Вычисление кратных интегралов




Приближённые методы вычисления определённых интегралов.

Есть приближённые методы вычисления определённых интегралов. Отрезок интегрирования делится на частей. Точки деления называются узлами. Узлы нумеруются от до . Совокупность всех узлов называется сеткой. Сетка равномерная, то есть шаг сетки одинаковый и равный . В узлах сетки берутся значения интегрируемых функций. То есть составляется таблица соответствия каждому значение .

 

 

После составления таблицы по квадратурным формулам приближённо вычисляются интегралы. Самая простая квадратурная формула это формула прямоугольников.

1. Формула левых прямоугольников имеет вид:

.

2. Формула правых прямоугольников имеет вид:

.

Эти формулы точны на полиномах (многочленах) нулевой степени, т.е. на константах. Поэтому говорят, что эта формула имеет первый порядок точности.

3. Формула средних. В этой формуле значения функций берутся в серединах между узлами.

.

Эта формула точна на полиномах первой степени, т.е. на функциях . Поэтому говорят, что эта формула имеет второй порядок точности.

4. Формула трапеций имеет вид:

Эта формула также как и формула средних точна на полиномах первой степени, т.е. на функциях . Поэтому говорят, что эта формула имеет второй порядок точности.

4. Формула Симпсона имеет вид:

Эта формула точна на полиномах третьей степени, т.е. на функциях . Поэтому говорят, что эта формула имеет четвёртый порядок точности.

Примеры.

1). Вычислить интеграл .

Решение.

а). Вычислим интеграл по формуле средних. Для этого разобьём отрезок интегрирования на 2 части, т.е. положим и наша сетка будет содержать узлы Найдём значения функции в серединах между узлами:

 

 

Применяя формулу средних, вычислим интеграл:

.

Найдём точное значение интеграла:

.

То есть мы показали, что формула средних точна на полиномах первой степени.

б). Вычислим этот же интеграл по формуле трапеций. Для этого разобьём отрезок интегрирования на 2 части, т.е. положим и наша сетка будет содержать узлы Найдём значения функции в узлах сетки:

 

 

Применяя формулу трапеций, вычислим интеграл:

.

То есть мы показали, что формула трапеций также точна на полиномах первой степени.

Вычислить интеграл

.

Решение. Вычислим интеграл по формуле Симпсона. Для этого разобьём отрезок интегрирования на 2 части, т.е. положим и наша сетка будет содержать узлы Найдём значения функции в узлах сетки:

 

 

Применяя формулу Симпсона, вычислим интеграл:

.

Найдём точное значение интеграла:

.

То есть мы показали, что формула Симпсона точна на полиномах третьей степени.

 

 

Вычисление кратных интегралов

Метод ячеек. Рассмотрим двукратный интеграл по прямоугольнику

в
 
а
b
х
Рис. 14.2
y
По аналогии с формулой средних можно приближенно заменить функцию на ее значение в центральной точке прямоугольника.

Тогда интеграл легко вычисляется

(14.4)

Это, как видите, двумерная формула средних. Для повышения точности можно разбить область на прямоугольные ячейки (рис. 14.2) Приближенно вычисляя интеграл в каждой ячейке по формуле средних и обозначая соответственно площадь ячейки и координаты ее центра масс, получим обобщенную формулу средних

. (14.5)

Справа стоит интегральная сумма; следовательно, для любой непрерывной функции f (x, y) она сходится к значению интеграла, когда периметры всех ячеек стремятся к нулю.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-03-02 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: