ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Файл: FERMA-n3-new

© Н. М. Козий, 2009

Украина, АС № 28607

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫФЕРМА

ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ n=3

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:

Аⁿ + Вⁿ = Сⁿ (1)

где n - целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.

Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:

Аⁿ = Сⁿ -Вⁿ (2)

Рассмотрим частное решение уравнения (2) при показателе степени n=3. В этом случае уравнение (2) запишется следующим образом:

A³ = C³ – B³ = (C-B)∙(C² + C·B +B²) (3)

Обозначим: C – B = K (4)

Отсюда: C=B+K; B=C-K (5)

Из уравнений (3), (4) и (5) имеем:

A³ = K[C²+ C∙(C-K) + (C-K)²] =3K·C² -3K² ∙C +K³ (6)

Отсюда: 3K·C² -3K² ∙C – (A³ – K³) = 0 (7)

Уравнение (7) рассматриваем как квадратное параметрическое уравнение с параметрами А и К и переменной величиной С. Решая его, получим:

C = (8)

Число C будет целым только при условии, если:

= 3N∙K² (9)

Отсюда: 12K∙A³ – 3K⁴ = 9N² ·K⁴

A³ = K³∙ (10)

A = K (11)

Из анализа формулы (10) следует, что для того чтобы число A могло быть целым числом, число N должно быть нечетным числом.

Из анализа формулы (10) также следует, что если A – целое число, то должно быть:

A³ = K³∙ Y³, (12)

где: Y³ = (13)

Отсюда: A = K∙ Y = K (14)

Для ответа на вопрос, имеет ли уравнение (14) решение в целых числах, воспользуемся арифметической прогрессией и определим ее сумму:

S_n = 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ +n = 0,5n∙(n+1) (15)

По аналогии с уравнением (15) определим сумму арифметической прогрессии:

S_N = 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ +0,5∙(N-1), (16)

где: N- нечетное число, входящее в уравнение (14).

Тогда: S_N = 0,5{ 0,5[N-1]∙[0,5(N-1) + 1]} = (17)

Запишем вспомогательное уравнение, составленное на основании анализа расчетов, выполненных по формуле (13):

Y³ = 1 + 6∙S_N (18)

Из уравнения (18) следует, что все числа Y³ нечетные.

Из уравнений (17) и (18) получим:

Y³ = 1 + 6∙ = , т.е. получили уравнение (13). (19)

т.е. получили уравнение (13).

Из уравнения (19) следует: Y = (20)

Таким образом, для анализа уравнения (13) воспользуемся эквивалентным ему уравнением (19), записанным с учетом уравнения (17) в виде:

Y³ = 1 + 6∙ = 1 + 6∙S_N (21)

Из уравнения (21) следует: S_N = (22)

Полагаем, что Y- целое число. Из уравнения (22) следует, что для того чтобы сумма S_N была целым числом, число Y должно быть нечетным числом. Задаваясь значениями числа Y, определим по уравнению (22) соответствующие им значения суммы S_N:

Y = 3, S_N = 4,333…; Y = 5, S_N = 20,666…; Y = 7, S_N1 = 57;

Y = 9, S_N = 121,333…; Y = 11, S_N = 221,666…; Y = 13, S_N2 = 366;

Y = 15, S_N =562,333…; Y = 17, S_N = 818,666…; Y = 19, S_N3 = 1143; Y = 21, S_N =1543,333…; Y = 23, S_N = 2027,666…; Y = 25, S_N4 = 2604.

Из анализа приведенных расчетов следует, что есть значения числа Y, для которых сумма S_N – дробное число. А поскольку сумма арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, не может быть дробным числом, то для таких значений целого числа Y в соответствии с формулами (13), (17) и (19) не существует целого числа N, т. е.:

N= - дробное число. (23)

Есть также такие значения числа Y, для которых сумма S_N – целое число. Эти числа имеют особенность - они равны:

Y = 7 =1 + 6∙1; Y = 13 =1 + 6∙2; Y = 19 =1 + 6∙3; Y = 25 =1 + 6∙4.

Отсюда следует, что для чисел:

Y = 1 + 6∙m, где: m =1, 2, 3,…, сумма S_N – целое число.

Тогда в соответствии с формулой (17) имеем:

N= (24)

Подставляя ранее полученные значения целых чисел S_N, получим:

N= = 21,377… N= = 54,120…

N= = 95,629… N= = 144,336…

Отсюда следует, что и при целых числах S_N число N - дробное число. Это объясняется тем, что полученные целые числа S_N1, S_N2, S_N3, S_N4 на самом деле не являются суммами арифметических прогрессий, т. е.:

S_N1 =57 ≠ 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ + p; S_N2 =366 ≠ 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ + r;

S_N3 =1143 ≠ 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ + s; S_N4 =2604 ≠ 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ + t.

Следовательно, в соответствии сформулами (19), (20) и (23) если N - целое число, то Y - дробное число. И, наоборот, если Y- целое число,то N - дробное число.

Таким образом, поскольку при любом заданном целом числе N>1 число Y всегда дробное число, то в соответствии с формулой (14) число A – также всегда дробное число.

При N =1 из уравнения (14) следует A=K, а из уравнения (8): С=А=К. В этом случае из уравнения (5) следует: В=0.

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах для показателя степени n=3.

Автор Козий Николай Михайлович,

инженер-механик

E-mail: nik_krm@mail.ru