Приведём решение методом координат.

Геометрическая задача на вычисление

Углы

Треугольники

Четырехугольники

Окружности

 

Углы

Задание 24 № 76

1. Найдите угол АСО, если его сто­ро­на СА ка­са­ет­ся окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внут­ри этого угла, равна 100°.

Решение.

Проведём ра­ди­ус OA. Тре­уголь­ник AOC — прямоугольный, ∠ A = 90°. ∠ COA = 180° − ∠ AOD = 180° − 100° = 80°; ∠ ACO = 90° − 80° = 10°.

 

Ответ: 10.

Критерии проверки:

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1301.

Задание 24 № 340905

2. Отрезки AB и DC лежат на па­рал­лель­ных прямых, а от­рез­ки AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Най­ди­те MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.

Решение.

Углы DCM и BAM равны как на­крест лежащие, углы DMC и BMA равны как вертикальные, следовательно, тре­уголь­ни­ки DMC и BMA подобны по двум углам. Значит,

 

 

Cледовательно,

 

от­ку­да

 

Ответ: 15.

Критерии проверки:

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 26.11.2014 ва­ри­ант МА90203.

Задание 24 № 311548

3.

Найдите ве­ли­чи­ну угла , если — бис­сек­три­са угла , — бис­сек­три­са угла .

Решение.

Имеем: = 2 · 25° = 50°; = 180° − 50° = 130°; = 130°: 2 = 65°.

 

Ответ: 65°.

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 1. (вар. 1) 02.10.2012г.

Задание 24 № 311649

4. На сто­ро­нах угла и на его бис­сек­три­се от­ло­же­ны рав­ные от­рез­ки и . Ве­ли­чи­на угла равна 160°. Опре­де­ли­те ве­ли­чи­ну угла .

Решение.

Треугольники и рав­но­бед­рен­ные и равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Следовательно,

 

80°; = 360° − 4 · 80° = 40°.

 

Ответ: 40°.

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа № 4.(1 вар.)

Задание 24 № 315053

5.

В тре­уголь­ни­ке АВС углы А и С равны 40° и 60° со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те угол между вы­со­той ВН и бис­сек­три­сой BD.

Решение.

Из тре­уголь­ни­ка най­дем

 

 

— биссектриса, следовательно,

Треугольник — прямоугольный, сле­до­ва­тель­но:

 

 

Найдём угол

 

 

Ответ: 10°.

Критерии проверки:

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 24 № 314819

6. Сто­ро­ны AC, AB, BC тре­уголь­ни­ка ABC равны , и 2 со­от­вет­ствен­но. Точка K рас­по­ло­же­на вне тре­уголь­ни­ка ABC, причём от­ре­зок KC пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке, от­лич­ной от B. Из­вест­но, что тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми K, A и C по­до­бен ис­ход­но­му. Най­ди­те ко­си­нус угла AKC, если ∠ KAC >90°.

Решение.

Рассмотрим по­доб­ные тре­уголь­ни­ки и и уста­но­вим со­от­вет­ствие между их углами. Про­тив боль­шей сто­ро­ны все­гда лежит боль­ший угол, в тре­уголь­ни­ке это угол в тре­уголь­ни­ке , в свою очередь, есть тупой угол и он яв­ля­ет­ся наибольшим, зна­чит Угол за­ве­до­мо не может быть равен углу так как он со­став­ля­ет толь­ко его часть. Сле­до­ва­тель­но угол равен углу Найдём ко­си­нус угла ис­поль­зуя тео­ре­му косинусов:

 

 

 

Ответ:

Критерии проверки:

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 24 № 333321

7. Отрезки AB и DC лежат на па­рал­лель­ных прямых, а от­рез­ки AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Най­ди­те MC, если AB = 10, DC = 25, AC = 56.

Решение.

Углы и равны как на­крест лежащие, углы и равны как вертикальные, следовательно, тре­уголь­ни­ки и по­доб­ны по двум углам.

