До начала 17 в. математика - преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах; изучаемые ею величины (длины, площади, объемы и пр.) рассматриваются как постоянные. К этому периоду относится возникновение арифметики, геометрии, позднее - алгебры и тригонометрии и некоторых частных приемов математического анализа. Областью применения математики являлись: счет, торговля, землемерные работы, астрономия, отчасти архитектура.
В 17 и 18 вв. потребности бурно развивавшегося естествознания и техники (мореплавания, астрономии, баллистики, гидравлики и т.д.) привели к введению в математику идей движения и изменения, прежде всего в форме переменных величин и функциональной зависимости между ними. Это повлекло за собой создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений. В 18 в. возникают и развиваются теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия и т.д. В 19-20 вв. математика поднимается на новые ступени абстракции. Обычные величины и числа оказываются лишь частными случаями объектов, изучаемых в современной алгебре; геометрия переходит к исследованию "пространств", весьма частным случаем которых является евклидово пространство. Развиваются новые дисциплины: теория функций комплексного переменного, теория групп, проективная геометрия, неевклидова геометрия, теория множеств, математическая логика, функциональный анализ и др. Практическое освоение результатов теоретического математического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме.
В связи с этим в 19-20 вв. численные методы математики вырастают в самостоятельную ее ветвь - вычислительную математику. Стремление упростить и ускорить решение ряда трудоемких вычислительных задач привело к созданию вычислительных машин. Потребности развития самой математики, "математизация" различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники привели к появлению целого ряда новых математических дисциплин, как например, теория игр, теория информации, теория графов, дискретная математика, теория оптимального управления.
Математика - область человеческого знания, изучающая математические модели, отражающие объективные свойства и связи. "Замечательно, - пишет В.А. Успенский, - что хотя математическая модель создается человеческим разумом, она, будучи создана, может стать предметом объективного изучения. Познавая ее свойства, мы тем самым познаем и свойства отраженной моделью реальности" Кроме того, математика дает удобные способы описания самых разнообразных явлений реального мира и тем самым выполняет роль языка науки. Наконец, математика дает людям методы изучения и познания окружающего мира, методы исследования как теоретических, так и практических проблем.
Математика (греч. mathematike, от mathema - знание, наука) наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения.
Современное понятие математики - наука о математических структурах (множествах, между элементами которых определены некоторые отношения).
У представителей науки начала 19 века, не являющихся математиками, можно найти такие общедоступные определения математики.
"Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира" (Ф. Энгельс).
"Математика - наука о величинах и количествах; все, что можно выразить цифрою, принадлежит математике. Математика может быть чистой и прикладной.
Математика делится на арифметику и геометрию; первая располагает цифрами, вторая - протяжениями и пространствами. Алгебра заменяет цифры более общими знаками, буквами; аналитика добивается выразить все общими формулами, уравнениями, без помощи чертежа" (В. Даль).
Современная математика насчитывает множество математических теорий: математическая статистика и теория вероятности, математическое моделирование, численные методы, теория групп, теория чисел, векторная алгебра, теория множеств, аналитическая и проективная геометрия, математический анализ и т.д.
Несмотря на то, что математических теорий достаточно много и они, на первый взгляд, могут и не иметь ничего общего, внутренняя эволюция математической науки упрочила единство ее различных частей и создала центральное ядро. Существенным в этой эволюции является систематизация отношений, существующих между различными математическими теориями; ее итогом явилось направление, которое обычно называют "аксиоматический метод". В теории, построенной в согласии с аксиоматическим методом, начинают с небольшого количества неопределяемых (первичных) понятий, с помощью которых образуются утверждения, называемые аксиомами.
Прочие понятия, изучаемые в теории, определяются через первичные, и из аксиом и определений выводятся теоремы. Теория становится рекурсивно структурированной, ее можно представить в виде матрешки, в которой понятия и их свойства как бы являются вложенными друг в друга. Каждая математическая теория является цепочкой высказываний, которые выводятся друг из друга согласно правилам логики, т.е. объединяющим началом математики является "дедуктивное рассуждение". Развитие математической теории в таком стиле - это первый шаг по направлению к ее формализации.
