Приближённые методы вычисления определённых интегралов.
Есть приближённые методы вычисления определённых интегралов. Отрезок интегрирования 
делится на 
частей. Точки деления называются узлами. Узлы нумеруются от 
до . 
Совокупность всех узлов называется сеткой. Сетка равномерная, то есть шаг сетки одинаковый и равный 
. В узлах сетки берутся значения интегрируемых функций. То есть составляется таблица соответствия каждому 
значение 
.
| 
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
| 
|
После составления таблицы по квадратурным формулам приближённо вычисляются интегралы. Самая простая квадратурная формула 
это формула прямоугольников.
1. Формула левых прямоугольников имеет вид:
.
2. Формула правых прямоугольников имеет вид:
.
Эти формулы точны на полиномах (многочленах) нулевой степени, т.е. на константах. Поэтому говорят, что эта формула имеет первый порядок точности.
3. Формула средних. В этой формуле значения функций берутся в серединах между узлами.
.
Эта формула точна на полиномах первой степени, т.е. на функциях 
. Поэтому говорят, что эта формула имеет второй порядок точности.
4. Формула трапеций имеет вид:
Эта формула также как и формула средних точна на полиномах первой степени, т.е. на функциях . Поэтому говорят, что эта формула имеет второй порядок точности.
4. Формула Симпсона имеет вид:
Эта формула точна на полиномах третьей степени, т.е. на функциях 
. Поэтому говорят, что эта формула имеет четвёртый порядок точности.
Примеры.
1). Вычислить интеграл 
.
Решение.
а). Вычислим интеграл по формуле средних. Для этого разобьём отрезок интегрирования на 2 части, т.е. положим 
и наша сетка будет содержать узлы 
Найдём значения функции в серединах между узлами:
|
|
|
| 
| 
|
|
| 
| 
|
Применяя формулу средних, вычислим интеграл:
.
Найдём точное значение интеграла:
.
То есть мы показали, что формула средних точна на полиномах первой степени.
б). Вычислим этот же интеграл по формуле трапеций. Для этого разобьём отрезок интегрирования на 2 части, т.е. положим и наша сетка будет содержать узлы Найдём значения функции в узлах сетки:
|
|
| 
| 
|
|
|
| 
| 
|
Применяя формулу трапеций, вычислим интеграл:
.
То есть мы показали, что формула трапеций также точна на полиномах первой степени.
Вычислить интеграл
.
Решение. Вычислим интеграл по формуле Симпсона. Для этого разобьём отрезок интегрирования на 2 части, т.е. положим и наша сетка будет содержать узлы Найдём значения функции в узлах сетки:
|
|
|
|
|
|
| 
|
| 
|
Применяя формулу Симпсона, вычислим интеграл:
.
Найдём точное значение интеграла:
.
То есть мы показали, что формула Симпсона точна на полиномах третьей степени.
Вычисление кратных интегралов
Метод ячеек. Рассмотрим двукратный интеграл по прямоугольнику
 в
|
|
| а |
| b |
| х |
| Рис. 14.2 |
| y |
Тогда интеграл легко вычисляется
(14.4)
Это, как видите, двумерная формула средних. Для повышения точности можно разбить область на прямоугольные ячейки (рис. 14.2) Приближенно вычисляя интеграл в каждой ячейке по формуле средних и обозначая 
соответственно площадь ячейки и координаты ее центра масс, получим обобщенную формулу средних
|
|
. (14.5)
Справа стоит интегральная сумма; следовательно, для любой непрерывной функции f (x, y) она сходится к значению интеграла, когда периметры всех ячеек стремятся к нулю.