Исчисление высказываний представляет собой логику неанализируемых предположений, в которой пропозициональные константы могут рассматриваться как представляющие определенные простые выражения вроде "Сократ — мужчина" и "Сократ смертен". Строчные литеры р, q, r,... в дальнейшем будут использоваться для обозначения пропозициональных констант, которые иногда называют атомарными формулами, или атомами.
Ниже приведены все синтаксические правила, которые используются для конструирования правильно построенных формул (ППФ) в исчислении высказываний.
(S. U) ЕслиU является атомом, то у является ППФ.
(S) Если U является ППФ, то —U также является ППФ.
(S. v) Если U и ф являются ППФ, то (U u ф) также является ППФ.
В этих правилах строчные буквы греческого алфавита (например, U и ф) представляют пропозициональные переменные, т.е. не атомарные формулы, а любое простое или составное высказывание. Пропозициональные константы являются частью языка высказываний, который используется для приложения исчисления пропозициональных переменных к конкретной проблеме.
Выражение -U читается как "не U", а (U v ф) читается как дизъюнкция "U или ф (или оба)". Можно ввести другие логические константы — "л" (конъюнкция), "D" (импликация, или обусловленность), "=" (эквивалентность, или равнозначность), которые, по существу, являются сокращениями комбинации трех приведенных выше констант..
(U ^ ф) Эквивалентно(U v ф). Читается "U и ф".
(U 
ф) Эквивалентно (U v ф). Читается "U имплицирует ф".
(U==ф) Эквивалентно (U ф)^(ф U). Читается "U эквивалентно ф".
В конъюнктивной нормальной форме исчисления высказываний константы "импликация" и "эквивалентность" заменяются константами "отрицание" и "дизъюнкция", а затем отрицание сложного выражения раскрывается с помощью формул Де Моргана:
(U^ф) преобразуется в (Uvф), (U v ф) преобразуется в (-U^ф), U преобразуется в U.
Последний этап преобразований — внесение дизъюнкций внутрь скобок: (£ v (U ^ф))) заменяется ((£vU\(U)^(£vф)).
Принято сокращать вложенность скобочных форм, отбрасывая в нормальной конъюнктивной форме знаки операций v и л. Ниже представлен пример преобразования выражения, содержащего импликацию двух скобочных форм, в нормальную конъюнктивную форму.
(pvq) (-p^A-q) Исходное выражение.
(pvg)v(-p^- q) Исключение~.
(pvq)v(-p^- q) Ввод - внутрь скобок.
(pv(pvq))v(pv(pvq)) Занесение v внутрь скобок.
{{-p, р, q}, {q, р, q} } Отбрасывание А и v в конъюнктивной нормальной форме.
Выражения во внутренних скобках — это либо атомарные формулы, либо негативные атомарные формулы. Выражения такого типа называются литералами, причем с точки зрения формальной логики порядок литералов не имеет значения. Следовательно, для представления множества литералов — фразы — можно позаимствовать из теории множеств фигурные скобки. Литералы в одной и той же фразе неявно объединяются дизъюнкцией, а фразы, заключенные в фигурные скобки, неявно объединяются конъюнкцией.
Фразовая форма очень похожа на конъюнктивную нормальную форму, за исключением того, что позитивные и негативные литералы в каждой дизъюнкции группируются вместе по разные стороны от символа стрелки, а затем символ отрицания отбрасывается. Например, приведенное выше выражение
преобразуется в две фразы:
p,q<q.
в которых позитивные литералы сгруппированы слева от знака стрелки, а негативные справа.
Более строго, фраза представляет собой выражение вида
в котором p1..., рт q1,..., qn являются атомарными формулами, причем т=>0 и п=>0. Атомы в множестве р1,..., рт представляют заключения, объединенные операторами дизъюнкции, а атомы в множестве q1..., qn — условия, объединенные операторами конъюнкции.
Исчисление предикатов
Исчисление высказываний имеет определенные ограничения. Оно не позволяет оперировать с обобщенными утверждениями вроде "Все люди смертны". Конечно, можно обозначить такое утверждение некоторой пропозициональной константой р, а другой константой q обозначить утверждение "Сократ — человек". Но из (р л q) нельзя вывести утверждение "Сократ смертен".
Для этого нужно анализировать пропозициональные символы в форме предикатов и аргументов, кванторов и квантифщированных переменных. Логика предикатов предоставляет нам набор синтаксических правил, позволяющих выполнить такой анализ, набор семантических правил, с помощью которых интерпретируются эти выражения, и теорию доказательств, которая позволяет вывести правильные формулы, используя синтаксические правила дедукции. Предикатами обозначаются свойства, такие как "быть человеком", и отношения, такие как быть "выше, чем".
Аргументы могут быть отдельными константами, или составным выражением "функция-аргумент", которое обозначает сущности некоторого мира интересующих нас объектов, или отдельными квантифицируемыми переменными, которые определены в этом пространстве объектов. Специальные операторы — кванторы — используются для связывания переменных и ограничения области их интерпретации. Стандартными являются кванторы общности (V) и существования (3). Первый интерпретируется как "все", а второй — "кое-кто" (или "кое-что").
Ниже приведены синтаксические правила исчисления предикатов первого порядка.
Любой символ (константа или переменная) является термом. Если rk является символом k-местной функции и а1..., <xk являются термами, то Гk(a1..., ak) является термом.
(S 40
Если Tk является символом k-местного предиката
и а1..., ak являются термами,
то U(а1..., ak) является правильно построенной формулой (ППФ).