Открытие неевклидовых геометрий и создание теории множеств привели к перестройке всего здания математики и созданию совершенно новых ее отраслей. Важное значение приобрела в современной математике математическая логика. Методы математики широко используются в точном естествознании. Применение ее в биологии и общественных науках до последнего времени носило случайный характер. Создание (под непосредственным влиянием практики) таких отраслей, как линейное программирование, теория игр, теория информации, и появление электронных математических машин открывают здесь совершенно новые перспективы. Философские вопросы математики (характер и происхождение математической абстракции, ее особенности) всегда являлись ареной борьбы между материализмом и идеализмом. Особенно важное значение имеют философские вопросы, возникшие в связи с проблемами оснований математики.
Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики в различные отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной математики с ее развитым логическими и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности. Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.
Современная математика имеет следующие основные разделы:
1. Элементарная математика: алгебра, геометрия и тригонометрия (на плоскости и сфере).
2. Аналитическая геометрия (на плоскости и в пространстве).
3. Функции и пределы. Дифференциальное и интегральное исчисление.
4. Векторный анализ. Системы криволинейных координат.
5. Функции комплексного переменного.
6. Преобразование Лапласа и другие интегральные преобразования.
7. Дифференциальные уравнения.
8. Максимумы и минимумы.
9. Математические модели. Абстрактная алгебра и абстрактные пространства.
10. Матрицы. Квадратичные и эрмитовы формы.
11. Линейные векторные пространства и линейные операторы. Матричное представление линейных преобразований.
12. Интегральные уравнения, краевые задачи и задачи о собственных значениях.
13. Тензорная алгебра и тензорный анализ.
14. Дифференциальная геометрия.
15. Теория вероятностей.
16. Теория случайных процессов.
17. Математическая статистика.
18. Численные методы и конечные разности.
Основные понятия математики
Число, одно из основных понятий математики. В связи со счетом отдельных предметов возникло понятие о целых положительных (натуральных) числах, а затем идея о безграничности натурального ряда чисел: 1, 2, 3,4... Задачи измерения длин, площадей и т.п., а также выделение долей именованных величин привели к понятию рационального (дробного) числа. Понятие об отрицательных числах возникло у индийцев в 6-11 вв. Потребность в точном выражении отношений величин (напр., отношение диагонали квадрата к его стороне) привела к введению иррациональных чисел, которые выражаются через рациональные числа лишь приближенно; рациональные и иррациональные числа составляют совокупность действительных чисел. Окончательное развитие теория действительных чисел получила в связи с потребностями математического анализа. В связи с решением квадратных и кубических уравнений были введены комплексные числа.
Делимость, свойство целого числа делиться на другое целое число без остатка. Простейшие признаки делимости: число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2; на 3 или на 9, если сумма цифр делится соответственно на 3 или на 9; на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.
Единица, наименьшее из натуральных чисел n = 1. В современной математике понятие единицы (единичного элемента) рассматривают в алгебраических структурах более общей природы (напр., группах).
Сложение, арифметическое действие. Обозначается знаком + (плюс). В области целых положительных чисел (натуральных чисел) в результате сложения по данным числам (слагаемым) находится новое число (сумма), содержащее столько единиц, сколько их содержится во всех слагаемых. Действие сложения определяется также для случая произвольных действительных или комплексных чисел, векторов и т.д.
Вычитание, арифметическое действие, обратное сложению, т.е. нахождение одного из слагаемых (разности) по данной сумме двух слагаемых (уменьшаемому) и данному другому слагаемому (вычитаемому). Обозначается знаком - (минус).
Умножение, арифметическое действие. Обозначается точкой "." или знаком "х" (в буквенном исчислении знаки умножения опускаются). Умножение целых положительных чисел (натуральных чисел) есть действие, позволяющее по двум числам а (множимому) и b (множителю) найти третье число ab (произведение), равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а; а и b называются также сомножителями. Умножение дробных чисел а / b и с / d определяется равенством
Умножение двух рациональных чисел дает число, абсолютная величина которого равна произведению абсолютных величин сомножителей и которое имеет знак плюс (+), если у обоих сомножителей одинаковые знаки, или минус (-), если у них различные знаки. Умножение иррациональных чисел определяется при помощи их рациональных приближений. Умножение комплексных чисел, данных в форме a = а+bi и b=с+di, определяется равенством ab =ас - bd+ (a+bc) i.
