Здесь во время удара имеет место как приближение центров шаров друг к другу вследствие их деформации, так и скольжение поверхности одного шара по поверхности другого. Очевидно, что вследствие скольжения поверхностей возникнут силы трения, которые вместе с упругими силами взаимодействия определят изменение скорости шаров после удара. Кроме того, силы трения вызовут вращение шаров относительно их центров масс.
Для того чтобы представить механизм удара, разложим векторы скоростей обоих шаров до удара на направление линии центров шаров и на направление перпендикулярное к этой линии.
V1ц
 |
V1i F'Т
V1п
F'y Fy
 |  | ||||||
 |  | ||||||
V2i v2п
FT
 |
V2ц
В следствии "скольжения" поверхности шаров возникнут силы трения F'T и FT, которые вместе с упругими силами взаимодействия F'y и Fy определят изменение скорости шаров после удара. Кроме того, силы трения вызовут вращение шаров вокруг центра. Только в том случае, когда силы трения FT очень малы по сравнению с упругими силами Fy, т.е. FT << Fy, можно пренебречь действием сил трения.
В этом случае задача о нецентральном столкновении шаров решается достаточно просто. Действительно, соединяя центры масс сталкивающихся шаров прямой и разложив скорость каждого шара на нормальную составляющую, направленную вдоль линии центров, и тангенциальную составляющую, перпендикулярную к ней. Так как согласно нашему предположению силы трения отсутствуют, то тангенциальные силы во время столкновения не возникают и, следовательно, тангенциальные скорости шаров изменяться не будут. Нормальные же составляющие скорости после удара можно определить на основании закона сохранения количества движения и закона сохранения энергии таким же путем, как и при центральном ударе.
Запишем уравнения:
m1 v1ц + m2 v2ц = m1ц v' 1ц + m2 v'2ц
m1 (v21п + v21ц) + m2 (v22п + v22ц) = m1 (v'21п + v21ц) + m2 (v'22п + v22ц
здесь неизвестны только две величины: v'1ц и v'2ц.
Общие закономерности нецентрального удара шаров в этом случае можно найти следующим путем. Предположим, что до удара шар 2 покоится, а шар 1 движется. Сила взаимодействия в момент удара проходит через центры шаров (нет трения), и ее направление зависит от "прицельного" расстояния δ, равного расстоянию центра покоящегося шара от линии полета центра другого шара (до удара). Плоскость чертежа совпадает с плоскостью, проходящей через центры шаров и вектор скорости шара 1.
F
2
r2
 |
δ
r1
 | |||
 | |||
Р
1
 |
F'
Удар произойдет при условии δ < r1 + r2, где r1 и r2 – радиусы шаров. Угол θ зависит от δ и r1 + r2. Составляющая количества движения шара 1 (ударяющего), нормальная к F ( сила взаимодействия ), остается неизменной. Составляющие количеств движения шаров по направлению силы F изменяются в соответствии с законами центрального удара.
По закону постоянства количества движения:
P = P1 + P2
где P – количество движения шара 1 до удара, P1 и P2 – количества движения шаров 1 и 2 после удара соответственно.
P2
P1
θ
P
Закон сохранения энергии можно записать так:
P2/m1 = P21/m1 + P22/m2
Так как P = m v и mv2 = P2 / m для любого тела.
Вектор P2 составляет угол θ с вектором P, покоившийся шар отскочит под углом θ к начальной скорости первого шара, тогда из треугольника векторов следует:
P21 = P22 + P2 - 2 P P2 cos θ
Учитывая постоянство энергии, исключаем P1 и получаем
P2 = 2 m2 P cos θ / (m1 + m2) = β P cos θ
β = 2 m2 / (m1 + m2)
Отсюда видно, что общее соотношение между Р2 и Р зависит от угла θ и соотношения масс m1/m2.
Следует различать два случая: m1 > m2 и m1 < m2. В первом случае β < 1, тяжелый шар ударяет легкий. Конец вектора Р2 описывает окружность диаметром βР. Оба шара после удара летят в сторону начального движения первого шара. Величина угла θ изменяется от 0 до π/2. Угол отклонения первого шара может изменяться от 0 до некоторого φмакс.. Одному значению φ соответствуют два значения θ.
β < 1
Р2
Р1
А
В Р
φ
βР
 |
Точка В представляет центральный удар, оба шара летят после удара по одному направлению. Точка А представляет промах (шары не задели друг друга).
Во втором случае, при m1 < m2, легкий шар ударяет тяжелый. Здесь β > 1 и шар 1 после удара может лететь назад. Угол отклонения налетающего шара φ изменяется от 0 до π.
 |
А В
βР
 |
Точка В представляет центральный удар. Каждому значению φ соответствует только одно значение θ.
При одинаковых массах шаров m1 = m2 картина возможных количеств движения показана на рисунке.
 |
Р2
 |
А В
φ
Угол φ изменяется от 0 до π/2. При центральном ударе шар 1 останавливается, а шар 2 с той же скоростью движется далее (точка В). Угол разлета шаров θ + φ всегда равен π/2.
Угол θ нетрудно связать с прицельным расстоянием δ и показать, что
(r1 + r2)sin θ = δ
Зная δ, диаметры шаров и их массы, найдем θ и β, по данным Р определим Р2 и Р1, которые в свою очередь определяют скорости и направления шаров после удара.