Значит, Следовательно,

 

 

Откуда

Ответ: 40.

Критерии проверки:

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 06.05.2014 ва­ри­ант МА90701.

Задание 24 № 339611

8. Биссектрисы углов A и D па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке, ле­жа­щей на сто­ро­не BC. Най­ди­те BC, если AB = 34.

Решение.

По опре­де­ле­нию параллелограмма — се­ку­щая при па­рал­лель­ных прямых, следовательно, углы и равны как на­крест лежащие. По­сколь­ку тре­уголь­ник — равнобедренный, от­ку­да Аналогично, тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный и Сто­ро­ны и равны, как про­ти­во­по­лож­ные стороны параллелограмма, следовательно, Таким образом,

 

Ответ: 68.

Критерии проверки:

Ответ: 68

Задание 24 № 311698

9. Прямая, па­рал­лель­ная основаниям и тра­пе­ции , про­хо­дит через точку пе­ре­се­че­ния диагоналей тра­пе­ции и пе­ре­се­ка­ет ее бо­ко­вые стороны и в точ­ках и соответственно. Най­ди­те длину от­рез­ка , если , .

Решение.

1) по двум углам:

a) как вертикальные;

б) как внут­рен­ние накрест ле­жа­щие углы при и се­ку­щей .

 

 

 

2) по двум углам:

а) — общий;

б) как со­от­вет­ствен­ные углы при и се­ку­щей .

 

 

 

3) Аналогично, из подобия треугольников и находим, что

4)

Ответ: 12 см.

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа № 1 (3вар)

Задание 24 № 352582

10. Отрезки AB и DC лежат на па­рал­лель­ных прямых, а от­рез­ки AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Най­ди­те MC, если AB = 13, DC = 65, AC = 42.

 

Треугольники

Задание 24 № 50

1. В пря­мо­уголь­ном треугольнике с пря­мым углом из­вест­ны катеты: , . Най­ди­те медиану этого треугольника.

Решение.

 

Медиана, про­ве­ден­ная к гипотенузе, равна её половние:

 

 

Ответ: 5.

Критерии проверки:

Источник: Демонстрационная вер­сия ГИА—2013 по математике.

Задание 24 № 341687

2. Точка H яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ем высоты, проведённой из вер­ши­ны пря­мо­го угла B тре­уголь­ни­ка ABC к ги­по­те­ну­зе AC. Най­ди­те AB, если AH = 5, AC = 20.

Решение.

Поскольку BH — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABC и AHB подобны.

Следовательно, , от­ку­да

 

Ответ: 10.

Критерии проверки:

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по математике 29.09.2015 ва­ри­ант МА90103.

Задание 24 № 311714

3. Медианы тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Най­ди­те длину медианы, проведённой к сто­ро­не , если угол равен 47°, угол равен 133°, .

Решение.

Обозначим се­ре­ди­ну стороны за . Про­длим на свою длину за точку до точки . Четырёхугольник — параллелограмм, по­то­му что и . Значит, = 133°, по­это­му четырёхугольник — вписанный. Тогда .

 

Ответ: 6.

Критерии проверки:

Источник: Пробные варианты. Московская область — 2013, вариант 2.

Задание 24 № 311240

4. Окружность про­хо­дит через вер­ши­ны А и С тре­уголь­ни­ка АВС и пе­ре­се­ка­ет его сто­ро­ны АВ и ВС в точ­ках К и Е соответственно. От­рез­ки АЕ и СК перпендикулярны. Най­ди­те ∠ КСВ, если ∠ АВС = 20°.

Решение.

Углы АКС и АЕС равны, т. к. опи­ра­ют­ся на одну дугу окружности; следовательно, ∠ ВКС = ∠ ВЕА, как смеж­ные с ними. Из четырёхугольника ВКDЕ: Из ВКС: ∠ КСВ = 180° − 125° − 20° = 35°.

