Лекция 1. Понятие комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической, геометрической, тригонометрической и показательной формах записи.

Урок-лекция

Задание: изучить тему и выписать примеры действий над комплексными числами и перевода комплексного числа из одной формы в другую.

План лекции:

1. Определение комплексного числа.

2. Геометрическое изображение комплексных чисел.

3. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

4. Действия над комплексными числами.

5. Формула Эйлера. Показательная форма записи комплексных чисел.

Содержание лекции:

Вопрос 1. Определение комплексного числа.

Число вида , где - любые действительные числа, а - так называемая мнимая единица, называется комплексным числом.

или

Действительные числа и называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа и обозначаются

Рассмотрим частные случаи комплексных чисел.

· Пусть - любое действительное число. Тогда становится действительным числом.

· Пусть . Тогда - чисто мнимое число.

Таким образом, все действительные числа и все чисто мнимые числа входят в множество комплексных чисел.

Два комплексных числа и называются сопряженными комплексными числами.

Сравнение комплексных чисел осуществляется по правилам:

1. Два комплексных числа считаются равными, если .

2. Комплексное число равно нулю только тогда, когда одновременно.

3. Операции <, > не имеют смысла на множестве комплексных чисел.

Вопрос 2. Геометрическое изображение комплексных чисел.

Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат ХОУ на плоскости. Каждой точке плоскости при этом соответствуют вполне определенные координаты , а следовательно, и вполне определенное комплексное число . Обратно, каждому к комплексному числу соответствует вполне определенная пара действительных чисел , а следовательно, и вполне определенная точка плоскости . Таким образом установили связь между множеством точек на плоскости и множеством комплексных чисел. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа , называется комплексной плоскостью. Ось ОХ называется действительной осью, ось ОУ – мнимой осью. Очевидно, что изображением комплексного числа можно считать также и вектор .

Вопрос 3. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Длина вектора, изображающего комплексное число , называется модулем комплексного числа.

Угол, образуемый этим вектором с положительным направлением действительной оси (<MON), называется аргументом комплексного числа.

Обозначение: модуль ,

аргумент .

Из прямоугольного треугольника OMN

В качестве главного значения аргумента комплексного числа обычно выбирают значение , определенное неравенствами

Итак, называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Пример. Записать в тригонометрической форме комплексные числа:

4. .

Решение:

2. .

Вопрос 4. Действия над комплексными числами.

1. Сложение.

Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число , определяемое равенством

Из определения вытекают следующие законы сложения:

- Переместительный:

- Сочетательный:

2. Вычитание.

Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению. Вычесть из числа число значит найти такое число , чтобы имело место равенство: Число называется разностью чисел и и обозначается .

Вычитание всегда выполнимо.

3. Умножение.

Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число, определяемое равенством .

Из определения следуют законы:

· Переместительный

· Сочетательный

· Распределительный .

4. Деление.

Деление – действие, обратное умножению. Разделить комплексное число на комплексное число значит найти такое число , чтобы имело место равенство .

Тогда получаем систему для определения и :

Система всегда разрешима, т.к. определитель

Число называется частным.

Итак, чтобы разделить одно комплексное число на другое, надо числитель и знаменатель дроби умножить на комплексное число, сопряженное числу, стоящему в знаменателе.

Пример.

Выполнить все действия над комплексными числами и .

Решение

Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.

Пусть .

Тогда .

Следовательно, при умножении комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы складываются: .

Деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, приводит к формуле:

Справедливость этого равенства легко проверить обратным действием (умножением). Т.о., модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя; аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Пример

Выполнить все действия умножения и деления комплексных чисел и , представив их в тригонометрической форме.

5. Возведение в степень. Формула Муавра.

Из правила умножения комплексных чисел в тригонометрической форме следует правило возведения в целую положительную степень n комплексного числа.

Итак

Эта формула называется формулой Муавра. Она показывае, что при возведении комплексного числа в целую положительную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Пример

Вычислить