Показательные неравенства
Теоретическая часть.
1) Простейшие показательные неравенства имеют вид 
решений не имеет, а неравенство 
выполняется при всех значениях аргумента, поскольку 
Используя свойство монотонности показательной функции делаем вывод, что неравенство 
при 
равносильно неравенству 
а при 
равносильно неравенству 
Методы решения произвольных показательных неравенств.
Решение большинства показательных неравенств сводится к решению простейших показательных неравенств.
А. Метод уравнивания оснований.
Примеры.
1) 
2) 
Решение
1)
Т.к. y=6t – возрастающая, перейдем к равносильному неравенству:
x2+2x>3
x2+2x-3>0
По теореме Виета:
 |
x
Ответ: 
2)
|
-1/12
-1/12 x
Ответ: 
В. Метод решения, основанный на разложении на множители.
Примеры.
Пример 1. Решите неравенство: х 
Решение.
О.О.: х 
R
х 
х 
Ответ: 
.
Пример 2. Решите неравенство: 3 
.
Решение.
3 
3 
+(
+ 
Ответ: 
.
С. Метод введения вспомогательной переменной.
С помощью подстановки 
, где t 
, неравенство приводится либо к квадратному неравенству относительно переменной t, либо к какому-нибудь другому неравенству относительно переменной t, решается относительно t, а затем ищется значение переменной х.
Примеры.
Пример 1. Решите неравенство: 
.
Решение.
О.О.: 
Пусть 
, 
Вернемся к переменной х и получим два неравенства:
1) 
.
решений нет, так как 
для 
.
Ответ: 
.
D. Неравенства, левая часть которых имеет вид А 
B 
,
Неравенства такого типа решаются с помощью деления обеих частей на
.
Примеры.
Пример 1. Решите неравенство: 3 
.
Решение.
3 
.
Разделим обе части последнего неравенства на 
:
3 
Введем новую переменную t = 
, t 
3 
. Вернемся к переменной х:
.
Ответ: 
.
Е. Графический способ решения.
При решении неравенств графическим способом необходимо рассмотреть две функции, построить их графики в одной системе координат и выяснить при каких значениях аргумента значения одной функции больше (меньше) значений другой функции. Найденные значения аргумента и есть решения неравенства.
Примеры.
Пример 1. Решите неравенство: 
Решение.
Чтобы решить данное неравенство графическим способом, рассмотрим две функции: f(x)= 
и g(x)= 11-х, D(f)=R, D(g)=R.
1.Функция f(x)= - показательная функция по основанию «3». Для построения графика зададим таблицу ее значений:
| х | -1 | ||||
| f(x)=
| 
|
2. Функция g(x)= 11-х - линейная функция, ее графиком является прямая.
| х | ||
| g(x)= 11-х |
3. Построим графики этих функций в одной системе координат и выясним, при каких значениях переменной х выполнено неравенство: f(x) 
g(x).
 | |||||
 | |||||
 | |||||
Рассмотрим два интервала: 
:
если х 
, то f(x) 
, f(x) 
Значит, решением неравенства 
являются значения х, принадлежащие промежутку 
.
Ответ: .
Пример 2. Решите неравенство: 
.
Решение.
Чтобы решить данное неравенство графическим способом, рассмотрим две функции: f(x) = 
и g(x) = 
, D(f)=R, D(g)= 
1.Функция f(x) = 
- показательная функция с основанием 
. Для построения графика зададим таблицу ее значений:
| х | -2 | -1 | |||
f(x)= 
|
| 
|
2. Функция g(x)= 
– функция обратная пропорциональность, ее графиком является гипербола, расположенная во 2-й и 4-й координатных четвертях.
| х | -6 | -3 | -1 | |||
| g(x)=
| 0,5 | -3 | -1 | -0,5 |
3. Построим графики этих функций в одной системе координат и выясним, при каких значениях переменной х выполнено неравенство: f(x) 
g(x).
 | |||
 | |||
Рассмотрим три интервала: 
и 
:
если х 
, то f(x) 
, то f(x) 
Значит, решением неравенства 
являются значения х, принадлежащие промежутку 
Ответ: 