 

Ответ: 35°.

Критерии проверки:

Задание 24 № 311968

5. В тре­уголь­ни­ке ABC угол С равен 90°, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен 2. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если AB = 12.

Решение.

Пусть A ₁, B ₁ и C ₁ — точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­на­ми BC, AC и AB соответственно. Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти обо­зна­чим r. Тогда AC ₁ = AB ₁ и CA ₁ = CB ₁ = r. Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен 2 AC ₁ + 2 BC ₁ + 2 CA ₁ = 2 AB + 2 r. По­лу­пе­ри­метр p равен AB + r.

По фор­му­ле пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка находим

 

 

Ответ: 28.

Критерии проверки:

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 19.11.2013 ва­ри­ант МА90202.

Задание 24 № 154

6. В тре­уголь­ни­ке АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Най­ди­те угол между вы­со­той ВН и бис­сек­три­сой BD.

Решение.

Найдем

 

 

Так как BD - биссектриса, то

Треугольник HBC- прямоугольный. Так как то

 

Таким образом, ис­ко­мый угол DBH равен

 

Ответ:

Критерии проверки:

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1313.

Задание 24 № 180

7. Прямая AD, пер­пен­ди­ку­ляр­ная медиане ВМ тре­уголь­ни­ка АВС, делит её пополам. Най­ди­те сторону АС, если сто­ро­на АВ равна 4.

Решение.

Так как вы­со­та AD, про­ве­ден­ная к ме­ди­а­не BM делит ее пополам, то тре­уголь­ник ABM яв­ля­ет­ся равнобедренным, по­это­му AB=AM=4. Так как BM- медиана, то AM=MC, таким образом, AC=2AM=8.

 

Ответ: AC=8.

Критерии проверки:

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1317.

Задание 24 № 333025

8. Катет и ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 18 и 30. Най­ди­те высоту, проведённую к гипотенузе.

Решение.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра вто­рой катет равен . С одной стороны, пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния катетов, а с дру­гой стороны, она равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ги­по­те­ну­зы на высоту, проведённую к ней. Следовательно, ис­ко­мая вы­со­та равна .

 

Ответ: 14,4.

Критерии проверки:

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 17.04.2014 ва­ри­ант МА90601

Задание 24 № 339395

9. Точка H яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты BH, проведённой из вер­ши­ны пря­мо­го угла B пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Окруж­ность с диа­мет­ром BH пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и CB в точ­ках P и K соответственно. Най­ди­те PK, если BH = 16.

Решение.

Угол — вписанный, он равен 90° и опи­ра­ет­ся на дугу следовательно, дуга равна 180°, значит, хорда — диа­метр окруж­но­сти и

 

Ответ: 16.

Критерии проверки:

Задание 24 № 339400

10. Отрезки AB и DC лежат на па­рал­лель­ных прямых, а от­рез­ки AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Най­ди­те MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.

Решение.

Углы и равны как на­крест лежащие, углы и равны как вертикальные, следовательно, тре­уголь­ни­ки и по­доб­ны по двум углам.

Значит, Следовательно,

 

 

Откуда

 

Ответ: 15.

Критерии проверки:

Ответ: 15

Задание 24 № 339487

11. Окружность пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и AC тре­уголь­ни­ка ABC в точ­ках K и P со­от­вет­ствен­но и про­хо­дит через вер­ши­ны B и C. Най­ди­те длину от­рез­ка KP, если AP = 18, а сто­ро­на BC в 1,2 раза мень­ше сто­ро­ны AB.

Решение.

Поскольку четырёхугольник впи­сан в окружность, сумма про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°, следовательно, Углы и — смежные, следовательно, Из приведённых равенств, получаем, что Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и угол — общий, углы и равны, следовательно, тре­уголь­ни­ки подобны, от­ку­да Ис­поль­зуя ра­вен­ство найдём

 

Ответ: 15.

