точность прогноза.
Средняя относительная ошибка в методе скользящей средней составила 28,2%.
Средняя относительная ошибка в методе экспоненциального сглаживания двумя способами составила 31,9% и 29,7% соответственно.
Средняя относительная ошибка в методе наименьших квадратов составила 28,6%.
Конечно, данные значения говорят о том, что точность прогноза удовлетворительная, однако мы видим, что ближе всего к нулю средняя относительная ошибка метода скользящей средней – 28,2%. Поэтому именно данный метод мы может назвать наиболее точным. Рассчитанные значения показателей оказались наиболее близки к фактическим показателям.
Показатели, рассчитанные обоими способами метода экспоненциального сглаживания, весьма сильно отклонены от своих фактических значений, разница средних относительных ошибок составила 2,2%.
Показатели, которые были рассчитаны с помощью метода наименьших квадратов, так же, как и метод экспоненциального сглаживания, не приближены к фактическим.
На графике фактических и расчетных показателей видно, что рядом с фактическими показателями проходят кривые, построенные с помощью метода скользящей средней и метода наименьших квадратов.
Подытоживая, можно сказать, что метод скользящей средней – наиболее точный, он позволяет получить достоверные значения. Прогнозные значения этого метода становятся чуть ниже уровня декабря месяца, что говорит о том, что объём поступлений в первые два месяца нового года снизятся.