Типовые задачи с решениями и для самостоятельного решения
По теме «Ферромагнетики и их свойства»
Типовые задачи с решениями
Задача 1. Соленоид с сердечником (магнитная проницаемость материала сердечника μ = 100) имеет плотную однослойную намотку проводом диаметром 0,2 мм, и по нему течет ток 0,1 А. Длина соленоида 20 см, диаметр 5 см. Найти энергию магнитного поля соленоида.
| Дано: d =0,2 мм I =0,1 A D = 5 cм l = 20 см μ = 100 | СИ 2×10-4 м 5×10-2 м 0,2 м |
| W -? |
Решение:
Энергия магнитного поля соленоида равна:
,
где 
- индуктивность соленоида,
n – число витков на 1 м соленоида.
При плотной намотке 
.
Площадь поперечного сечения соленоида 
.
Тогда
Ответ: W = 16,43 мДж.
Задача 2. Однослойный соленоид с сердечником (магнитная проницаемость материала сердечника μ = 100) длиной 20 см и диаметром 4 см имеет плотную намотку медным проводом диаметром 0,1 мм. За 0,1 с сила тока в нем равномерно убывает с 5 А до 0. Определить ЭДС самоиндукции в соленоиде.
| Дано: d =0,1 мм I1 =5 A I2 =0 D = 4 cм l = 20 см μ = 100 | СИ 10-4 м 4×10-2 м 0,2 м |
| ε -? |
Решение:
ЭДС самоиндукции, возникающая при изменении тока ΔI в соленоиде за время Δt:
,
где 
- индуктивность соленоида,
n – число витков на 1 м соленоида.
При плотной намотке .
Ответ: ε= 157,8 В.
Задача 3. Соленоид длиной 20 см и диаметром 4 см. имеет плотную трехслойную обмотку из провода диаметром 0,1 мм. По обмотке соленоида течет ток 0,1 А. Зависимость B = f(H) для материала сердечника дана на рисунке 1. Определить напряженность и индукцию поля в соленоиде, магнитную проницаемость сердечника, индуктивность соленоида, энергию и объемную плотность энергии поля соленоида.
|
|
Рисунок 1.
| Дано: d =0,1 мм I =0,1 A D = 4 cм l = 20 см к = 3 | СИ 10-4 м 4×10-2 м 0,2 м |
| H, B, L, μ, W, w -? |
Решение:
Поле внутри соленоида можно считать однородным. В этом случае напряженность поля равна:
H = I·n,
где n – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида:
.
Здесь k – число слоев обмотки, d – диаметр провода.
Тогда
.
По графику B = f(H) (рис.1) находим, что напряженности 3000 А/м соответствует индукция 1,7 Тл.
Используя связь между индукцией и напряженностью, определим магнитную проницаемость:
B = μμ0H,
.
Индуктивность соленоида
.
С учетом того, что и 
, получаем:
Объемная плотность энергии магнитного поля:
Энергия магнитного поля соленоида
.
Ответ: H= 3000 А/м;, μ=451; L=128 Гн; w=2,55 кДж/м3; W=0,64 Дж.
Задача 4. На соленоид (см. условие и решение предыдущей задачи) надето изолированное кольцо того же диаметра. Определить ЭДС индукции в кольце и ЭДС самоиндукции в соленоиде, если за 0,01 с ток в его обмотке равномерно снижается до нуля.
| Дано: В =1,7 Тл I1 =0,1 A I2 =0 D = 4 cм L = 128 Гн Δt = 0,01 c к = 3 | СИ 4×10-2 м |
| εi, εsi-? |
Решение:
По условию задачи за время Δt = 0,01 c сила тока в обмотке соленоида равномерно уменьшается от 0,1 А до 0, поэтому магнитный поток, пронизывающий площадь кольца , уменьшится от Ф1 = BS до Ф2 = 0. ЭДС индукции, возникающая в кольце,
.
ЭДС самоиндукции εsi, возникающая в соленоиде при выключении тока в нем, 
.
Тогда
Ответ: εi = 0,21 В; εsi = 1280 В.
Задача 5. По соленоиду течет ток силой 5А. Длина соленоида 1 м, число витков 500. В соленоид вставлен железный сердечник. Найти намагниченность и объемную плотность энергии магнитного поля соленоида. Зависимость B = f(H) дана на рисунке 1 (задача 3).
|
|
| Дано: I = 5 A l = 1 м N = 500 | СИ |
| J, w -? |
Решение:
Намагниченность определяется отношением магнитного момента к объему магнетика и связана с напряженностью магнитного поля соотношением:
J = χ·H,
где χ – магнитная восприимчивость среды.
Поле соленоида можно считать однородным. В этом случае напряженность поля вычисляется по формуле:
H = I·n.
Тогда 
.
Связь между магнитной восприимчивостью χ и магнитной проницаемостью μ среды выражается формулой:
χ = μ – 1.
Определим напряженность магнитного поля:
.
По графику (рис. 1 к задаче 3) находим, что напряженности H = 2500 А/м соответствует индукция магнитного поля B = 1,6 Тл. Используя соотношение B = μμ0H, определим μ:
.
χ = μ – 1= 509 – 1 = 508.
J = χ·H = 508 ·2500 = 12,7 А/м.
Объемная плотность энергии магнитного поля соленоида вычисляется по формуле:
.
Ответ: J=12,7 А/м; w=2,55 кДж/м3.