Критерии проверки:

Задание 24 № 339656

12. Прямая, па­рал­лель­ная сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и BC в точ­ках M и N соответственно. Най­ди­те BN, если MN = 13, AC = 65, NC = 28.

Решение.

Рассмотри тре­уголь­ни­ки и углы и равны как со­от­вет­ствен­ные при па­рал­лель­ных прямых, угол — общий, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны, от­ку­да Найдём

 

 

Ответ: 7.

Критерии проверки:

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 24 № 311700

13. Найдите от­но­ше­ние двух сто­рон треугольника, если его медиана, вы­хо­дя­щая из их общей вершины, об­ра­зу­ет с этими сто­ро­на­ми углы в 30° и 90°.

Решение.

Пусть в тре­уголь­ни­ке от­ре­зок слу­жит медианой, при этом = 90°, = 30°. Возь­мем на про­дол­же­нии от­рез­ка точку так, что . Тогда тре­уголь­ни­ки и равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Значит, = 90°. По­это­му тре­уголь­ник — пря­мо­уголь­ный с углом , рав­ным 30°. Следовательно, .

 

Ответ: 1:2.

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа № 2(1вар)

Задание 24 № 311706

14. Высота тре­уголь­ни­ка разбивает его ос­но­ва­ние на два от­рез­ка с дли­на­ми 8 и 9. Най­ди­те длину этой высоты, если известно, что дру­гая высота тре­уголь­ни­ка делит ее пополам.

Решение.

Пусть вы­со­та тре­уголь­ни­ка раз­би­ва­ет основание на от­рез­ки и , вы­со­та пе­ре­се­ка­ет высоту в точке , при­чем . Тре­уголь­ни­ки и подобны, по­сколь­ку они пря­мо­уголь­ные и пер­вые два имеют рав­ные углы (углы и равны как вертикальные), а вто­рые два имеют общий угол. По­лу­ча­ем пропорцию

, то есть , от­ку­да .

 

Следовательно, и .

 

Ответ: 12.

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2012. Математика. Тренировочная работа №2(2вар)

Задание 24 № 311707

15. Биссектрисы углов и при бо­ко­вой стороне тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Най­ди­те , если .

Решение.

— тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми и , то есть пря­мые и параллельны. Углы и — внут­рен­ние односторонние при па­рал­лель­ных прямых и и се­ку­щей , следовательно, = 180°.

Учитывая, что и — бис­сек­три­сы углов и то = 90°.

Треугольник — прямоугольный, тогда по тео­ре­ме Пифагора по­лу­ча­ем .

Ответ: 26.

Критерии проверки:

Источник: Типовые экзаменационные варианты. А. Л. Семенова, И. В. Ященко — 2013, вариант 1.

Задание 24 № 311924

16. В тре­уголь­ни­ке ABC угол С равен 90°, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен 2. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если AB = 12.

Решение.

Пусть A ₁, B ₁ и C ₁ — точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­на­ми BC, AC и AB соответственно. Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти обо­зна­чим r. Тогда AC ₁ = AB ₁, BC ₁ = BA ₁ и CA ₁ = CB ₁ = r. Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен

 

2 AC ₁ + 2 BC ₁ + 2 CA ₁ = 2 AB + 2 r,

 

а его по­лу­пе­ри­метр p равен AB + r.

По фор­му­ле пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка на­хо­дим

 

Ответ: 28.

Критерии проверки:

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 19.11.2013 ва­ри­ант МА90201.

Задание 24 № 353409

17. Медиана BM и бис­сек­три­са AP тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, длина сто­ро­ны AC относится к длине стороны AB как 7:10. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AKM к пло­ща­ди треугольника ABC.

Решение.

