Законы распределения и основные характеристики случайных процессов
Случайным процессом называется процесс, значение которого при любом фиксированном 
является случайной величиной 
. Конкретный вид, принимаемый случайным процессом в результате опыта, называется реализацией случайного процесса. Каждая реализация случайного процесса есть обычная неслучайная функция. Если зафиксировать значение аргумента t, то случайный процесс превращается в случайную величину. Эта случайная величина называется сечением случайного процесса.
Примеры с решениями
Пример 1. Рассматривается случайный процесс 
, где 
центрированная случайная величина с дисперсией 
; 
случайная величина, распределенная равномерно в интервале 
, а 
неслучайный параметр 
. Случайные величины 
независимы. Найти характеристики случайного процесса 
: математическое ожидание, корреляционную функцию.
Р е ш е н и е. Представим случайный процесс в виде
,
где 
. Найдем сначала основные характеристики системы случайных величин 
и 
:
,
,
,
,
.
Так как случайная величина 
распределена равномерно в интервале , то
, 
,
.
Итак, 
. Следовательно,
, 
,
= 
.
Пример 2. Имеются два независимых случайных процесса и 
с характеристиками: 
, 
Найти характеристики случайного процесса 
.
Задачи для самостоятельного решения
1. Случайный процесс 
определяется формулой 
, где 
непрерывная случайная величина, распределенная равномерно в интервале 
. Построить семейство реализаций случайного процесса .
2. Случайный процесс определяется формулой 
, где непрерывная случайная величина. Построить семейство реализаций случайного процесса .
3. Случайный процесс определяется формулой 
, где U и V- непрерывные случайные величины, a- неслучайная величина.
4. Известна дисперсия 
случайного процесса 
. Найти дисперсию случайного процесса 
.
5. Известна дисперсия случайного процесса . Найти дисперсию случайного процесса 
.
6. Найти дисперсию случайного процесса 
, где и 
независимые случайные величины, причем 
, 
.
7. Случайный процесс задается формулой 
, где 
случайная величина с математическим ожиданием 
и дисперсией 
. Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайного процесса.
8. Случайный процесс имеет вид 
, где случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами m и 
. Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайного процесса.
9. Случайный процесс имеет вид 
, где случайная величина, распределенная по показательному закону с плотностью 
. Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайного процесса.
10. Случайный процесс имеет вид , где случайная величина, распределенная равномерно на интервале 
. Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайного процесса.
11. Случайный процесс имеет характеристики 
, 
.
Определить характеристики случайного процесса 
.
12. Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайного процесса 
, где и независимые случайные величины, причем 
, .
13. Найти взаимную корреляционную функцию 
двух случайных процессов
, где 
случайная величина с дисперсией 
.
14. Найти взаимную корреляционную функцию двух случайных процессов
, где и независимые случайные величины, причем , 
.
15. Найти характеристики случайного процесса 
где и 
независимые случайные процессы с характеристиками: 
, 
16. Найти взаимную корреляционную функцию двух случайных процессов
и 
, если A и B – независимые случайные величины с одинаковыми дисперсиями 
.