Раздел 3 - Дифференциальное исчисление
Тема 1. Понятие производной функции в точке. Формулы производных.
Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук.
Определение 1. Производной функции 
в точке 
называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении приращении аргумента к нулю 
, где для функции определяется производная 
.
Функция , имеющая производную в каждой точке интервала 
, называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Физический смысл:
.
Геометрический смысл:
– угловой коэффициент касательной, проведенной
к графику функции 
в точке касания ;
– уравнение касательной;
– угловой коэффициент нормали к графику функции;
– уравнение нормали.
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.
Формулы дифференцирования
Основные правила
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Рассмотрим примеры.
1. Точка движется по закону 
.
Найти скорость в момент времени 
.
Решение: 
.
2. Составить уравнение касательной и уравнение нормали, проведенных к графику функции 
в точке 
.
Решение
Уравнение касательной: 
;
Уравнение нормали: 
.
;
;
.
Уравнение касательной
;
.
Уравнение нормали:
;
.
Упражнения
№1. Найдите производные следующих функций.
а) 
; к) 
;
б) 
; л) 
;
в) 
; м) 
;
г) 
; н) 
;
д) 
; 0) 
;
е) 
; п) 
;
ж) 
; р) 
;
з) 
; с) 
.
и) 
;
№2. Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке 
.
а) 
;
б) 
;
в) 
.
№3. Точка движется по закону 
. Найдите значение скорости в момент времени 
.
Тема 2. Нахождение производных сложных функций
- сложная функция.
- сложная функция.
Производная сложной функции 
вычисляется по формуле 
.
Например:
;
;
;
;
;
;
.
Упражнения
№1. Найдите производные следующих функций:
1) 
; 8) 
;
2) 
; 9) 
3) 
; 10) 
;
4) 
; 11) 
;
5) 
; 12) 
;
6) 
; 13) 
;
7) 
; 14) 
;
15) 
; 21) 
;
16) 
; 22) 
;
17) 
; 23) 
18) 
; 24) 
19) 
; 25) 
.
20) 
;
Тема 3. Дифференциал функции и его нахождение
Пусть функция 
, где 
дифференцируема в некоторой точке 
, т.е. функция имеет производную в этой точке
бесконечно малая величина,
при 
- главная часть приращения функции, которая называется дифференциалом функции и обозначается: 
.
.
Определение: Дифференциал функции – величина равная произведению производной этой функции на дифференциал аргумента 
.
Например:
;
;
|
.
Например:
Найти приближенное функции 
в точке 
.
Решение
используем формулу
;
4;
;
;
;
;
;
если 
.
Формулы для приближенных вычислений
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Например
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
.
Упражнения
№1. Найти дифференциал следующих функций:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
; 5) 
;
6) 
; 7) 
;
8) 
; 9) 
; 10) 
.
№2. Вычислить приближенное значение функции:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
№3. Вычислите приближенное значение следующих выражений:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
; 9) 
;
10) 
; 11) 
; 12) 
;
13) 
; 14) 
; 15) 
;
16) .
Тема 4. Наибольшее и наименьшее значение функции
На промежутке.
Задачи на максимум и минимум
Рассмотрим функцию 
.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо:
1. Найти производную.
2. Приравнять производную к нулю, т.е. найти критические точки.
3. Найти значение функции на концах промежутка и в критических точках, принадлежащих данному промежутку.
4. Выбрать наибольшее и наименьшее значение функции на данном промежутке.
Например:
Найти наибольшее и наименьшее значение функции 
на промежутке 
.
1. 
2. 
;
;
;
.
3. 
;
;
;
;
.
.
Рассмотрим задачу
Из квадратного листа жести со стороной 36 м надо изготовить ящик, открытый сверху с квадратным основанием наибольшего объема. Найти этот объем.
Обозначим за 
длину стороны вырезаемого квадрата, тогда сторона основания будет равна 
. Следовательно, объем будет вычисляться по формуле 
.
Т.к. в основании ящика квадрат, тогда 
, а 
.
1. 
.
2. 
;
;
;
.
 |
; 
.
Упражнения
№1. Найдите наибольшее и наименьшее значение следующих функций на заданных промежутках:
1. 
;
2. 
;
3. 
.
№2. Сумма двух положительных чисел равна 5. Каковы эти числа, если сумма их кубов является наименьшей.
№3. Сумма основания и высоты треугольника равна 12 см. Каким должно быть основание треугольника, чтобы площадь треугольника была наибольшей?
№4. Из шара радиуса R выточить цилиндр наибольшего объема. Найдите размеры этого цилиндра.
№5. Произведение двух положительных чисел равно 16. Чему равны эти числа, если их сумма наименьшая.
№6. Из листа картона 80 х50 см, требуется изготовить коробку открытую сверху наибольшей вместимости. Найти объем коробки.
№7. На какой высоте надо повесить фонарь над центром круглой площадки радиуса 20 см, чтобы площадка была максимально освещена у границы. Ъ
№8. Из всех прямоугольников данного периметра 60 см, найти тот, у которого площадь наибольшая.
Зачетная работа по теме
«Дифференциальное исчисление»
№1. Проволокой длиной 100 м нужно оградить прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Установить размеры площадки.
№2. Вычислить:
; 
; 
.
№3. Найдите дифференциал следующих функций:
; 
; 