По свойству медианы известно, что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольников. Таким образом, . По свойству биссектрисы имеем: . Из условия задачи известно, что , следовательно,

 

 

Так как высота h является общей для треугольников и , имеем:

 

 

 

Ответ:

Задание 24 № 353441

18. Точка H яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты BH, проведённой из вер­ши­ны пря­мо­го угла B пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Окруж­ность с диа­мет­ром BH пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и CB в точ­ках P и K соответственно. Най­ди­те PK, если BH = 11.

 

Четырёхугольники

Задание 24 № 311249

1. Основания рав­но­бед­рен­ной трапеции равны 8 и 18, а пе­ри­метр равен 56.

Найдите пло­щадь трапеции.

Решение.

Трапеция равнобедренная, значит,

 

и

Тогда,

 

 

Ответ:

Критерии проверки:

Задание 24 № 340934

2. В па­рал­ле­ло­грамм впи­са­на окружность. Най­ди­те пе­ри­метр параллелограмма, если одна из его сто­рон равна 8.

Решение.

Поскольку в дан­ный па­рал­ле­ло­грамм можно впи­сать окружность, суммы его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. Так как про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны также равны, получаем, что все сто­ро­ны дан­но­го па­рал­ле­ло­грам­ма равны, а значит, этот че­ты­рех­уголь­ник яв­ля­ет­ся ромбом. Следовательно, его пе­ри­метр равен 8 · 4 = 32.

 

Ответ: 32.

Критерии проверки:

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 26.11.2014 ва­ри­ант МА90204.

Задание 24 № 341285

3. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 3. Найдите высоту ромба.

Решение.

Поскольку ABCD — ромб, AD = DC = DH + HC = 15.

Треугольник ADH прямоугольный, поэтому:

 

Ответ: 9.

Критерии проверки:

Задание 24 № 341290

4. Высота AH ромба ABCD делит сто­ро­ну CD на от­рез­ки DH = 12 и CH = 1. Най­ди­те высоту ромба.

Решение.

Поскольку ABCD — ромб, AD = DC = DH + HC = 13.

Треугольник ADH прямоугольный, поэтому:

Ответ: 5.

Критерии проверки:

Задание 24 № 311566

5. Периметр пря­мо­уголь­ни­ка равен 56, а диа­го­наль равна 27. Най­ди­те пло­щадь это прямоугольника.

Решение.

Пусть одна из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна . Тогда дру­гая сто­ро­на равна , а пло­щадь . По тео­ре­ме Пифагора:

 

 

 

Значит, ис­ко­мая пло­щадь равна 27,5.

Ответ: 27,5.

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(5 вар)

Задание 24 № 311671

6. Прямая, па­рал­лель­ная ос­но­ва­ни­ям и тра­пе­ции , про­хо­дит через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции и пе­ре­се­ка­ет её бо­ко­вые сто­ро­ны и в точ­ках и соответственно. Най­ди­те длину от­рез­ка , если см, см.

Решение.

1) по двум углам:

а) как вертикальные;

б) как внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы при и се­ку­щей .

 

 

 

2) по двум углам:

а) — общий;

б) как со­от­вет­ствен­ные при и се­ку­щей .

 

 

см.

3) Ана­ло­гич­но см.

4) см.

Ответ: 30 см.

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа № 1(2 вар)

Задание 24 № 311666

7. Диагонали и тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Пло­ща­ди треугольников и равны со­от­вет­ствен­но и . Най­ди­те площадь трапеции.

Решение.

По усло­вию , по­это­му и яв­ля­ют­ся не бо­ко­вы­ми сторонами, а ос­но­ва­ни­я­ми трапеции. Тогда тре­уголь­ни­ки и по­доб­ны по двум углам, а от­но­ше­ние их пло­ща­дей равно квад­ра­ту коэффициента по­до­бия . По­это­му . По­сколь­ку треугольники и имеют общую высоту, проведённую из вер­ши­ны , от­но­ше­ние их пло­ща­дей равно от­но­ше­нию их оснований, т. е. . Значит, .

Площади тре­уголь­ни­ков и равны, так как эти тре­уголь­ни­ки им