Деление, арифметическое действие, обратное умножению; посредством деления по произведению a (делимому) и одному из множителей b (делителю), отличному от нуля, отыскивается другой множитель (частное). Знаки деления - две точки (a: b), горизонтальная черта 
или наклонная черта (a / b). Деление дробных чисел a / b и c / d определяется равенством (a / b): (c / d) = ad / bc.
Сумма, результат сложения.
Процент, сотая доля числа; обозначается знаком %.
Точка, одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии точка обычно принимается за одно из исходных понятий.
Степень, произведение нескольких равных сомножителей (напр., 24=2·2·2·2=16). Число, повторяющееся сомножителем, называют основанием степени; число, показывающее, сколько раз повторяется сомножитель, называют показателем степени. Действие нахождения степени называют возведением (возвышением) в степень. Понятие степень обобщается также на случай произвольного (рационального или иррационального, а также комплексного) показателя.
Равенство, отношение взаимной заменяемости объектов, которые именно в силу этой заменяемости и считаются равными (а = b). Отношение равенства обладает свойствами рефлексивности (каждый объект равен самому себе), симметричности (если а = b, то b = a) и транзитивности (если a = b, а b = c, то a = c). Буквенное равенство, верное для всех числовых значений входящих в него букв, называется тождеством.
Величина, обобщение конкретных понятий: длины, площади, веса и т.п. Выбрав одну из величин данного рода за единицу измерения, можно выразить числом отношение любой другой величины того же рода к единице измерения.
Сравнение, соотношение между двумя целыми числами a и b, означающее, что разность a-b этих чисел делится на заданное целое число m, называемое модулем сравнения; пишется a є b (mod m).
Понятие множества, простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек на прямой (точечное множество) и т.д. То, что данный предмет (элемент, точка) х принадлежит множеству М, записывают х О М.
Уравнение, математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, - решениями (корнями). Бывают алгебраические уравнения, например х2=2, и неалгебраические уравнения, называемые трансцендентными, например 2х=х.
Неравенство, соотношение между числами, указывающее, какое из них больше или меньше другого.
Корень,
1) корень степени n из числа a - всякое число x. Действие нахождения корня называется извлечением корня.2) Корень уравнения - число, которое после подстановки его в уравнение вместо неизвестного обращает уравнение в тождество.
Логарифм данного числа N при основании а, показатель степени у, в которую нужно возвести число а, чтобы получить N; таким образом, N = a y. Логарифмом обозначается обычно loga N. Логарифм с основанием е = 2,718... называется натуральным и обозначается ln N. Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg N. Равенство у =loga x определяет логарифмическую функцию. Основные свойства логарифма позволяют заменить умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня более простыми действиями сложения, вычитания, умножения и деления.
Функция, 1) зависимая переменная величина. Соответствие y=f (x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента, или независимого переменного) соответствует определенное значение другой величины y (зависимой переменной, или функции). Такое соответствие может быть задано различным образом, например формулой, графически или таблицей.
График функции, y = f (x) состоит из точек, абсциссы которых равны значениям x, а ординаты - соответствующим значениям y.
Тригонометрические функции, функции угла: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg), котангенс (ctg), секанс (sec), косеканс (cosec). Их можно определить как отношения длины r и проекций а и b на оси координат радиуса-вектора, образующего с положительным направлением оси Ох угол (или отсекающего дугу) a. Именно: sin a=b/r, cos a=a/r, tg a=b/a, сtg a=a/b, sec a=r/а, cosec a=r/b.
Группа, понятие современной математики. Возникло из рассмотрения совокупности операций, производимых над какими-либо объектами и обладающих тем свойством, что результат последовательного применения двух или большего числа операций из этой совокупности равносилен какой-то одной операции из этой совокупности. Пример: умножение на рациональные числа (умножение сначала на m, а потом на n равносильно умножению на mn).
Кольцо, понятие современной алгебры - совокупность элементов, для которых определены операции сложения, вычитания и умножения, обладающие обычными свойствами операций над числами. Напр., кольцо целых чисел.