(S. -) и (S. v)
Правила заимствуются из исчисления высказывании.
(S. V) Если U является ППФ и % является переменной,
то (любой Х) U является ППФ.
Для обозначения используются следующие символы:
U — произвольный предикат;
Г — произвольная функция;
a — произвольный терм;
X — произвольная переменная.
Действительные имена, символы функций и предикатов являются элементами языка первого порядка.
Использование квантора существования позволяет преобразовать термы с квантором общности в соответствии с определением
(EX)U определено как -(любой X)-U.
Выражение (EХ)(ФИЛОСОФ(Х)) читается как "Кое-кто является философом", а выражение (любой Х)(ФИЛОСОФ(Х)) читается как "Любой является философом". Выражение ФИЛОСОФ(Х) представляет собой правильно построенную формулу, но это не предложение, поскольку область интерпретации для переменной X не определена каким-либо квантором. Формулы, в которых все упомянутые переменные имеют определенные области интерпретации, называются замкнутыми формулами.
Как и в исчислении высказываний, в исчислении предикатов существует нормальная форма представления выражений, но для построения такой нормальной формы используется расширенный набор правил синтаксических преобразований. Ниже приведена последовательность применения таких правил. Для приведения любого выражения к нормальной форме следует выполнить следующие операции.
(1) Исключить операторы эквивалентности, а затем импликации.
(2) Используя правила Де Моргана и правила замещения (E X)U на -(любой X)-U (а следовательно, и (любой X) U на -(E X)-U), выполнить приведение отрицания.
(3) Выполнить приведение переменных. При этом следует учитывать особенности определения области интерпретации переменных кванторами. Например, в выражении (E Х)(ФИЛОСОФ(Х))&(E Х)(АТЛЕТ(Х)) переменные могут иметь разные интерпретации в одной и той же области. Поэтому вынесение квантора за скобки — (E Х)(ФИЛОСОФ(Х))&.(АТЛЕТ(Х))— даст выражение, которое не следует из исходной формулы.
(4) Исключить кванторы существования. Кванторы существования, которые появляются вне области интерпретации любого квантора общности, можно заменить произвольным именем (его называют константой Сколема), в то время как экзистенциальные переменные, которые могут существовать внутри области интерпретации одного или более кванторов общности, могут быть заменены функциями Сколема. Функция Сколема— это функция с произвольным именем, которая имеет следующий смысл: "значение данной переменной есть некоторая функция от значений, присвоенных универсальным переменным, в области интерпретации которых она лежит".
(5) Преобразование в префиксную форму. На этом шаге все оставшиеся кванторы (останутся только кванторы общности) переносятся "в голову" выражения и таким образом оказываются слева в списке квантифицированных переменных. За ними следует матрица, в которой отсутствуют кванторы.
(6) Разнести операторы дизъюнкции и конъюнкции.
(7) Отбросить кванторы общности. Теперь все свободные переменные являются неявно универсально квантифицированными переменными. Экзистенциальные переменные станут либо константами, либо функциями универсальных переменных.
(8) Как и ранее, отбросить операторы конъюнкций, оставив множество фраз.
(9) Снова переименовать переменные, чтобы одни и те же имена не встречались в разных фразах.
Исчисление предикатов в упрощенном виде. Там выражение вида
at(робот, комнатаА)
означает, что робот находится в комнате А. Термы робот и комнатаА в этом выражении представляли собой константы, которые описывали определенные реальные объекты. Но что будет означать выражение вида
at(X, комнатаА),
в котором х является переменной? Означает ли оно, что нечто находится в комнате А? Если это так, то говорят, что переменная имеет экзистенциальную подстановку (импорт). А может быть, выражение означает, что все объекты находятся в комнате А? В таком случае переменная имеет универсальную подстановку. Таким образом, отсутствие набора четких правил не позволяет однозначно интерпретировать приведенную формулу.
Перечисленные в этом разделе правила исчисления предикатов обеспечивают однозначную интерпретацию выражений, содержащих переменные.
В частности, фраза
at(X, комнатаА)<—at (X, ящик1) интерпретируется как
"для всех X X находится в комнате А, если X находится в ящике 1". В этой фразе переменная имеет универсальную подстановку. Аналогично, фраза
at(X, комнатаА) <-интерпретируется как "для всех X X находится в комнате А". А вот фраза
<— at(X, комнатаА) интерпретируется как "для всех XX не находится в комнате А".
Иными словами, это не тот случай, когда некоторый объект X находится в комнате А и, следовательно, переменная имеет экзистенциальную подстановку.
Теперь можно преобразовать фразовую форму, в которой позитивные литералы сгруппированы слева от знака стрелки, а негативные — справа. Если фраза в форме
P1,..., Рт <— q1,...qn содержит переменные х1,..., хk, то правильная интерпретация имеет следующий вид:
для всех x1,..., хk
p1 или... или pm является истинным, если q1 и... и qn являются истинными.
Если п = 0, т.е. отсутствует хотя бы одно условие, то выражение будет интерпретироваться следующим образом:
для всех x1,..., xk
p1 или... или рт является истинным.
Если т = 0, т.е. отсутствуют термы заключения, то выражение будет интерпретироваться следующим образом:
для всех x1,..., xk
не имеет значения, что q1 и... и qn являются истинными.
Если же т = п = 0, то мы имеем дело с пустой фразой, которая всегда интерпретируется как ложная.